《线性代数》经典证明题

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《线性代数》中的证明题集

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1.利用行列式展开定理证明:当βα≠时,有1100010001000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++. 证:将行列式按第一行展开,得12()n n n D D D αβαβ--=+-,则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=,所以1n n n D D βα--=. (1)由n D 关于α与β对称,得1n n n D D αβ--=. (2)由(1)与(2)解得11n n n D αβαβ++-=-.2.已知1326、2743、5005、3874都能被13整除,不计算行列式的值,证明4783500534726231能被13整除.证:41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874c c c cc c +++=.由已知,得后行列式的第4列具有公因子13,所以原行列式能被13整除.3.证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++.证: 构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =, 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------. (1)将5D 按第5列展开,得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+. (2)比较(1)与(2)右边3x 的系数,知结论成立.4.证明:当b a 4)1(2=-时,齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解.证:方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+,当0D =,即b a 4)1(2=-时,方程组有非零解.5.若A 为n 阶对称矩阵,P 为n 阶矩阵,证明TP AP 为对称矩阵. 证: 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===,所以T P AP 为对称矩阵.6.设,,A B C 都是n 阶矩阵,证明:ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆. 证:ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆.7.设n 阶方阵A 满足23AA O -=,证明2A E -可逆,并求()12A E --.证: 由23A A O -=,得(2)()2A E A E E --=,即(2)2A EA E E --=, 所以2A E -可逆,且()12A E --=2E A -.8.设A 为n 阶矩阵,且O A =3,证明A E -及A E +都是可逆矩阵.证: 由2A O =,得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=,所以A E -及A E +都是可逆矩阵.9.(1)设1P AP B -=,证明1kkB P A P -=.(2)设PB AP =,且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,求A 与2011A .证: (1)111111()()()()kkk B P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===.(2)由PB AP =,得1A PBP -=,且201120111APB P -=.又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭.10.(1)设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆,试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2)设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中12,,,n a a a 为非零常数,求1A -.证: (1)因为1111O B E O O C BB O E C O O E BO O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以A 可逆,且 111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)将矩阵进行如下分块:121000000000000n na a O B A a C O a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭.又111111121(,,,),()n n B diag a a a Ca -------==,所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000000001112111n n a a a a.11.设A 为n 阶矩阵,满足256A A E O ++=,证明:(2)(3)R A E R A E n +++=. 证: 由256A A E O ++=,得(2)(3)A E A E O ++=,所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=,所以(2)(3)R A E R A E n +++=.12.证明:(1)设,A B 为矩阵,则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵.(2)对任意n 阶矩阵,A B ,都有AB BA E -≠,其中E 为单位矩阵. 证:(1)设A 为m n ⨯矩阵,B 为s t ⨯矩阵,则AB BA -有意义,,,.n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪⇔⇔===⎨=⎪⎪=⎩, 即,A B 为同阶矩阵.(2)设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==,则BA AB -的主对角线上元素之和为111111110n nn n n n n nik kist ts ik ki ts st i k s t i k t s ab b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑,而E 的主对角线上元素之和为n ,所以AB BA E -≠.13.证明:任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和. 证: 设A 为任意n 阶矩阵,则22T TA A A A A +-=+,其中为2T A A +对称矩阵,2TA A -为反对称矩阵.(你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和)14.已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=,试证E A -可逆,并求1()A E --. 证: 由B A AB +=,得()()A E B E E --=,所以E A -可逆,且E B E A -=--1)(.15.设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵,证明:()A n E A E 111--=--. 证: ()211()111n E A E A E A A n n n --=-+---.又2A nA =,故 ()1()1E A E A E n --=-, 所以()A n E A E 111--=--.16.设n 阶矩阵A 与B 等价,且0A ≠,证明0B ≠.证: A 与B 等价,则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ,使得B PAQ =,有0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠.注:此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性.17.设A 为n 阶方阵,且A A =2,证明()()n E A R A R =-+.证: 因为2()A A E A A O -=-=,所以()()R A R A E n +-≤.又()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=,所以()()n E A R A R =-+.18.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <.若AB E =,其中E 为n 阶单位矩阵.证明方程组BX O =只有零解.证: 由AB E =,得()R AB n =.又()()n R B R AB n ≥≥=,得()R B n =,所以方程组BX O =只有零解.19.(1)设nR ∈α,证明:α线性相关当且仅当0α=.(2)设n R ∈21,αα,证明:21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例. 证:(1) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=.