线性代数证明题
自考线性代数证明题
27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332322131211000a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵． 四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．四、证明题（本大题6分）27．设α为0=Ax 的非零解，β为b Ax =（0≠b ）的解，证明α与β线性无关． 证：设021=+βαk k ，则0)(21=+βαk k A ，021=+βαA k A k ，0021=+b k k ，由此可得02=k ，从而01=αk ，又0≠α，可得01=k ，所以α与β线性无关．27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，r ξξξ,,,21 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明r ξξξη,,,,21 线性无关．证：设02211=++++r r k k k k ξξξη ， 则0)(2211=++++r r k k k k A ξξξη ， 02211=++++r r A k A k A k kA ξξξη ，000021=++++r k k k kb ，0=kb ， 由0≠b ，得0=k --（1） 从而02211=+++r r k k k ξξξ ， 由r ξξξ,,,21 线性无关，得021====r k k k -（2） 由（1）（2）可知r ξξξη,,,,21 线性四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关． 证：设0332211=++βββk k k ，即0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ， 0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，因为321,,ααα线性无关，必有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，021111110110101110011101||≠=-=-==A ，方程组只有零解：0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．证明：若向量组n ααα,,,21 线性无关，而n n n n ααβααβααβααβ+=+=+=+=-132321211,,,, ，则向量组n βββ,,,21 线性无关的充要条件是n 为奇数．证：设02211=+++n n k k k βββ ，即0)()()(1232121=+++++++n n k k k k k k ααα ，由n ααα,,,21 线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+0013221n k k k k k k ，其系数行列式110000100110001)1(10001100001001110001110000010001100011||1nA +-+== n +-+=1)1(1，当且仅当n 为奇数时，0||≠A ，齐次方程组只有零解，n βββ,,,21 线性无四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ 四、证明题（本大题6分）27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。
《线性代数》常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1关于-「m线性相关性的证明中常用的结论(1)设'' m> m = °，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明U，'m必全为零，则…「m线性无关；如果能得到不全为零的-厂，’m使得等式成立，贝，1厂「m线性相关。
(2)i厂「m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
(3)如果〉i厂「m F n，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
(4 ) 如果我们有两个线性无关组，〉1厂，5，W i，1，,「W且W「W 是同一个线性空间的两个子空间，要证>1,…「m「i，_「t线性无关。
这种情况下，有些时候我们设-°1 1 mm 11 t t1 1 mm， 1 1 t t根据题设条件往往能得到----° ,进而由〉1，_「m・W「」…，1 W的线性无关得到系数全为零。
题型2・关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义U B二(X i， ,X n)，B 二(y「，y n)。
则(u,v)二人％人丫“5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1)初等变换不改变矩阵的秩(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3)阶梯形的秩(4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A Bp r(A) r(B);r(AB)乞min{ r(A),r(B)};r(A) = r(A T) = r(A T A);max{r(A), r(B)}乞r(A, B) = r I T乞r(A) r(B);6丿Ar = r(A) + r(B);< B丿(A、r(A) + r(B)兰r | 兰r(A) + r(B) + r(C);<C B丿A m nB 二0= r(A) r(B尸n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(A m n) r(B厂n r(AB)。
线性代数证明题
线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。
3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。
10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。
13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
考研线代证明题
考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。
线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。
这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。
二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。
线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。
三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。
具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。
四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。
我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。
2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。
3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。
4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n，则行列式等于（）A. m+nB. -（m+n）C. n-mD. m—n2。
设矩阵A=，则A—1等于( ）A. B。
C。
D.3。
设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A＊中位于(1，2)的元素是( )A. –6B. 6C. 2 D。
–24。
设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A。
A =0 B. BC时A=0C. A0时B=CD. ｜A｜0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T）等于（)A。
1 B。
2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。
有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-β）=0sD.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsα=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0s7.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r—1阶子式都不为0 B。
所有r—1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08。
设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解,则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C。
η1—η2是Ax=0的一个解D。
2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（)A。
线性代数证明题练习
线性代数证明题练习线性代数证明题是线性代数课程中的一部分，通过解答这些证明题可以加深对线性代数理论的理解和掌握。
本文将提供一些线性代数证明题的练，帮助读者提高他们的证明能力。
1. 向量空间的性质证明1.1 证明向量空间的加法交换律要证明向量空间的加法交换律，需要证明对于任意的向量a和b，有a + b = b + a。
