八年级数学竞赛讲座代数证明附答案
代数证明题超难奥林匹克初二
代数证明题超难奥林匹克初二引言奥林匹克数学竞赛是全球范围内最具权威性和难度的数学竞赛之一。
对于初中生而言，参加奥林匹克数学竞赛是一种挑战和锻炼。
在这篇文章中，我们将探讨一道超难的代数证明题，旨在帮助初二学生提高解题能力和思维逻辑。
题目题目： 设实数 a,b,c 满足 a +b +c =0，证明 a 3+b 3+c 33abc =(a−b )2+(b−c )2+(c−a )26(ab+bc+ca )。
解题思路要证明这个等式，我们可以从两个方面入手。
首先，我们可以将等式两边进行化简，然后进行比较。
其次，我们可以利用已知条件，通过代数运算进行证明。
方法一：化简比较首先，我们对等式两边进行化简。
对于左边的分式 a 3+b 3+c 33abc ，我们可以将分子进行因式分解，得到 a 3+b 3+c 3=(a +b +c )(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca )。
由已知条件 a +b +c =0，我们可以得到 a 3+b 3+c 3=3abc 。
因此，左边的分式可以化简为 3abc 3abc =1。
对于右边的分式 (a−b )2+(b−c )2+(c−a )26(ab+bc+ca )，我们可以展开分子，并利用已知条件进行化简。
展开分子后，我们得到 (a −b )2+(b −c )2+(c −a )2=a 2−2ab +b 2+b 2−2bc +c 2+c 2−2ca +a 2+b 2+c 2。
将 a +b +c =0 代入，我们可以得到 (a −b )2+(b −c )2+(c −a )2=2(a 2+b 2+c 2)。
将化简后的分式代入等式中，我们得到 1=2(a 2+b 2+c 2)/6(ab +bc +ca )。
进一步化简，我们可以得到 ab +bc +ca =3(a 2+b 2+c 2)/2。
现在，我们需要证明 ab +bc +ca =3(a 2+b 2+c 2)/2。
我们可以将等式两边进行展开，得到 ab +bc +ca =a 2+b 2+c 2。
初中奥数竞赛代数恒等式的证明
1 / 1 初中奥数竞赛：代数恒等式的证明 练习201． 求证： ①<a+b+c>2+<a+b-c>2－<a-b-c>2－<a-b-c>2＝8ab②〔x+y 〕4+x 4+y 4=2<x 2+xy+y 2>2 ③<x-2y>x 3－<y-2x>y 3=<x+y><x-y>3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24<5 n +3 n-1> ⑤a 5n +a n +1=<a 3 n －a 2 n +1><a 2 n +a n +1>2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：〔a+b+c 〕2+a 2+b 2+c 2=2<a+b+c><a+c>8.己知：abc ≠0,ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：〔2x －3〕〔2x+1〕<x 2－1>＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc答案：练习201. ④左边＝5 n <5 2-1>+3n －1<33-3>= 24<5 n +3 n-1> 注意右边有3n-12. 左边－右边＝〔a-b 〕23. ②左边－右边＝〔a 2+b 2-c 2〕2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的〔左－右〕×27. 用b 2=ac 分别代入左边,右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. <2x 2-x-2>2 11. 用待定系数法。
【八年级数学代数培优竞赛专题】专题8 分式的运算技巧【含答案】
专题8 分式的运算技巧知识引入一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。
消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭.”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。
”这则笑话看起来很荒谬，但却道出了解决数学问题的重要思想，那就是转化思想，转化思想在数学中有着广泛的应用，比如在进行分式除法运算的时候，首先要运用除法法则，将除法运算转化为乘法运算，然后再解决。
知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果.2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找出各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；（3）通分后，进行同分母分式的加减运算；（4）公分母保持积的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。
3.正确进行分式的混合运算，需弄清以下各要点：（1）分清运算级别，按照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（5）最后结果要注意化简；（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
华杯赛讲义初二组第三讲代数式
第三讲 代数式1、无理数的计算，新定义，对学生的思维迁移能力，灵活应变能力都有较高要求。
2、平方差公式和完全平方公式的应用，技巧性很高。
1、已知二次三项式 ax 2 + bx + c 当 x = 2 时, 取到最小值 -1；且它的两根的立方和为 24. 如果 x = -1 ,那么这个二次三项式的值是________. 【解析】:225设 y = ax ²+bx+c,当x=2时,取到最小值-1,所以有：a b2-= 2, a 4 b -4ac 2= -1即｛4a+b =0 ①｛4a = b ²-4ac ②由①,得 a b = -4由②,得 c =a 4 b -4ac 2 ③两边同时除以 a,得 a c = 224a b - a 1，把 ab= -4 代入,得a c = 4 -a 1，对 ax ²+bx+c =0,设两根为 m 和 n,则 m+n = -ab ,mn = ac,所以有：m ³+n ³= (m+n)(m ²-mn+n ²)= (m+n)(m ²+n ²+2mn-3mn)= (m+n)((m+n)²-3mn)= -a b (22b a -3a c )= 4×(16-3×(4-a 1))= 64-48+a12= 16+a 12，因为 m ³+n ³ =24所以 16+a 12 =24，解得 a = 23把 a =23代入 ①,得 b = -6把 a = 23,b = -6 代入 ③,得 c =5所以原二次三项式为 23x ² -6x+5当 x= -1时,原式= a-b+c=23+6+5= 12.52、若在实数范围内有因式分解: x 3 + px + q = (x - a )(x - b )(x - c ) , 且 q ≠ 0 , 则abccb a 333++=【解析】:33、若互不相等的实数 a ,b , c 满足a b a a c b a c c c b a ++=++++=++22,22及）等于（则（))()(a c c b b a +++（A ）1（B（ 222（C（± 1（D（ ±22【解析】:D4、(第21届决赛第14题)已知S 0=5，对于任意的自然数k ，13511k k k S S k k ++=-++，求S 100。
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习20：代数恒等式的证明