(2)21,αα线性相关11220k k αα⇔+=,其中12,k k 不全为零.不妨设10k ≠,则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=,即21,αα对应的分量成比例.20.任取nR ∈4321,,,αααα,又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=,证明4321,,,ββββ必线性相关.证: 显然13123424ββααααββ+=+++=+,即1234(1)(1)0ββββ+-++-=,所以4321,,,ββββ必线性相关.21.设12,,,n s R ααα∈为一组非零向量,按所给的顺序,每一(1,2,,)i i s α=都不能由它前面的1-i 个向量线性表示,证明向量组12,,,s ααα线性无关.证: 用数学归纳法证明.1s =时,10α≠,则1α线性无关.设s m =时成立,即12,,,mααα线性无关.当1s m =+时,若121,,,,m m αααα+线性相关,则1m α+可由12,,,m ααα线性表示,矛盾,所以向量组12,,,s ααα线性无关.22.设非零向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,证明:表示法唯一当且仅当向量组12,,,s ααα线性无关.证: β可由向量组12,,,s ααα线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=.则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=有唯一解1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔== 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔12,,,s ααα线性无关.23.设12,,,n n R ααα∈,证明:向量组12,,,n ααα线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示.证: 必要性:12,,,n ααα线性无关,任取n R β∈,则12,,,,n αααβ线性相关,所以β可由12,,,n ααα线性表示.充分性:任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示,则单位坐标向量12,,,n e e e 可由12,,,n ααα线性表示,有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤,所以12(,,,)n R n ααα=,即12,,,n ααα线性无关.24. 设A :1,,s αα和B :1,,t ββ为两个同维向量组,秩分别为1r 和2r ;向量组C A B =的秩为3r .证明:{}21321,m ax r r r r r +≤≤.证: 先证{}123max ,r r r ≤.显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示,则13r r ≤,且23r r ≤,所以{}123max ,r r r ≤.次证312r r r ≤+.设11,,i ir αα为A 组的一个极大无关组,21,,i ir ββ为B 组的一个极大无关组,则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββ线性表示,有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+.25.设B 为n 阶可逆阵,A 与C 均为n m ⨯矩阵,且C AB =.试证明)()(C R A R =. 证: 由C AB =,知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示,则()()R C R A ≤.因为B 可逆,则1A CB -=,知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示,则()()R A R C ≤.所以)()(C R A R =.26.设A 为n m ⨯矩阵,证明:O A =当且仅当0)(=A R . 证: 必要性显然,下证充分性:()0R A A O =⇒=.设α为A 的任一列向量,则()()0R R A α≤=,所以()00R αα=⇒=.由α的任意性知O A =.27.设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα.证明向量组123,,ααα是3R 的一组基,并求向量T)3,6,2(=β在这组基下的坐标.证: 由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪⎪=-−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭,得123,,ααα是3R 的一组基,且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--.28.设m ξξξ,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的基础解系,求证122,,,m ξξξξ+也是0=AX 的基础解系.证: 显然122,,,m ξξξξ+是0=AX 的解,只需证明它们线性无关.1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫⎪⎪+== ⎪⎪⎝⎭.由10K =≠,得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==,所以122,,,mξξξξ+线性无关.29.设A 是n 阶方阵.证明:存在一个n 阶非零矩阵B ,使AB O =的充要条件是0=Α. 证: 存在B O ≠,使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=.30.设A 是n 阶方阵,B 为s n ⨯矩阵,且n B R =)(.证明: (1)若AB O =,则A O =; (2)若B AB =,则n E A =.证: (1)AB O =,则()()R A R B n +≤.又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=. (2)()AB B A E B O =⇒-=.由(1)得A E O A E -=⇒=.31.设s ααα,,,21 为n 维非零向量,A 为n 阶方阵,若,,,3221 αααα==A A s s A αα=-1, ,0=s A α,试证明s ααα,,,21 线性无关. 证: 设1122110s s s s x x x x αααα--++++=. 该式两边左乘以A ,得122310s s x x x ααα-+++=依此类推,得10s x α=.由0s α≠,得10x =.同理可证20,,0s x x ==.所以s ααα,,,21 线性无关.32.设32321211,,αααααααα+=+==A A A ,其中A 为3阶方阵,321,,ααα为3维 向量,且01≠α,证明321,,ααα线性无关.证: 设1122330x x x ααα++=. (1) (1)式两边左乘以A ,得12123233()()0x x x x x ααα++++=. (2) (2)减去(1),得21320x x αα+=. (3) (3)式两边左乘以A ,得23132()0x x x αα++=. (4) (4)减去(3),得310x α=.因为10α≠,所以30x =.代入(3),得210x α=,所以20x =.代入(1),得110x α=,所以10x =. 所以321,,ααα线性无关.33.设A 为n 阶方阵,α为n 维列向量.证明:若存在正整数m ,使0=αmA ,而01≠-αm A ,则1,,,m A A ααα-线性无关.证: 设10110m m x x A x A ααα--+++=,该式两边左乘以1m A -,得100m x A α-=.因为01≠-αm A,所以00x =.同理可证110m x x -===.所以1,,,m A A ααα-线性无关.34.设向量组A 的秩与向量组B 相同,且A 组可由B 组线性表示,证明A 组与B 组等价. 证: 设r B R A R ==)()(,r ααα,,,21 为A 组的一个极大无关组,r βββ,,,21 为B 组的一个极大无关组.由A 组可由B 组线性表示,得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββααα .又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=,则r K R =)(,即K 为可逆矩阵,有 11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=,即r βββ,,,21 可由r ααα,,,21 线性表示,所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价.35.设向量组A :s ααα,,,21 线性无关,向量组B :12,,,r βββ能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=,其中s r ≤,证明:向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(. 