12章 代数系统习题补充
图论及代数系统答案A
计算机04级代数系统及图论试题（A ）答案一、证明：（1） 由表1可得<{e,a},*>的运算表如下：（酌情给1~5分）由表可知，幺元为e ，a 的逆元为a ，显然运算满足封闭性、结合律，故<{e,a},*>是一个群。
（酌情给1~5分）（2） 设{e,a}=M ，则M 的所有左陪集有bM={a,b}，cM={b,c}，dM={c,e} （酌情给1~5分）若<G ,*>是群，则应满足 |M|⎢|G|，但|M|=2，|G|=5，故<G ,*>不是群。
（酌情给1~5分）二、证明：必要性设f 是入射。
因为f(e)=e ’，所以e ∈Ker(f)。
若另有a ∈G ，使得f(a)=e ’，则f(a)=f(e)，由于f 是入射，故必有a=e ，因此Ker(f)={e}。
（酌情给1~5分）充分性设Ker(f)={e}。
对于a,b ∈G 1，如果f(a)=f(b)，则有f(b*a -1)=f(b)∆f(a -1)=f(a)∆f(a -1)= f(a*a -1)=f(e)=e ’,故b*a -1∈Ker(f)，所以b*a -1=e ，因此有（b*a -1）*a=e*a ，即b=a ，所以f 是入射。
（酌情给1~5分） 三、(a)不是格，(b),(c),(d)都是格；（酌情给1~4分）其中(b)是有界格、分配格；(c)是有界格、分配格、有补格；(d)是有界格、有补格。
（酌情给1~6分） 四、证：设a 是L 中的任意一个元素，如果21,a a 都是a 的补元，则有)()()()()()()()(2112212221211211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∧=∧∨∧=∨∧=∧=∧∨∧=∨∧=故有21a a =。
（酌情给1~10分）其它正确的证明方法。
（酌情给1~10分） 五、解：G 与G 的并为完全图K n ，因为n 为奇数，所以K n 中每个顶点的度为n-1，为偶数。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
2023年新版近世代数练习题题库
§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合；, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
第8章习题答案
习题81.设S＝{a，b}，试问S上总共可定义多少个二元运算？解由于S是n元集，则S×S应有n2个元素，S上的一个二元运算就是S×S到S的函数，这样的函数有个2n n，因此S＝{a，b}上的二元运算有222＝16个。
2.分别给出满足下列条件的代数系统。
(1)有幺元。
(2)有零元。
(3)同时有幺元和零元(代数系统元素个数大于1)。
(4)有幺元，但无零元。
(5)有零元，但无幺元。
(6)运算不可交换。
(7)运算不可结合。
(8)有左零元，无右零元。
(9)有右幺元，无左幺元。
(10)有幺元，每个元素有逆元。
解给出的例子如下所示：(1)、(2)、(10) (3) (4) (5)、3.S＝Q×Q S<a，b b>。
(1)运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？(2)关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
解 (1)因为<0，0>*<1，1>＝<0，0>，<1，1>*<0，0>＝<0，1>，则有<0，0>*<1，1>≠<1，1>*<0，0>，所以运算*不满足交换律。
因为(<a，b>*<x，y>)*<u，w>＝<ax，ay＋b>*<u，w>＝<axu，axw＋ay＋b>，<a，b>*(<x，y>*<u，w>)＝<a，b>*<xu，xw＋y>＝<axu，axw＋ay＋b>，所运算*满足结合律。
因为<1，1>*<1，1>＝<1，2>≠<1，1>，所以运算*不满足幂等律。
(2)因为<a，b>*<1，0>＝<a，b>，<1，0>*<a，b>＝<a，b>，所以关于运算*存在幺元<1，0>。
第六章 代数系统
第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2。
判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误,并说明原因：实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是:( ）。
5。
填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性,则它的运算表的特征是( ）。
6.填空题：＊是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7。
简答题：*是X上的二元运算，＊具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：＊是X上的二元运算，＊具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4=｛0,1，2,3},N4上定义运算+4：任何x,y∈N4 , x+4 y=（x+y)(mod 4) 。
例如2+43=(2+3)（mod 4）=5（mod 4)＝1请列出<N4, +4〉的运算表.然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么.11。
判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元.12. 填空题：E是全集,E=｛a,b}，E的幂集P（E）上的交运算⋂的幺元是( ）。
零元是（）.有逆元的元素是( ），它们的逆元分别是（)。
13. 填空题：E是全集,E={a，b}，E的幂集P（E)上的并运算⋃的幺元是（）。