下面是证明的步骤：* 步骤1：首先考虑向量的定义。
向量可以表示为a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，其中ai和bi分别是实数。
根据向量的定义，a + b可以表示为(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
* 步骤2：考虑向量加法的交换性质。
根据实数的加法交换律，可以推导出向量加法的交换律。
因此，可以得出(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)。
* 步骤3：得出结论。
根据步骤2的结果，可以得出a + b = b + a。
通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的加法交换律成立。
1.2 证明向量空间的数乘结合律要证明向量空间的数乘结合律，需要证明对于任意的实数k和向量a，有k(a) = (ka)。
下面是证明的步骤：* 步骤1：考虑向量和数的定义。
向量a可以表示为a = (a1,a2, ..., an)，其中ai是实数。
数k可以表示为一个实数k。
* 步骤2：考虑数乘的定义。
数乘k(a)可以表示为(k * a1, k *a2, ..., k * an)。
* 步骤3：考虑数乘的结合性质。
根据实数的乘法结合律，可以推导出数乘的结合律。
因此，可以得出(k * a1, k * a2, ..., k * an) = (ka1, ka2, ..., kan)。
* 步骤4：得出结论。
根据步骤3的结果，可以得出k(a) = (ka)。
通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的数乘结合律成立。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
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线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。
3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。
10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 TA A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。
13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。
18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321ββββ，，，线性相关.19．向量组123,,ααα与向量组123,,βββ等价的充分必要条件为： 123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==20. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，AB 为可逆矩阵，且m n ≠，则B 的列向量组线性无关。
21．{}11211(,,),,,0Tn n n V x x x x x x R x x ==∈++= ，证明1V 是向量空间22.设向量211ααβ-=，322ααβ-=,323ααβ-=,……, 1ααβ-=r r 且向量组12,,,r a a α 线性无关，证明向量组12,,,r b b b 线性无关。
23. 设Ａ，Ｂ都是n 阶矩阵，且ＡＢ＝０。
证明()()R A R B n +≤。
24. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且m n >，证明0AB =。
25．已知向量组12,,m ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m ααα的秩为m ． 26．设有两个向量组12:,,,r A ααα；112:B =-βαα，223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．27．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m ααα(m ≥2),且12+++m = βααα，证明向量组12,,,m β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m ααα线性无关． 28． 设向量组12,,,m A :ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l + αααββ线性无关(其中l 为常数)． 29．设12,,s ααα线性无关，12+++s s λλλ12= βααα，其中i λ≠0，证明11+1,,,,,i-i s ααβαα线性无关．30．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．31．设V 1是由T 1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．32．证明由T T T 123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ． 33.向量组A:n a a a ,,21；B:m βββ ,,21 ；C:m n a a a βββ ,,,,,2121，证明：)()()())(),(max(B r A r C r B r A r +≤≤33．设,A B 是同型矩阵， 证明()()()R R R +≤+A B A B ．34．证明n 维向量组12n ,,, a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由12,,,n a a a 线性表示．35. 设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 为n 阶单位阵，证明n E A R A R =-+)()(36. 设向量组r a a a ,,21 是齐次线性方程组AX=O 的一个基础解系，向量β不是方程组AX=O 的解，即βA ≠0，求证：r αβαββ++,,,1 线性无关。
37.对于矩阵s n n m B A ⨯⨯,，有n AB r B r A r ≤-+)()()(。
证明：构造如下矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n E AB C 00,显然有n AB r C r +=)()(，对C 作如下变换：用A 乘以第二行再加到第一行得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛n E A AB 0 用第一列减去第二列右乘B 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n E BA 0,而)()(0B r A r E B A r n +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 故)()()()(B r A r n AB r C r +≥+=38.设A ,B 均为n 阶矩阵,且A 与-E AB 都可逆, 证明-E BA 可逆.39.设向量组;3;2;32133122211αααβαααβααβ++=--=-=。
若已知向量组321,,ααα线性无关，问向量组321,,βββ 是否线性相关，请证明之.40.如果()I B A +=21,证明：当且仅当I B =2时，A A =241.若A 是n 阶方阵，且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A 。
其中I 为单位矩阵。
42.设η为非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.43.设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组32,,ααβ也线性无关．44.已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 45.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k.证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关.46.设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关. 47.设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.48.设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.49.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量T b ，使T ab A =。
50.设A 为n m ⨯矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。
证：将s m ⨯矩阵X ，Y 按列分块为()s x x x X 21=，()s y y y Y 21=，则Y X -＝()s s y x y x y x --- 2211如果AY AX =，且n A R =)(； 即0)(=-Y X A ，且n A R =)(；亦即0)(=-j j y x A ，且n A R =)(，那么根据齐次线性方程组的理论，当n A R =)(时，齐次线性方程组0=AX 只有零解，0)(=-j j y x A 只有零解，即0=-j j y x ，亦即j j y x =，s j ,,2,1 =，故Y X =。
51.已知R(a 1, a 2, a 3)=2, R(a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.52.设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)(. 53.设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.。