代数系统证明题

问答题：
1：<A,*>是一个代数系统，*是A 上的一个二元运算，如何根据运算表看出<A,*>是否有①封闭性；②可交换性；③等幂元；④零元；⑤幺元。

）①封闭性：A 中的每个元素都在运算表中；②可交换性：运算表关于主对角线是对称的；③等幂性: 运算表中主对角线中的元素等于它所在行和列的表头元素；④零元：该元素所在行和所在列的元素值都与该元素相同；⑤幺元: 该元素所在的行和列依次与运算表中的行和列相同。

2：请叙述群的定义。

设<G,*>是一个代数系统，其中G 是非空集合，*是G 上一个二元运算，如果
（1） 运算*是封闭的。

（2） 运算*是可结合的。

（3） 存在幺元e 。

（4） 对于每一个元素x ∈G,存在着它的逆元x-1。

则称<G,*>是一个群。

证明题：
1: 在R 上定义运算：。

证明<R, *>是独异点。

证明过程：
（1）∵对于任意a,b ∈R
显然a*b=a+b+ab ∈R ，
∴*运算满足封闭性
（2）对于任意a,b,c ∈R
有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c
=a+b+c+ab+ac+bc+abc
而a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)
=a+b+c+bc+ac+ab+abc
∴(a*b)*c=a*(b*c)
∴*运算满足结合性
（3）设对任意元素a ∈R ，则有
a*0=a+0+a ×0=a
0*a=0+a+0×a=a
即有 a*0=0*a=a ∴0是幺元
由于<R,*>中*运算封闭，满足结合律，有幺元，所以<R,*>是独异点。

2: 设<G ，*>是一个群，证明<G ，*>是阿贝尔群的充要条件是对于任意的a ，b ∈G 有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

证明过程：
证明：充分性证明：
设对任意,,a b G ∈有(*)*(*)(*)*(*)a b a b a a b b =
因为
ab b a b a ++=*
*(*)*(*)*(*)
=(*)*(*) =*(*)*a a b b a a b b a b a b a b a b
=
所以1111*(*(*)*)* =*(*(*)*)*a a a b b b a a b a b b ----
即得：**a b b a =
因此，群<G ，*>是阿贝尔群。

必要性证明：
设<G ，*>是阿贝尔群，则对任意,,a b G ∈有
**a b b a =，因此 (*)*(*)*(*)* =*(*)* =(*)*(*)a a b b a a b b
a b a b
a b a b =
3: I(整数集)上的二元运算*定义为：∀a,b ∈I ，a*b=a+b-2。

证明<I,*>是群。

证明：显然，*运算封闭，且(a*b)*c=a*(b*c)=a+b+c-4,所以*满足结合律。

2是幺元，4-a 是a 的逆元。

所以<I,*>是群。

4: 设<R-{1},*>是一个代数系统，*是R-{1}上二元运算，R b a ∈∀,-{1}，定义ab b a b a -+=*，则0是幺元且<R-{1},*>是群。

证明过程：（1）∵对于任意a,b ∈R-{1}
若a*b=a+b-ab=1，则有a=(1-b)/(1-b)=1，与a ∈R-{1}矛盾。

∴*运算满足封闭性
（2）对于任意a,b,c ∈R-{1}
有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c
=a+b+c+ab+ac+bc+abc
而a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)
=a+b+c+bc+ac+ab+abc
∴(a*b)*c=a*(b*c)
∴*运算满足结合性
（3）设对任意元素a ∈R-{1}，则有
a*0=a+0+a ×0=a
0*a=0+a+0×a=a
即有 a*0=0*a=a ∴0是幺元
（4）∵对于任意a,b ∈R-{1}
设a*b=a+b+ab=0，则有
b(1-a)=-a
b=-a/(1-a)
也就是a(-a/(1-a))=0
这说明任意a ∈R-{1},a 有逆元-a/(1-a)。