零元是( ）。
有逆元的元素是（)，它们的逆元分别是（）.14. 填空题：E是全集，E=｛a,b}，E的幂集P（E)上的对称差运算⊕的幺元是（）。
零元是( )。
有逆元的元素是( ）.它们的逆元分别是（)。
15。
填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16。
填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有( ），其零元是( ）。
代数系统练习题答案
代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。
2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。
试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
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1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和 是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算 定义为a b=max(a, b)，试写出*和 的运算表。
解：*和 的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14表6.154.设代数系统<A,∗>，其中A=⎨a,b,c⎬，∗是A上的二元运算，分别由下列表给出。
试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。
表6.3表6.4表6.5表6.6解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。
表6.165.写出代数系统<N7,＋7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,＋7>的运算表如表6.14所示。
由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。
6.写出代数系统<N7,×7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,×7>的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。
7.设<A,∗>是代数系统，A是有限集，那么⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表有何特征?⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征?解：代数系统<A,∗>，A是有限集。
⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A中的元素。
⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。
8.设A=⎨1,3,5,7,9⎬，∗是A 上的二元运算，其定义分别为： ⑴a ∗b=min(a ,b ) ⑵a ∗b=a ⑶a ∗b=ab+a问：哪些运算满足幂等律？解：⑴ 满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a= min(a ,a )=a 。
⑵满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a=a 。
⑶不满足幂等律。
因为1∗1＝1×1＋1＝2≠1 9.写出<N 10,×10>的所有幂等元。
解：因为0×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。
10.设A=⎨1,2,3,4⎬，A 上的二元运算∗定义为取最大值运算，即∀a ,b ∈A ，有a ∗b=max(a ,b )证明∗是可结合的运算，并指出代数系统<A ,∗>的幺元、零元和各元素的逆元。
解：作∗运算表如表6.17所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。
(a ∗b )∗c = max(max(a ,b ),c )a ∗(b ∗c )= max(a ,max(b ,c ))以上两式都是取a ，b ，c 三者中得最大者，所以①a ≥b ≥c 和a ≥c ≥b 时，(a ∗b )∗c =a ＝a ∗(b ∗c ) ②b ≥a ≥c 和b ≥c ≥a 时，(a ∗b )∗c =b ＝a ∗(b ∗c ) ③c ≥a ≥b 和c ≥b ≥a 时，(a ∗b )∗c =c ＝a ∗(b ∗c )即∀a,b,c ∈A ，(a ∗b )∗c= a ∗(b ∗c )，∗运算满足结合律。
11.设<Z ,∗>是代数系统，∗的定义分别为：⑴a ∗b=|a+b|， ⑵a ∗b=a b ， ⑶a ∗b=a+b −1， ⑷a ∗b=a+2b ， ⑸a ∗b=2ab 。
问：哪些运算在Z 上是封闭的？哪些运算是可交换的？哪些运算是可结合的？ 解：Z 为整数集合， ⑴因为①整数加法运算在Z 上封闭，绝对值运算在Z 上也封闭。
②∀a,b ∈Z ，a ∗b=|a+b |=|b+a |=b ∗a ③当a ＝1，b ＝2，c ＝-3时，(a ∗b )∗c=||a+b |+c |=0，a ∗(b ∗c )=|a+|b +c ||=2，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，但不可结合。
