离散数学代数系统练习
离散数学习题四参考答案
第四节 代数系统1 A={所有实数},ο： （a ，b ） a ＋2b ＝a οb这个代数运算是否满足结合律？解：(a οb)oc=(a ＋2b)oc=a+2b+2c ≠ao(b οc)=ao(b+2c)=a+2b+4c ，所以不满足结合律.2 A={1,2,3,…,100},找一个A ×A 到A 的映射。
解：o:aob=max{a,b},是一个从A ×A 到A 的映射。
3 A={a,b,c,d},由表a b c da abc db b d a cc c a b dd d c d b所给的代数运算是否满足交换律?是否有单位元？是否有零元？解：满足交换律，a 是单位元，没有零元？4 全体整数的集合对于普通减法来说是否构成一个群。
解：全体整数的集合对于普通减法来说不构成一个群，因为不满足结合律，即a-(b-c)≠(a-b)-c5 举一个有两个元的群的例子。
解：A={0，1}，运算“*”的运算表为 * 0 10 0 11 1 0其中0是单位元，1的逆元为自身。
实际上运算“*”是模为2的同余加法运算。
6 设G 是整数集，对G 规定一个运算“о”a оb ＝a ＋b －2证明，（G ，о）是一个群。
证明：显然运算“o ”是封闭的。
（1）满足结合律：ao(boc)=ao(b+c-2)=a+b+c-4=（aob ）oc=(a+b-2)oc（2）存在单位元“2”：2oa=2+a-2=a,ao2=a+2-2=a;(3) 存在逆元：ao(2-a)=(2-a)oa=a+2-a=2,即a 的逆元是2-a.所以（G ，о）是一个群。
7证明:一个有限群的每个元的阶都是有限的.证明：设有限群（G ，o ）中|G|=n ，则任取一元素a ∈G ，显然na a a a ,,,321 中至少有两个表示同一个元素，（否则就不是有限群）设j i a a j i <=,，又I a a a a a i j i j i i ===---)()(11（其中I 是群的单位元），因此 a a oa a i j i j ==+--1)(，显然j-i+1为有限，所以a 的阶是有限的。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
《离散数学》练习题
第二部分:.集合1.若集合A 上的关系R 是对称的，则1R -也是对称的。
( )2.数集合上的不等关系()≠可确定A 的一个划分。
( )3.设A ，B ，C 为任意集合，若A B A C ⨯=⨯，则 B C =。
( )4.函数的复合运算“。
”满足结合律。
( )5.A ，B ，C 为任意集合，若 A B A C ⋃=⋃ 则B C =。
( )6.设R 是实数集，R 上的关系R (){},2,,x y x y x y R =-<∈，则R 是相容关系。
() 7.设,A ≤是偏序集，B A ⊆，则B 的极大元b B ∈且唯一。
( )8.设{}1,2A =，{}B a =，则()222A B A B ⋃⋃=。
（注 其中 2A 为()A ϕ） ( )9.设 {}0,1A =，{}1,2B =， 则{}20,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0,2A B ⨯=。
( )10.集合A 上的恒等关系是一个双射函数。
( )11.设A ，B 为任意集合，不能A B ⊂ 且A B ∈。
( )12.设R 是集合A 上的关系，若12,R R 是对称的， 则 12R R 也是对称的。
( )1. 设A ＝{}∅，B ＝(())P P A ，下列各式中哪个是错的 ( )A. B ∅⊆B. {}B ∅⊆C. {{}}B ∅∈D. {,{}}()P A ∅∅⊆2. 设Z 为整数集，下面哪个序偶不构成偏序集 ( )A. Z,<〈〉 (<：小于关系)B. Z,〈≤〉 (≤：小于等于)C. Z,=〈〉 (＝：等于关系)D. Z,|〈〉 (|：整除关系)3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{},4,3,4,2,3,2,1,1=R则R 具有 ( )A.自反性B.对称性C.传递性D. 以上答案都不对4. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 （ ）A.{}{}{}d c b a ,,,,ΦB. {}{}d c b a ,,,C. {}{}{}{}d a c b a ,,,,D. {}{}{}c b a ,,5. 设A ＝∅，B={∅,{∅}}，则B A -是 ( )A. {{∅}}B. {∅}C. {∅,{∅}}D. ∅6. 下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为 ( )A. b,cB. a,bC. bD. a,b,c7. 设集合{}{}ΦΦ=,A , 则A 的幂集为： ( )A. {}{}ΦΦ, B. {}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, C. {}{}{}{}ΦΦΦ,, D. {}{}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, 8. 若Q P Q P ⋃=⋂, 则P, Q 要满足的条件为 （ ）A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. Q 为空集D. P=Q``````````````````````````````9. 在０ ∅之间应填入的符号为 ( )A. ＝B. ⊂C. ∈D. ∉10. 设,A 〈≤〉是偏序集，B A ⊆，下面结论正确的是 ( )A. B 的极大元b B ∈且唯一B. B 的极大元b A ∈且不唯一C. B 的上界b B ∈且不唯一D. B 的上确界b A ∈且唯一11. 集合{}4,3,2,1=I , I 上的关系 R={4,43,44,1,3,3,3,2,23,1,1,1，则R 是 （ ）A. 反对称的B. 传递的C.反自反的D. 自反的12. 设S A B ⊆⨯，下列各式中哪个是正确的 ( )A. domS B ⊆B. domS A ⊆C. ranS A ⊆D. domS ranS S ⋃=13. 设A ＝｛1,2,3,4,5｝，下面哪个集合等于A ( )A. ｛1,2,3,4,5,6｝B. {x |x 是整数且225x ≤}C. {x |x 是正整数且5x ≤}D. {x |x 是正有理数且5x ≤}14. 设A ＝｛｛1,2,3｝,{4,5},{6,7,8}｝，下列各式中哪个是错的 ( )A. A ∅⊆B. {6,7,8}A ∈C. {{4,5}}A ⊂D. {1,2,3}A ⊂15. 设集合X ≠∅，则空关系X ∅不具备的性质是 ( )A. 自反性B. 反自反性C. 对称性D. 传递性``````````````````````````````````````````````16. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为 ( )A. 全序关系B. 等价关系C. 偏序关系D. 拟序关系17. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 ( )(A) {}{}{}d c b a ,,,,Φ (B){}{}d c b a ,,, (C) {}{}{}{}d a c b a ,,,, (D) {}{}{}c b a ,,18. 设集合A ＝{0, b }, B ={1, b , 3}, 则A ⋃B 上的恒等关系是 ( )(A) {<0, 0>, <1, 1>, <3, 3>} (B){<0, 0>, <1, 1>, <b , b >,<3, 3>}(C) {<1, 1>, <b , b >, <3, 3>} (D) {<0, 1>,<1, b > , <b , 3>, <3, 0>}19. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}20. