【八年级数学竞赛讲座】第00讲 实数的概念及性质

第一讲 实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p q

的形式；无理数是

无限不循环小数，不能写成分数

p

q

的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解

【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．

注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．

【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足a b －a －b+1=0，则b 是一个( )

A ．小于0的有理数

B ．大于0的有理数

C ．小于0的无理数

D ．大于0的无理数

(武汉市选拔赛试题)

思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式．

【例3】已知a 、b 是有理数，且0320

9

1412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值．

思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．

【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足ax y+by 2＝1，求a +b 的值． (南昌市竞赛题)

(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x ]=[－77.66]x +1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)

思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy +by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x ]的性质，简化方程．

注： 设x 为一实数，则[x ]表示不大于x 的最大整数，[x ]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：

(1)x －1<[x ]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x ] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x +a ]= [x ]+ a ．

【例5】 已知在等式

s d

cx b

ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a +r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r

1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．

注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学力训练 1．已知x 、y 是实数，

096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a = ．

2．一个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．

4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴

11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．

(济南市中考题)

5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( )

A ．12-

B ．21-

C ．22-

D ．22- (江西省中考题)

6．已知x 是实数， 则π

ππ1

-+-+-x x x 的值是( )

A ．π1

1-

B ．π1

1+

C ．

11

-π D ．无法确定的

( “希望杯”邀请赛试题)

7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)

8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．

(山西省中考题)

9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，2

22=S ；41)3(2=+，2

3

3=

S ；… (1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA 10的长；

(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足

04

1

2212=+-+++-c c c b b a ，则a (b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)2

31()321(=--+++ππ

πy x ，那么x －y 的值是 ．

( “希望杯’邀请赛试题)

12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足a b+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)

13．已知正数a 、b 有下列命题：

①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则2

3≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则2

5

≤

ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a

+1

的值为( ) A ．

25 B ．2

5- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)

15．设[x ]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21?]+[32?]+[43?]+…+[101100?]的值为( )

A ．5151

B ．5150

C ．5050

D ．5049

( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a

b

a b

a -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题)

17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：

2

2

2

)(1)(1)(1a c c b b a -+

-+

-为有理数．

18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量

为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．

19．阅读下面材料，并解答下列问题：

在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：

①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算．

定义：如果a b =N (a >0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81

，所以log 28

1=－3．

(1)根据定义计算:

①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a >0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a N

M ，并说明理由．

(泰州市中考题) 20．设d

cx b

ax y ++=

，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证： (1)当bc =a d 时，y 是有理数；

(2)当bc ≠a d 时，y 是无理数．

设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求△ABC 的形状．

第二讲 分解方法的延拓

——换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法． 一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构． 例题求解

【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ． ( “五羊杯”竞赛题)

思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构． 【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z )(x +y)(x －z ) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ．(y+z )(x 一y)(x +z ) D ．(y 十z )(x +y)(x 一z)

(上海市竞赛题)

思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口． 【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x +1)(x ＋2)(x +3)(x +6)+ x 2； (天津市竞赛题) (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)

(3)(x +y －2x y)(x +y －2)＋(x y －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)

(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)

思路点拔 (1)是形如a bcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x +y ；x y 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．

【例4】把下列各式分解因式： (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a )+c 2 (a 一b)； (2)x 2+x y －2y 2－x +7y －6．

思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+b x y+cy 2+d x +ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解． 【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33． x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4x y 4+12y 5．

(莫斯科奥林匹克八年级试题)

思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．

注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有： （1）按字母分组：

(2)按次数分组； (3)按系数分组．

为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：

（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；

(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++

学力训练

1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．

3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (重庆市中考题)

4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．

5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）．

A ．)1)(3(22-+x x

B ．)3)(1(22-+x x

C ．)1)(1)(3(2+-+x x x

D ．)3)(3)(1(2+-+x x x (北京中考题) 6．下列5个多项式：

①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．

A ．①、②、③

B ．②、③ 、④

C ．①③ 、④、⑤

D ．①、②、④ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．

A ．2727923-+-x x x

B ．272723-+-x x x

C ．272734-+-x x x

D ．279323-+-x x x (“希望杯”邀请赛试题)

8．若51-=+b a ，13=+b a ，则5

3

912322+++b ab a 的值为( )．

A ．

92 B ．32 C ．5

4

D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9．分解因式

（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1； (3)x 4+2001x 2+2000x+2001；

(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2； (5)bc ac ab c b a 54332222+++++；

(6)613622-++-+y x y xy x ． (“希望杯”邀请赛试题) 10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ． 11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．

12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（ “五羊杯”竞赛题）

13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． (北京市竞赛题)

14．613223+-+x x x 的因式是( )

A ．12-x

B ．2+x

C ．3-x

D ．12+x

E ．12+x

15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M N C ．M ＝N D ．不能确定

(第 “希望杯”邀请赛试题)

16．把下列各式分解因式： (1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；

(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题)

(3)2)1()2

1(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题) (4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（“五羊杯”竞赛题） (5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题) 17．已知乘法公式：

))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．

利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题) 18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)． 求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)

第三讲 分解方法的延拓

——配方法与待定系数法

在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．

把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．

对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：

1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；

2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；

3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解． 例题求解

【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．

(2002年重庆市竞赛题)

思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配． 注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．

配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用． 【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．

A ．7

B ．8

C ．15

D ．2l (2001年武汉市选拔赛试题)

思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．

【例3】把下列各式分解因式：

(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) （2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题) (3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题)

(4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)

思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．

【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)

思路点拨 因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．

【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?

