贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第十五讲 平行四边形 人教新课标版
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二讲 分解方法的延拓 人教新课标版
第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解． 例题求解【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．A ．7B ．8C ．15D ．2l(2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．【例3】把下列各式分解因式：(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题)（2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题)(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题)(4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)思路点拨 因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?(江苏省竞赛题)思路点拨 由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．学历训练1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x （江西省中考题）（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ．(郑州市竞赛题)2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．(2003年青岛市中考题)4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1123-+n m 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)5．已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+的值为( ) A ．3 B ． 31 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )A ．－2B ．－lC ．0D ．2(江苏省竞赛题)7．44+a d 分解因式的结果是（ ）A ．)22)(22(22+--+a a a aB ．)22)(22(22---+a a a aC ．)22)(22(22--++a a a aD ．)22)(22(22+-++a a a a(北京市竞赛题)8．把下列各式分解因式：(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；(3)2222)()1(x x x x ++++；（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题)(5)893+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．（第15届“希望杯”邀请赛试题）10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ． (第15届江苏省竞赛题)11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ．(重庆市竞赛题)12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．(北京市竞赛题)13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为 ．14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( )A ．(2，2)或(－2，－2)B ．(2，2)或(2，－2)C ．(2，－2)或(－2，2)D ．(－2，－2)或(－2，2)15．将145++x x 因式分解得( )A ．)1)(1(32++++x x x xB ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( )A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a ==B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a ===17．把下列各式分解因式：(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++；(3)15++x x ； (4)93523-++x x x ；(5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012+20012× 20022十20022，求证：a 是一个完全平方数．(希望杯题)。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二十五讲 整体的方法 人教新课标版
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式y x z y x 3200020002000+++的值为 ．(安庆市竞赛题)思路点拨 原式=yx z y x 3)(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造．【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手．【例3】 已知219941+=x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．(山东省竞赛题)思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．学历训练1．如果012=-+x x ，则3223++x x = ． ( “希望杯”邀请赛试题) 2．已知2311222--=-x x ，那么)1()1111(2x x x x x +-÷+--= ． (2001年武汉市中考题)3．已知x 是实数，且满足222322=--+x x x x ，那么x x 22+的值是 ．(河南省竞赛题)4．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE 且AB=DE ，BC ∥EF 且BC=EF ，AF ∥CD 且AF=CD ，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF 的面积是 ．5．已知251-=a ，251+=b ，则722++b a 的值为( )A ．3 D ．4 C ． 5 D ．6 (2003年杭州市中考题)6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )A ．20元B ．25元C ．30元D ．35元(江苏省竞赛题)7．已知a 1，a 2，…a 2002均为正数，且满足M=( a 1+ a 2+…+ a 2001)( a 2+ a 3+…+ a 2001－a 2002)，N ＝(a 1+ a 2+…+ a 2001－a 2002) (a 2+ a 3+…+ a 2001)，则M 与N 之间的关系是( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．无法确定(2002年绍兴市竞赛题)8．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++222等于( )A ．105 D ．100 C ．75 D ．50(北京市竞赛题)9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P ，求户的最大值．(江苏省竞赛题)10．如图，CD ∥AF ，∠CDE=∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C=124°，∠E=80°，求∠F 的度数．11．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)12．已知32=+xy x ，22-=+y xy ，则2232y xy x --2= ． (湖北省数学竞赛题) 13．若22+=x ，22-=y ，则66y x +的值是 ．14．正数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x x x x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x x x x x x ，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6z 的值为 ． (上海市竞赛题)15． 已知实数x ，y 满足xy+x+y= 9，2022=+xy y x z ，则22y x +的值为( )A ．6B ．17C ．1D ．6或1716．如图，在四边形ABCD 中，AB=4－2，BC ＝1，CD=3，∠B=135°，∠C ＝90°，则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定 (重庆市竞赛题)17．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值为( ) A －20 B ．2 C ．2或－20 D ．2或2018．设 a 、b 、c 为实数，322π+-=b a x ，622π+-=c b y ，222π+-=a c z ，则x 、y 、z 中至少有一个( )A ．大于零B ．等于零C ．不大于零D ．小于零(全国初中数学竞赛题)19．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5－3，CD=6，求AD 的长．20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M ，求M 的最小值并完成你的填图．21．求系数a 、b 、c 间的关系式，使方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222b ax cx a cx bx c bx ax 有实数解．22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?(河南省竞赛题)。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第一讲 分解方法的延拓 人教新课标版