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B21. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅22. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是 ( )A. 并集A RB. 交集A RC. 差集A R -D. 商集/A R23. 设1R 和2R 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是 ( )A. 若1R 和2R 是自反的，则12R R 也是自反的B. 若1R 和2R 是反自反的，则12R R 也是反自反的C. 若1R 和2R 是对称的，则12R R 也是对称的D. 若1R 和2R 是传递的，则12R R 真也是传递的24. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}25. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B26. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅27. 集合A 上的关系R 是相容关系的必要条件是 ( )A. 自反的，反对称的B. 反自反的，对称的C. 传递的，自反的D. 自反的，对称的28. 集合{1,2,,10}A = 上的关系R={x,y |x+y=10 x,y }A ∈且则R 的性质为 ( )A. 自反的B. 对称的C. 传递的，对称的D. 反自反的，传递的29. 下面关于集合的表示中，正确的是 ( )A. 0φ=B. {}φφ∈C. φφ∈D. {,}a b φ∈30. 设{}c b a A ,,=，{}2,1=B ，则从A 到B 的所有函数集合中有 个函数。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
《离散数学》试题带答案(三)
《离散数学》试题带答案试卷十四试题与答案一、 填空 10% （每小题 2分）1、 设>-∧∨<,,,A 是由有限布尔格≤><,A 诱导的代数系统，S 是布尔格≤><,A ，中所有原子的集合，则>-∧∨<,,,A ～ 。
2、 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为那么，代数系统<S, *>中的幺元是 , α的逆元是 。
3、 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；<Z +,+3>是否构成群 。
4、 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。
5、 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。
现有28个数需要计算和，它至少要执行 次这个加法指令。
二、 选择 20% （每小题 2分）1、 在有理数集Q 上定义的二元运算*，Q y x ∈∀,有xy y x y x -+=*，则Q 中满足（ ）。
A 、 所有元素都有逆元；B 、只有唯一逆元；C 、1,≠∈∀x Q x 时有逆元1-x ； D 、所有元素都无逆元。
2、 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是（ ）。
A 、 半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
3、图 给出一个格L ，则L 是（ ）。
A 、分配格；B 、有补格；C 、布尔格；D 、 A,B,C 都不对。
3、 有向图D=<V , E>，则41v v 到长度为2的通路有（ ）条。
A 、0；B 、1；C 、2；D 、3 。
4、 在Peterson 图中，至少填加（ ）条边才能构成Euler图。
A 、1；B 、2；C 、4；D 、5 。
三、 判断 10% （每小题 2分）1、 在代数系统<A,*>中如果元素A a ∈的左逆元1-e a 存在，则它一定唯一且11--=e a a 。
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课件
例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明 对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
课件
例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
课件
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1
离散数学习题集(十五套含答案)
离散数学试题与答案试卷一一、填空20% （每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且（+=⋃BA{0，1，2，3，4，6} 。
2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。
3R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。
4．公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。
5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。
6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2 = {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。
7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A。
8．图的补图为9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a , b , c ,d，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（CD）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（BC ）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A ）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C ．若R ，S 是对称的， 则S R是对称的；D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
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一、填空
1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。
（ ）
（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}
N n n ∈2
2、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -
3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？
（ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a
（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*
4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？
（ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*
5．设代数系统〈A ，·〉，则（ ）成立.