证: 向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=只有零解121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=只有零解12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔线性无关只有零解()R K r ⇔=.36.设B A ,都是n m ⨯矩阵,试证明:)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+.证: 先证()(|)R A B R A B +≤.显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示,则()(|)R A B R A B +≤.此证(|)()()R A B R A R B ≤+.设(),()R A r R B s ==,ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组,则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示,有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+,即(|)()()R A B R A R B ≤+.37.设321,,ααα是3R 的一组基,211ααβ+=,322ααβ+=,133ααβ+=.(1)证明123,,βββ是3R 的一组基;(2)求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵;(3)若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(,求向量γ在基123,,βββ下的坐标.证: 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (1)(1)由10111001120=≠,得123123,,),)3((,R R βββααα==,则123,,βββ线性无关,所以123,,βββ是3R 的一组基.(2)由(1)式,得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (3)γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -.38.设A 为r m ⨯矩阵,B 为n r ⨯矩阵,且AB O =.求证: (1)B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解; (2)若r A R =)(,则B O =;(3)若B O ≠,则A 的各列向量线性相关. 证: (1)令12(,,,)n B βββ=.由AB O =,得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=,即0,1,2,,j A j n β==,所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解.(2)若r A R =)(,则0AX =只有零解,所以B O =.(3)若B O ≠,则0AX =有非零解,所以A 的各列向量线性相关.39.设A 为n 阶方阵(2≥n ),证明:(1)当n A R =)(时,n A R =*)(; (2)当1)(-=n A R 时,1)(=*A R ;(3)当1)(-<n A R 时,0)(=*A R .证: (1)当n A R =)(时,1*00n A A A-≠⇒=≠,所以()R A n *=.(2)当1)(-=n A R 时,由*AA A E O ==,得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤.又A 中至少有一个1n -阶子式不为零,则**()1A O R A ≠⇒≥,所以()1R A *=.(3)当1)(-<n A R 时,则A 中所有一个1n -阶子式全为零,有**()0A O R A =⇒=.40.设矩阵A 满足等式2340A A E --=,试证明A 的特征值只能取值1-或4. 证: 设λ为A 的特征值.由2340A A E --=,得λ满足2340λλ--=,解得1λ=-或4λ=.41.设方阵A 满足T A A E =,其中TA 是A 的转置矩阵,E 为单位阵.试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1.证: 设X 为A 的实特征向量,对应的特征值为λ,则AX X λ=.由TA A E =,得T T T T X A AX X EX X X ==,即()()TTAX AX X X =,有2T T X X X X λ=.又0TX X >,则21λ=,所以1λ=.42.设矩阵A 与B 相似,试证:(1)T A 与T B 相似; (2)当A 可逆时,1-A 与1-B 相似. 证: A 与B 相似,则存在可逆矩阵P ,使得1B P AP -=.(1)111)(()()TTTTTTT TP AP P A P P B A P ---===. 因为T P 也可逆,所以T A 与TB 相似.(2)111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===,所以1-A 与1-B 相似.43.设B A ,都是n 阶实对称矩阵,证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值. 证: 必要性:A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得1P AP B -=.有111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-,所以A 与B 有相同的特征多项式,即有相同的特征值.充分性:若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值,设n λλλ ,,21为它们的特征值.令12(,,,)n diag λλλΛ=.则A 与Λ相似,B 与Λ相似,所以A 与B 相似.44.设A 为3阶矩阵,21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量,向量3α满足323ααα+=A .(1)证明321,,ααα线性无关; (2)令),,(321ααα=P ,求AP P 1-.证: (1)设1122330x x x ααα++=, (1) (1)式两边左乘以A ,得1123233()0x x x x ααα-+++=. (2) (1)-(2),得113220x x αα-=.显然21,αα线性无关,则130,0x x ==.代入(1),得220x α=,有20x =,所以321,,ααα线性无关.(2)1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.由第一部分知P 可逆,所以1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.45.设B A ,均为n 阶方阵,且n B R A R <+)()(.试证:B A ,有公共的特征向量.证: 考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭,其系数矩阵的秩()()A R R A R B n B ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭, 则方程组有非零解ξ,即0A B ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故0,0A B ξξ==,即0λ=是,A B 的公共特征值,ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量.46.设A 是n 阶方阵,且满足n A E R A E R =-++)()(.试证:E A =2. 证: 设()R E A r +=.(1) 若0r =,则0=+A E ,即A E =-,有E A =2.(2)若r n =,则()0R E A -=,即A E =,有E A =2.(3)若n r<<0,则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-就是A 的属于特征值1-的线性无关特征向量;又()R E A n r -=-,则()0A E X -=的基础解系12,,,r βββ就是A 的属于特征值1的线性无关特征向量;从而A 有n 个线性无关特征向量:1212,,,,,,,n r r αααβββ-,所以A 能相似对角化.令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=,有1n rr E O P AP OE ---⎛⎫=Λ=⎪⎝⎭, 则1n rn r E O A P P OE ----⎛⎫=⎪⎝⎭,所以E A =2.47.n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=,证明1=λ不是A 的特征值.证: 由B A AB +=,得()()A E B E E --=,所以A E -可逆,有0≠-E A ,所以1=λ不是A 的特征值.48.证明:若矩阵A 正定,则矩阵A 的主对角线元素全大于零. 证: 设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定,则二次型11n nTij iji j f X AX a x x====∑∑正定.取1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====,则0ii f a =>.由i 的任意性,所以A 的主对角线元素全大于零.。