由于<R,*>中*运算封闭，满足结合律，有幺元，任意元素有逆元，所以<R,*>是群。

5: 已知S 是一个非空集合,⊕为对称差运算满足结合律,P(S)为S 的幂集,证明代数系统<P(S),⊕>是群。

证明：⊕满足以下四条
（1）：对于任意的集合A,B ()S ρ∈,A ⊕B={|x x A x B ∈∨∈}S ⊆,所以A ⊕B ()S ρ∈
（2）()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕即⊕满足结合律
（3）A A φ⊕=，所以φ是幺元
（4）A A φ⊕=，所以每个元素都有逆元，且逆元为其自身。

所以⊕),(S ρ是群。

因为K H ⋂是Ｇ的子集，所以K H ⋂是Ｇ的子群。

6: 已知定义在集合上的运算*如下表：
试证明是群。

从表中得知运算是封闭的，经过验证，*运算满足结合律，有幺元a 。

由于a -1=a ，b -1=b ，c -1=d ，d -1=c
因而每个元素都有逆元，所以是群。

7: <I,+>是一个群,设I E ＝{x|x=2n,n ∈I},证明<I E ,+>是<I,+>的子群。

证明过程：
证法（1）：
证明E I 在运算+上封闭性
对于任意1x ，2x ∈E I ，设1x =21n ，2x =22n ，
则1x +2x =21n +22n =2（1n +2n ）∈E I
说明E I 在运算+上封闭。

又∵E I ⊆I
∴<E I ,+>是<I,+>的子群
证法（2）：
E I ⊆I 证明<E I ,+>是一个群
（1）封闭性： ∀1x ，2x ∈E I ，有1x =21n ，2x =22n ，1x +2x =2（1n +2n ）∈E I
（2）结合律： （1x +2x ）+3x =2（1n +2n +3n ）=1x +（2x +3x ）
（3）幺元： 1x +0=0+1x =0 ∴0是幺元
（4）每一个元素都有逆元： ∀x ∈E I ,由 x-x=0，得x 的逆元为-x 。

8: 设<G,*>是群，a ∈G 。

令H={x ∈G|a*x =x *a }。

试证：H 是G 的子群。

证明过程：
明显，H 是G 的子集。

任取x ∈H,则有a*x=x*a ，对等式左乘和右乘x -1,有x -1*a=a*x -1.
再任取y ∈H,则(y*x -1)*a=y*(x -1*a)=y*(a*x -1)=(y*a*)x -1=(a*y)*x -1=a*(y*x -1)
},,,{d c b a >*<},,,,{d c b a >*<},,,,{d c b a
由定理可得，H 是G 的子群。

或由群的定义来证明。

9: 设和都是群的子群，证明>⋂< ,K H 是的子群。

证明过程：任意取a ，b ∈K H ⋂，则a ，b ∈Ｈ且a ，b ∈Ｋ。

因为和都是群的子群，则1-b a ∈Ｈ且1-b a ∈Ｋ，从而1-b a ∈K H ⋂，由定理得K H ⋂是群。

1. 设<A,*>是半群,e 是左幺元且对每一个A x ∈,存在A x ∈ˆ,使得e x x =*ˆ。

① 证明：对于任意的A c b a ∈,,,如果a*b =a*c 则b=c 。

②通过证明e 是A 中的幺元,证明<A,*>
是群。

证明：
①∵ a ∈A 则有∧a ∈a ∧
a *a =置换规则
a*b=a*c ⇒∧a *a*b=∧a *a*c ⇒ e*b=e*c ⇒ b=c ②∀A x ∈已知e x x
=*ˆ x x
*ˆ*e=e*e=e=x x *ˆ 由①的结论得 x*e=x,∴e 是幺元 ∵<A,*>是半群,满足封闭性与结合律,则只需证明每一个元素都有逆元.
∀A x ∈ ∵**ˆx x
x ˆ=e*x ˆ=x ˆ=x ˆ*置换规则 又由①的结论得e x x
=*ˆ ∴x x
*ˆ=x*x ˆ=e x 的逆元x ˆ ∴<A,*>为群
>< ,H >< ,K >< ,G >< ,G >< ,H >< ,K >< ,G。