A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群
B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群
C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群
D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群
6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.
A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔
B ．∧∨对是可分配
C ．∧∨,都满足幂等律
D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界
7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.
8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )
9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶
10. 下列哪个偏序集构成有界格（）
(1) （N,≤）(2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)
11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群
A、G为整数集合＊为加法
B、G为偶数集合＊为加法
C、G为有理数集合＊为加法
D、G为有理数集合＊为乘法
12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。
A、存在零元
B、存在幺元
C、G中每个元素都有逆元
D、运算＊是可结合的
13. 若<H、＊>是<G、＊>的真子群，且｜H︳= n｜G︳= m, 则有
A、n整除m
B、m整除n
C、n整除m且m整除n
D、n不整除m且m不整除n
14. 设〈L,≤〉是一条链，其中｜L︳≧3，则〈L,≤〉是（）
A、不是格
B、有补格
C、分配格
D、布尔格
15. 只含有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ ）
A 、有界格
B 、有补格
C 、分配格
D 、布尔格
16、设〈L,≤〉是有补格有界格，若它也是有补格，只要满足（ ）
A 、每个元素都有一个补元
B 、每个元素都至少有一个补元
C 、每个元素都无补元
D 、每个元素都有多个补元
二、填空
1. 设A={2,4,6}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是 ，零元是
2. 设A={3,6,9}，A 上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元 是 ，零元是 ；
3. 设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x= ；
(2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x= 。
4. 代数系统<G,*>是一个群，则G 的等幂元是
5. 设〈G,*〉是一个群，a,b,c ∈G ，则
(1) 若c *a=b ，则c= ；(2) 若c *a=b *a ，则c= 。
6、<H,*>是<G , *>的子群的充分必要条件是( )。
7、群＜A,*＞的等幂元有 个，是 ，零元有 个
8. 设*是如下表定义的集合{}c b a A ,,=上的运算：
则 * 的单位元为___________；零元为____________；可逆元为_______________.
9．设=〉⋅〈〉⋅〈K G G 的核则的满同态
到群是群ϕϕ,,,2211_____________. 10．格满足的运算律为的运算∧∧〉∨〈,,L ________，________，_______.
11．设〉∧∨〈-,,,B 是布尔代数，其中{}==αβα则,1,,,0B _____________，=β________.
三、证明
1.设<G,·>是群，a ∈G 。
令H={x ∈G|a·x=x·a}。
试证：H 是G 的子群
2. 设群<G,＊>除单位元外每个元素的阶均为2，则<G,＊>是交换群
3. 设半群<S,·>中消去律成立，则<S,·>是可交换半群当且仅当∀a,b ∈S ，（a·b ）2=a 2·b 2。
4. 设R 是实数集，在R 上定义二元运算*，∀x ,y ∈R ，定义
x *y =x +y +2xy
说明*是否满足结合律、交换律？是否存在单位元？若存在请求出．
5. 已知 (L ，*，︒ )是格，且二元运算*和︒满足分配律，∀a ,b ,c ∈L ，化简表达式
((a *b )︒(a *c ))* ((a *b )︒(b *c ))
6. 设()*,G 是群，若对任意G x ∈，有x x =-1，则()*,G 是交换群
设()*,S 是一独异点，H 是S 中所有可逆元素的集合,证明()*,H 是一个群
7. 设Q 2（Q 是有理数集合）上的二元运算 * 定义如下：对任意><><y x b a ,,,
∈Q 2，有>+⋅⋅>=<<*><b y a x a y x b a ，,,（其中，· ，+是有理数乘法与加法运算），求 * 的单位元，零元及每个可逆元的逆元.。