——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．( “五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)(上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)；(2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组：(2)按次数分组；(3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学力训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (重庆市中考题)4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）．A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x (北京中考题)6．下列5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (“希望杯”邀请赛试题)8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9．分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． (“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ． 11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（ “五羊杯”竞赛题）13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． (北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定(第 “希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)． 求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)。
八年级数学下册-平行四边形总复习-人教版名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
A
D
从一般到特殊
矩形旳定义：
B
C
有一种角是直角旳平行四边形叫做矩形
边 矩形对边平行且相等； 角 矩形旳四个角都是直角； 对角线 矩形旳对角线相等且平分；
直角三角形斜边上旳中线性质 直角三角形斜边上旳中线等于斜边旳二分之
矩形旳鉴定措施：
(3).下列性质中，平行四边形不一定具有旳是（ C ）
(A)对角相等 (C )对角互补
(B)邻角互补 (D)内角和是360°
(4).下面鉴定四边形是平行四边形旳措施中，
错误旳是（ D ）。
(A)一组对边平行，另一组对边也平行； (B)一组对角相等，另一组对角也相等； (C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
A
E
D
D
M
C
B
F
C
第（12）题图
N
A
B
第（13）题图
（13）、如图，□ABCD中，BM垂直AC于M,DN垂直AC
于N, 试阐明：四边形BMDN是平行四边形。
思索：
□ABCD旳周长为32cm, ∠ABC旳角平分
线交边AD所在直线于点E，且AE:ED =3：2，则AB＝____6_c_m_或__1_2_c_m__．
(5).能够鉴定一种四边形是平行四边形旳条件是（ B ）
(A)一组对角相等
(B)两条对角线相互平分
(C )两条对角线相互垂直 (D)一对邻角旳和为180°
(6)、在△ABC中，AB=AC=６cm，
D是BC上一点，且DE∥AC，交AB
于E，DF∥AB，交AC于F，则四边
A
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第十八讲 由中点想到什么 人教新课标版
第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( )A．AB=MN B．AB>MN C．AB<MN D．上述三种情况均可能出现(2001年某某省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．(某某省某某市中考题)思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年某某省中考题)思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】 如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ． (2001年某某赛区试题)思路点拨 通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注 需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH=．(2003年某某中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 233137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn=(n ≥1且 n 为整数).(200l 年某某省某某市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于cm．(2002年某某市中考题)5．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( ) A．40 B．48 C 50 D．566．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18㎝，则EF的长为( )A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB 的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )A．不能确定 B．23 C．3 D．3+1(2001年某某省某某市中考题)8．已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．以上命题中，正确的是( )A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④(2001年某某省某某市中考题)9．如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．(2003年某某市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年某某省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC=．(某某市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．27316．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论．(某某省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(某某省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二十九讲 图形的平移与旋转 人教新课标版
第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，，MN= ，DN=n，则以线段、m、n为边长的三角形的形状是A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：1图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；2图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；3图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED —AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．全俄数学奥林匹克竞赛题思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】 如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使AE=CF ．已知BC=2，求证：EF ≥1． 西安市竞赛题思路点拨 本例实际上就是证明2EF ≥BC ，不便直接证明，通过平移把BC 与EF 集中到同一个三角形中．注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：1两点间线段最短，垂线段最短；2三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3同一个三角形中大边对大角大角对大边，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】 如图，等边△ABC 的边长为31225+=a 3 C ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点2．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE 、BC 的延长线交于点F ，若AE=10，则S △ADE S △CEF 的值是 ．绍兴市中考题12．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m NN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；2求△ABC 与△A 1BC 1公共部分的面积． 山东省竞赛题18．1操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．2尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．3探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．江苏省连云港市中考题。
《平行四边形——平行四边形的判定》数学教学PPT课件(6篇)
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= 1 AB，FD= 1 CD，
2
2
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
例题精析
例2 平行四边形ABCD中，AE＝CF， M，N分别是DE，BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF. ∴四边形EDFB是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
课堂精练
9. 如图，在▱ABCD中，点E，F 在对角线BD上，且BE＝DF， 求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝DO，又∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF， 即EO＝OF，∴四边形AECF是平行四边形
课堂精练 10．(2019·淮安)已知：如图，在▱ABCD中， 点E，F分别是边AD，BC的中点． 求证：BE＝DF.