线性代数典型例题

线性代数典型例题

线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-,试求4142A A +与4344A A +.三、利用多项式分解因式计算行列式1.计算221123122313151319x D x -=-。

2.设()x b c d b x cdf x b c x d b c dx=,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明1。

设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2。

设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A4。

设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345,则行列式1||________.B E --=2。

设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1。

设,,A B A B +都是可逆矩阵,求:111().A B ---+2。

设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆,并求1.A - 2。

线性代数证明题

线性代数证明题

线性代数证明题1.设1234,,,αααα是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵,且0nA =,则A E n -必是可逆矩阵。

3.,,A B C 均是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,证明:BCA E = 4.设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-,证明:2A E -可逆,并求其逆.5.设A 是一个n 级方阵,且()R A r =,证明:存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6.设矩阵,m n n m A B ⨯⨯,且,m n AB E <=,证明:A 的行向量组线性无关.7.如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵,证明:B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ,B ,C 都是n 阶方阵,且C 可逆,T --+=A E B C C )(11,证明:A 可逆且T-+=)(C B A 1。

10.设0=kA,其中k 为正整数,证明:121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ,证明A 及A+2E 都可逆,并求112--+)及(E A A 12.试证:对任意方阵A ,均有 T A A +为对称矩阵, TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ,使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵,C AB =,证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵,证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示,则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵,则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