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c −=−11 ∴bc=ba cb −− b-c=ca ac c a −=−11 ∴ca=c b a c −− 同理ab=ac b a −− ∴ab bc ca ＝a c b a −−b a c b −−c b a c −−＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111−=− 9．己知：ac z c b y b a x −=−=− 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习20参考答案：1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b ）23. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
初中数学竞赛专题选讲-代数恒等式的证明
初中数学竞赛专题选讲代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=ba cb -- b-c=ca ac c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=ac b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222nc mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习题参考答案1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)211.11. 用待定系数法[文章来源：教师之家/转载请保留出处] [相关优质课视频请访问：教学视频网/]。
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第二十三讲 代数证明
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．
在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；
(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，
)0(1≠=右边右边
左边
． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．
代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．
例题求解 【例1】(1)求证：
a
a z a y a x a az z a ay y a ax x 3
1112
2
2
+-+-+-=
-+
-+
- （2）求证：)1
)(1)(1(4)1()1()1(222ab
ab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++．
思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．
注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．
代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．
【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题)
思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．
【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．
(天津市竞赛题)
思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知333cz by ax ==，且11
11=++
z
y x
． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．
思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．
【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abc
c b a 3)(--中至少有一个
不小于6． (北京市竞赛题)
思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；
(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．
不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A —B>0，则A>B ； (2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+； (4)21
≥+
x
x （x>0）
； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、
、 21中至少有一个大于n
M
． 学力训练
1．已知b a b a P +-=
，c b c b q +-=，r=a
c a
c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z
b y a x ，0=++z
c y b x a ．求证：1222222=++c
z b y a x ． 3．已知：
)
(3)(2a c a
c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：b
b 1
243239+
=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2
+( x －y)2
+(z —x)2
=(y+z －2x)2
+(z+x －2y)2
+(x+y —2z)2
，求证：
1)
1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．
(重庆市竞赛题)
6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3． 7．已知11111
=++=++z
y x z y x
，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若
z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记z
y x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈
牙利竞赛题) 9．已知
0=-+-+-b a c
a c
b
c b a ，求证：0)
()()(2
22=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：1
2
-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)
11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：91
11≥++c
b a ． 12．如果正数a 、b 、
c 满足b c a 2=+，求证：a
c c
b b
a +=
++
+211．
(北京市竞赛题)
13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题： ①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2； ②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ； ③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。