(江苏省竞赛题)

思路点拨 由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．

学历训练 1．(1)完成下列配方问题：[

])()()(

)

(212222++=+++=++x px x px x

（江西省中考题）

（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ．(郑州市竞赛题) 2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ． 3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． (2003年青岛市中考题)

4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么

1

123-+n m 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)

5．已知052422=+-++b a b a ，则

b

a b

a -+的值为( ) A ．3 B ．31 C ．3- D ．3

1

-

6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )

A ．－2

B ．－l

C ．0

D ．2 (江苏省竞赛题)

7．44+a d 分解因式的结果是（ ）

A ．)22)(22(22+--+a a a a

B ．)22)(22(22---+a a a a

C ．)22)(22(22--++a a a a

D ．)22)(22(22+-++a a a a (北京市竞赛题)

8．把下列各式分解因式：

(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++； (3)2222)()1(x x x x ++++；

（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题)

(5)893+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)

9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值． （第15届“希望杯”邀请赛试题）

10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ． (第15届江苏省竞赛题)

11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ． (重庆市竞赛题)

12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ． (北京市竞赛题)

13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为 ． 14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( ) A ．(2，2)或(－2，－2) B ．(2，2)或(2，－2) C ．(2，－2)或(－2，2) D ．(－2，－2)或(－2，2) 15．将145++x x 因式分解得( )

A ．)1)(1(32++++x x x x

B ．)1)(1(32+++-x x x x

C ．)1)(1(32+-+-x x x x

D ．)1)(1(32+-++x x x x

16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( ) A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a == B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==

C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===

D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a === 17．把下列各式分解因式：

(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++； (3)15++x x ； (4)93523-++x x x ；

(5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)

18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)

19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)

20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012+20012× 20022十20022，求证：a 是一个完全平方数．(希望杯题)

第四讲 因式分解的应用

在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．

因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高． 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一． 例题求解

【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ． (全国初中数学联赛题)

思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．

注：

在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：

(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；

(3)整体代入求值． 【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( ) A ．恒正 B ．恒负C ．可正可负D ．非负 (大原市竞赛题)

思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．

【例3】计算下列各题：

（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()

219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ；

（2）

2001

2000200019982000220002

3

23-+-?-

思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．

【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值． ( “希望杯’邀请赛试题)

思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路． 【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解； (上海市竞赛题)

(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口． 链接

解题思路的获得，一般要经历三个步骤：

(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等； (2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；

(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构． 不定方程(组)的基本解法有：

(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．

运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．

学力训练 1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ． 2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ． 4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ． (四川省竞赛题)

5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A ．41，48 B ．45，47 C ．43，48 D ．4l ，47

6，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则x y

y x +的值是( )

A ． 2，2

12 B ．2 C ．2

12 D ．－2，2

12

- 7．a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( ) A ．一2 B ．一1 C ．0 D ． 2 (江苏省竞赛题)

8．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( ) A ．1999 B ．2001 C ．2003 D ．2005 （武汉市选拔赛试题）

9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；

(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差； （3）计算：

)

4

19)(417)(415)(413)(411()

4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++ 10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．

(“五城市”联赛题)

11．已知a 、b 、c 满足a+b ＝5，c 2＝ab+b －9，则c ＝ ． (江苏省竞赛题)

12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c ，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)

13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题) 14．已知01445=--+--b a a b a a ，且132=-b a ，则33b a +的值等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题)

15．设a

关系为( )

A ．x

B ． y

C ．z

D ．不能确定

16．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ． 3 ( “希望杯”邀请赛试题)

17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：020012=+-m p p ，020012=+-m q q ，m 是适当的整数，那么22q p +的数值是( )

A ．4004006

B ．3996005

C ．3996003

D ．4004004

18．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )

A ．5814

B ．5841

C ．8415

D ．845l (陕西省竞赛题) 19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k 不是质数．

20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题) 21．已知b 、c 是整数，二次三项式x 2+bx ＋c 既是x 4+6x 2+25的一个因式，也是x 3+4x 2+28x+5的一个因式，求x ＝1时，x 2+bx ＋c 的值． (美国中学生数学竞赛题) 22．按下面规则扩充新数：

已有两数a 、b ，可按规则c=ab+a+b 扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．

现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)

第五讲 三角形的边与角

三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用． 解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论： (1) ∠l ＋∠2=∠3+∠4；