线性代数证明题练习

线性代数证明题练习

线性代数证明题练习线性代数证明题是线性代数课程中的一部分,通过解答这些证明题可以加深对线性代数理论的理解和掌握。

本文将提供一些线性代数证明题的练,帮助读者提高他们的证明能力。

1. 向量空间的性质证明1.1 证明向量空间的加法交换律要证明向量空间的加法交换律,需要证明对于任意的向量a和b,有a + b = b + a。

下面是证明的步骤:* 步骤1:首先考虑向量的定义。

向量可以表示为a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn),其中ai和bi分别是实数。

根据向量的定义,a + b可以表示为(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

* 步骤2:考虑向量加法的交换性质。

根据实数的加法交换律,可以推导出向量加法的交换律。

因此,可以得出(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)。

* 步骤3:得出结论。

根据步骤2的结果,可以得出a + b = b + a。

通过以上的证明步骤,可以证明向量空间的加法交换律成立。

1.2 证明向量空间的数乘结合律要证明向量空间的数乘结合律,需要证明对于任意的实数k和向量a,有k(a) = (ka)。

下面是证明的步骤:* 步骤1:考虑向量和数的定义。

向量a可以表示为a = (a1,a2, ..., an),其中ai是实数。

数k可以表示为一个实数k。

* 步骤2:考虑数乘的定义。

数乘k(a)可以表示为(k * a1, k *a2, ..., k * an)。

* 步骤3:考虑数乘的结合性质。

根据实数的乘法结合律,可以推导出数乘的结合律。

因此,可以得出(k * a1, k * a2, ..., k * an) = (ka1, ka2, ..., kan)。

* 步骤4:得出结论。

根据步骤3的结果,可以得出k(a) = (ka)。

通过以上的证明步骤,可以证明向量空间的数乘结合律成立。

(完整word版)线性代数证明题

(完整word版)线性代数证明题

1、试题序号:3212、题型:证明题3、难度级别:34、知识点:第二章 矩阵及其运算5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:矩阵秩的性质 8、试题内容:设A 为一个n 阶方阵,E 为同阶单位矩阵且2A E =,证明:()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容:证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=Q 由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则:由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:322 2、题型:证明题 3、难度级别:34、知识点: 第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:正交矩阵的特征值 8、试题内容:设A 为一个n 阶正交矩阵,且1A =-.证明:1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容: 证明:,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-Q Q 是正交矩阵又是的特征值10、评分细则:推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:323 2、题型:证明题 3、难度级别:44、知识点:第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:二次型的正定性 8、试题内容:已知,A B 均为n 阶正定矩阵,试证明:分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容:()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭Q T T 12TT 12证明是正定矩阵,,是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型,则为正定矩阵.10、评分细则:由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:3242、题型:证明题3、难度级别:34、知识点:第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:二次型的正定性 8、试题内容:设,A B 均为n 阶正定矩阵,试证明:A B +也为正定矩阵. 9、答案内容:证明:,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+Q Q 都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则:由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:325 2、题型:证明题 3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:向量组的线性关系 8、试题内容:若向量β可由向量组12,,,r αααL 线性表示,但β不能由121,,,r ααα-L 线性表示,试证:r α可由121,,,,r αααβ-L 线性表示.9、答案内容: 证明:2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴Q L L L L L L L 1212r 1122r 1122r-1112112r-1r 11r r r r121可以由,,线性表示,存在一组数K,K,K,使得K+K++K=若K则K+K++K这与不能由,,线性表示矛盾.KKKK0KKKK可由,,线性表示10、评分细则:由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=L (2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-L 线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-L ,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:326 2、题型:证明题 3、难度级别:44、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容:如果向量组12,,,s αααL 线性无关,试证:向量组11212,,,s αααααα++++L L 线性无关.9、答案内容: 证明:()()()()()(),..111011.01111011.01B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L Q L LL L LL LL L L L LLL L L L L L12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关,令C=则有B=AC ,显然C 可逆.10、评分细则:令()12s A ααα=L,()11212s B αααααα=+++L L (1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++K L 线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:3272、题型:证明题3、难度级别:34、知识点:第二章 矩阵及其运算5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:奇异矩阵8、试题内容:已知矩阵22,A E B E ==,且0A B +=证明:A B +为奇异矩阵. 