⑵因为①当b ＜0时，a ∗b = a b 不一定是整数，例如a ＝2，b ＝-1，a ∗b =2-1∉Z ，②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a b ， b ∗a=b a ，a ∗b 不一定等于b ∗a ，例如a ＝2，b ＝1时，a ∗b=a b =2，b ∗a=b a =1。
a ∗b ≠b ∗a 。
③当a =2，b=1，c =2，(a ∗b )∗c =(a b )∗c =(21)∗2=22=4，a ∗(b ∗c )=a ∗(b c )=2∗(12)=2，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
表6.17所以∗运算在Z 上不封闭，不可交换，不可结合。
⑶因为①整数加法和减法运算在Z 上封闭， ②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a ＋b -1= b ＋a -1= b ∗a③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =(a ＋b -1)＋c -1=a ＋b ＋c -2=a ＋(b ＋c -1)-1。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，可结合。
⑷因为①整数加法和乘法运算在Z 上封闭。
②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a ＋2b ，b ∗a=b ＋2a 。
a ∗b 不一定等于b ∗a ，如a ＝1，b ＝2时。
a ∗b=a ＋2b =5，b ∗a=b ＋2a=4，a ∗b ≠b ∗a 。
③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =(a ＋2b )＋2c ，a ∗(b ∗c )=a ＋2(b ＋2c )=a ＋2b ＋4c ，当a ＝0，b ＝0，c ＝1时，(a ∗b )∗c =2，a ∗(b ∗c )=4，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，不可交换，也不可结合。
⑸因为①整数乘法运算在Z 上封闭， ②∀a,b ∈Z ，a ∗b=2ab =2ba =b ∗a③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =2(2ab )∗c =4abc =2a ×2bc =2a (b ∗c )=a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，也可结合。
12.在代数系统<Z ,∗>中，Z 是整数集合，运算∗定义为a ∗b=a ＋b ＋ab ，证明运算∗在Z 上是封闭的，∗是可交换的和可结合的，并指出其幺元。
证明：①因为整数加法和乘法在整数集合Z 上封闭，所以，∗运算在Z 上是封闭的。
②因为a ∗b=a ＋b ＋ab=b ＋a ＋ba=b ∗a ，所以，∗运算在Z 上是可交换的。
③因为a ∗0=a ＋0＋a ×0=a =0＋a ＋0×a=0∗a ，即0为∗运算的幺元。
13.写出<N 5,＋5>的幺元和各元素的逆元。
解：∀i ∈N 5，i ＋50=i ＋0=i =0＋i =0＋5i 即0为＋5的幺元。
当i ＋j =j ＋i =0时，i 与j 互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。
14.写出<N 5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。
解：∀i ∈N 5，i ×51=i =1×5 i ， 所以，1为×5的幺元。
2×53＝3×52＝1，4×54＝1，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。
15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。
解：令A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，∗的运算表如表6.18所示。
根据运算表，a 为幺元，a 的逆元为a ，b 和c 无逆元。
16. <N k ,＋k ,×k >是代数系统，证明×k 对于＋k 是可分配的。
解： 根据＋k 和×k 的定义，一方面，因为a ×(b ＋c －k )=a ×(b ＋c )－ak ，ak mod k = 0，所以a ×(b ＋c －k ) mod k = a ×(b+c )表6.18mod k ，故a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋k c ) mod k =⎩⎨⎧≥+-+⨯<++⨯kc b k k c b a kc b k c b a mod )( mod )( =a ×(b ＋c ) mod k另一方面，当a ×b ＜k 时，a ×k b 也可以看成是a ×b 除以k ，商为0的余数，则a ×k b =a ×b mod k (a ×b 除以k 的余数)，于是对于∀a,b,c ∈N k , 可设a ×b ＝ek+m ，a ×c ＝fk+n ，e,f,m,n 为自然数，0≤m,n ＜k 。
则a ×k b =a ×b mod k =m ，a ×k c = a ×c mod k =n 。
当m ＋n ＜k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )= m ＋n当m ＋n ≥k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )－k = m ＋n －k 将以上两式合并成一个式子：a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) = (a ×k b )＋k (a ×k c ) 所以×k 对＋k 满足左分配律。