(2) 若BD 、CO 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC=90°+

21

∠A ； (3) 若BO 、CO 分别为∠DBC 、∠ECB 的平分线，则∠BOC=90°－2

1

∠A ； (4) 若BE 、CE 分别为∠ABC 、∠ACD 的平分线，则∠E=

2

1

∠A ．

注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．

代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)． 例题求解

【例1】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C ＝7∠A ，则∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题)

思路点拨 设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组．

【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A ．4个 B ．7个 C ．13个 D ．60个 (河南省竞赛题)

思路点拨 1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的关系制约．

【例3】 (1)如图，BE 是∠ABD 的平分线．CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A 的大小． (“希望杯”邀请赛试题)

(2)在△ABC 中，∠A=50°，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，求∠BOC 的度数． (“东方航空杯”——上海市竞赛题)

思路点拨 (1)运用凹边形的性质计算．(2)由O 不与B 、C 重合知，∠B 、∠C 均非直角，这样，△ABC 既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种情况讨论．

【例4】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个? (2003年河南省竞赛题)

思路点拨 不妨设三角形三边为a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，由三角形三边关系定理及题设条件可确定 c 的取值范围，以此作为解题的突破口．

注 如图，在凹四边ABCD 中，∠BDC=∠A ＋∠B ＋∠C ．请读者证明．

解所研究的问题的图形形状不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时．往往用到分类讨论法．

【例5】 (1)用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数． (大原市竞赛题)

(2)现有长为150cm 的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于l ㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段．

(第17届江苏省竞赛题)

思路点拨 (1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x 、y 、3x ，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．

(2)因n 段之和为定值150㎝，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．

学力训练

1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． (2003年河南省竞赛题)

2．一条线段的长为a ，若要使3a —l ，4a+1，12－a 这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围是 ． 3．如图，在△ABC 中，两条角平分线CD 、BE 相交于点F ，∠A ＝60°，则∠DFE ＝ 度．

4．如图，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝α，∠DBE ＝β，则∠DCE ＝ ． (用α、β表示)． (山东省竞赛题)

5．若a 、b 、c 为三角形的三边，则下列关系式中正确的是( ) A ．02222>---bc c b a B ．02222=---bc c b a C ．02222<---bc c b a D ．02222≤---bc c b a (江苏省竞赛题)

6．△ABC 的内角A 、B 、C 满足3A>5B ，3C ≤2B ，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

7．如图，△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为( )

A ．360°

B ．900°

C ．1260°

D ．1440° (重庆市竞赛题)

8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )

A ．50°

B ．45°

C ．40°

D ．35° (山东省竞赛题) 9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D ＝180°．

10．如图，已知射线ox 与射线oy 互相垂直，B ，A 分别为ox 、oy 上一动点，∠ABx 、∠BAy 的平分线交于C ．

问：B 、A 在ox 、oy 上运动过程中，∠C 的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由．

11．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．

12．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围 ． 13．已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，则b 的取值范围是 ． 14．如图，E 和D 分别在△ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，若∠B ＝70°，∠D=40°，则∠F 的大小是 ． 15．已知△ABC 中，∠B=60°，∠C>∠A ，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 ( “希望杯”邀请赛试题)

16．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( ) A ．

143<

1

<

18．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( )

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形

19．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

20．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．(美国数学邀请赛试题)

21．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b，c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形．

(1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)；

(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b，

c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；

(3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类．

(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

22．阅读以下材料并填空．

平面上有n个点(n≥2)，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?

(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线……

(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S发现：

(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3．条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1 O条直线；

(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现：

点的个数可连成直线条数

2

1=S2=

21

2?

3

3=S3=

22

3?

4

6=S4=

23

4?

5

10=S5=

24

5?

(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点以有n种取法，取第二个点B 有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但A B与BA是同一条直线，故应除以2，

即Sn=

21)

-

n(n

．

(4)结论：Sn=

21)

-

n(n

．

试探究以下问题：平面上有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?

(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．

Sn,发现：(填下表)

(3)推理：

(4)结论：

(甘肃省中考题)

第六讲多边形的边角与对角线

边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识．

多边形的内角和定理反映出一定的规律性：(n－2)×180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧．

将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成

)2

(-

n个多角形，凸n边形一共可引出

2)3

(-

n

n

对角线．

例题求解

【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是．

(江苏省竞赛题)

思路点拨设除去的角为°，y°，多边形的边数为n，可建立关于x、y的不定方程；又0°

链接世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他一些几何图形．

【例2】在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )

A．0 B．1 C．3 D．5

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨．

【例3】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长．

(乌鲁木齐市中考题)

思路点拨把动手操作与合情想象相结合，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形．

注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题．

本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解．

【例4】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．

(1)请根据下列图形，填写表中空格：

(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

(3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由．

(陕西省中考题)

思路点拨本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360°，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解．

【例5】如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'．

（1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一个五边形吗?说明理由．

(2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位．

(江苏省竞赛题)

思路点拨(1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB'；B'PC'；C'ND'；D'LE'；E'IA'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圆的周长逼近估算．

学力训练

1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是㎝，周长最小的是cm．

(选6《荚国中小学数学课程标准》)