证明：∵ AB=DC，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ AB∥DC． 又∵ DC=EF，DE=CF， ∴ 四边形DCFE也是平行四边形． ∴ DC∥EF． ∴ AB∥EF．
新课探究
例2 如图，□ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
∴ △AOD≌△COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC．
判定3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
《平行四边形的判定》公开课课件 人教版 八年级下册
作业：
1、P50第4、5题 2、证明：两组对角分别相等的四 边形是平行四边形
再见
人教版八年级数学上册：
18.1.2 平行四边形的判定（1）
1、平行四边形的定义是什么?
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、平行四边形有哪些性质?
平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行且相等 角：对角相等、邻角互补
对角线：两组对角线互相平分
我们如何判断一个四边形为平行四边形呢？
1、定义法：两组对边分别平行的四边形 为平行四边形
（定义既是性质、定义也是判别）
工具：两对长度相等的小棒（4根）
问题：你能把它们摆成一个平行 四边形吗？
已知：四边形ABCD中，AB=CD、AD=BC, 试说明四边形ABCD为平行四边形
A
证明：
∵AB=CD、AD=BC、AC=CA
ABCDCA (SSS) BAC=DCA、BCA=DAC
B
ABCD、BCAD
四边形ABCD是平行四边形
D C
以上探索过程你能用文字表示吗？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
工具：两根长度不相等的小棒、 刻度尺
问题：你能用它们画出一个平行 四边形吗？
已知：四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且 OA=OC、OB=OD. 求证：四边形ABCD为平行四边形
证明：∵OA=OC,OD=OB AOD=COB
ABCDCA (SAS) OAD=OCB ADBC 同理：ABCD 四边形ABCD是平行四边形
D A
C O
B
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
边
角 对角线
性质
平行四边形两组对边 分别平行
平行四边形两组对边 分别相等
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第十五讲平行四边形平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．熟悉以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD 于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．(全国初中数学联赛试题)思路点拨分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．注特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．【例2】已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A．4种 B．9种 C．13种 D． 15种(山东省竞赛题)思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．【例3】】如图，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．(湖北省荆州市中考题)思路点拨从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．(全国初中数学联赛试题)思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．【例5】如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度数．(北京市竞赛题)思路点拨题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置．注课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题．其中有真命题与假命题，对于假命题，要善于并熟悉构造反例．构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念．培养推理能力，数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例．若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．学力训练1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)(宁波市中考题)2．(1)如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠CAC＝； (河南省中考题)(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm2． (武汉市中考题)3．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．(1)四边形ADEF是；(2)当△ABC满足条件时，四边形ADEF为矩形；(3)当△ABC满足条件时，四边形ADEF不存在． (2000年贵州省中考题)4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+错误!未找到引用源。
，则这两边之积为． (2001年天津市选拔赛试题)5．四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足错误!未找到引用源。
，则这个四边形一定是( )A．平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形6．如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为( )A．98 B．196 C．280 D． 284(湖北省荆州市中考题)7．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分)为( )A．12错误!未找到引用源。
m B．20m C． 22m D．24m(吉林省中考题)8．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则( )A．AD>BC B．AD<BCC．AD=BC D．AD与BC的大小关系不能确定(“希望杯”邀请赛试题)9．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论． (南通市中考题)10．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC 于C，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．(黑龙江省中考题)11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有对四边形面积相等，它们是．(常州市中考题)13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+错误!未找到引用源。
，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE= ．15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为． (山东省竞赛题)16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是( )A．60° B．65° C．70° D．75° (“希望杯”邀请赛试题)17．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是( )A．70° B．75° C．80° D．95°(重庆市竞赛题)18．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=错误!未找到引用源。
，PB=错误!未找到引用源。
，PC=错误!未找到引用源。
，则PD=( ) A．2错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C ．3错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
(“五羊杯”竞赛题)19．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CZ⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF= 54°，则∠B=( )A．54° B．60° C．66° D．72°(武汉市选拔赛试题)20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．21．如图，菱形的对角线AC与BD交于点O，延长BA到E，使AE=错误!未找到引用源。
AB，连结OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：OE=错误!未找到引用源。
DF．22．阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?(陕西省中考题)23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．(杭州市“求是杯”竞赛题)24．如图，在锐角△ABC中，AD、CZ分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结PQ、DE．(1)求证；直线PQ是线段DE的垂直平分线；(2)如果△ABC是钝角三角形，∠BAC>90°，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．(“希望杯”邀请赛试题)。