八年级数学竞赛讲座整体的方法附答案

第二十五讲 整体的方法

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．

解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．

整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．

例题求解

【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式y

x z

y x 3200020002000+++的值为 ．(安

庆市竞赛题) 思路点拨 原式=

y

x z y x 3)

(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造．

【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手．

【例3】 已知2

1994

1+=

x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．

【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．

(山东省竞赛题)

思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．

【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?

思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．

注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．

从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．

学历训练

1．如果012=-+x x ，则3223++x x = ．

( “希望杯”邀请赛试题) 2．已知

2

3112

22--=

-x x ，那么)1

()1111(

2x x x

x x +-÷+--= ． (2001年武汉市中考题) 3．已知x 是实数，且满足222322=--+x x x

x ，那么x x 22+的值是 ．

(河南省竞赛题)

4．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE 且AB=DE ，BC ∥EF 且BC=EF ，AF ∥CD 且AF=CD ，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF 的面积是 ． 5．已知2

51-=

a ，2

51+=

b ，则722++b a 的值为( )

A ．3 D ．4 C ． 5 D ．6 (2003年杭州市中考题)

6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( ) A ．20元 B ．25元 C ．30元 D ．35元 (江苏省竞赛题)

7．已知a 1，a 2，…a 2002均为正数，且满足M=( a 1+ a 2+…+ a 2001)( a 2+ a 3+…+ a 2001－a 2002)，N ＝(a 1+ a 2+…+ a 2001－a 2002) (a 2+ a 3+…+ a 2001)，则M 与N 之间的关系是( ) A ．M>N B ．M

8．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++222等于( ) A ．105 D ．100 C ．75 D ．50 (北京市竞赛题)

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P ，求户的最大值．

(江苏省竞赛题)

10．如图，CD ∥AF ，∠CDE=∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C=124°，∠E=80°，求∠F 的度数．

11．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题)

12．已知32=+xy x ，22-=+y xy ，则2232y xy x --2= ． (湖北省数学竞赛题)

13．若22+=x ，22-=y ，则66y x +的值是 ． 14．正数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6同时满足

1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x x x x x x ，44

65321=x x

x x x x ，

6564321=x x x x x x ，96

54321=x x

x x x x ，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6z 的值为 ．

(上海市竞赛题)

15． 已知实数x ，y 满足xy+x+y= 9，2022=+xy y x z ，则22y x +的值为( ) A ．6 B ．17 C ．1 D ．6或17