9、答案内容: 证明:22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+Q Q m 又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则:由题设中条件推出1,1A B =±=m (1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:328 2、题型:证明题 3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容:设n 维基本单位向量组12,,,n εεεL 可由n 维向量组12,,,n αααL 线性表示,证明:12,,,n αααL 线性无关.9、答案内容: 证明:()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒L L Q L L L 12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则:令()()1212,n n A E αααεεε==LL (2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:329 2、题型:证明题 3、难度级别:44、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容:设12,,,m αααL 线性无关,1β可由12,,,m αααL 线性表示,2β不可由12,,,m αααL 线性表示,证明:1212,,,,m αααλββ+L 线性无关(其中λ为常数). 9、答案内容: 证明:11122m m k k k βααα=++Q L ,()()1212122m m αααλββαααβ∴+L:L.假设()122MR m αααβ≤L,则有122,,,,m αααβL 线性相关,因而与2β不能由12,,,m αααL 线性表示矛盾. ()122m R m αααβ∴>L,()12121m R m αααλββ∴+=+L1212,,,,m αααλββ∴+L 线性无关.10、评分细则:由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+L :L (2分);假设()122m R m αααβ≤L 由题设推出2β能由12,,m αααL 线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>L 推出()12121m R m αααλββ+=+L (3分);推出1212,,,m αααλββ+L 线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:330 2、题型:证明题 3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:向量组与矩阵的秩 8、试题内容:设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,n m <,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容:证明:A Q 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤Q()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则:由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:3312、题型:证明题3、难度级别:44、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容:设121,,,n ααα-L 为1n -个线性无关的n 维列向量,12,ηη与121,,,n ααα-L 均正交,证明:12,ηη线性相关.9、答案内容:证明:12,ηηQ 分别与121,,,n ααα-L 均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L令()121n A ααα-=L,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则:令()()12112,Tn A B αααηη-==L(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:332 2、题型:证明题 3、难度级别:24、知识点:第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:正交向量组8、试题内容:已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵,12,,,n αααL 为n 维正交单位向量组,证明:12,,,n A A A αααL 也是n 维正交单位向量组.9、答案内容:证明:A Q 是阶正交矩阵,则有12,,,n αααQ L 是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴L 是正交向量组.10、评分细则:由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A αααL 是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:333 2、题型:证明题 3、难度级别:44、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量组的秩与方程组的解 8、试题内容:设12,,,s αααL 是0Ax =的一个基础解系,β不是0Ax =的解,证明:12,,,,s ββαβαβα+++L 线性无关.9、答案内容: 证明:假设()121s R s βααα<+L.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+L ()11s R s ββαβα++=+L即1,,s ββαβα++L 线性无关. 10、评分细则:由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=LL (2分);假设()11s R s βαα<+L ,由题设中条件推出β可以由12,,,s αααL 线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+L (2分);1,,,s ββαβα∴++L 线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:334 2、题型:证明题 3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容:设A 为n 阶矩阵,若0Ax =只有零解,证明:方程组0kA x =也只有零解,其中k 为正整数.9、答案内容:证明:0Ax =Q 只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则:由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:335 2、题型:证明题 3、难度级别:44、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容:设A 是m n ⨯矩阵,D 是m n ⨯矩阵,B 为m m ⨯矩阵,求证:若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解,则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容:证明:设A 的行向量组为12,,,m αααL (I )设B 的行向量组为12,,,m βββL (II ) 则向量组(I )与(II )均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L L L L L L ,则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L L L L L∴向量组(I )可以由(II )线性表示Q 向量组(II )是0Dx =的解 ∴向量组(I )也是0Dx =的解10、评分细则:令A 的行向量组12,,,m αααL (I),C 的行向量组为12,,,m βββL (II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LL L L L L L L ,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L (2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:336 2、题型:证明题3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容:设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ,12,,,n r ηηη-L 是其导出组的一个基础解系,η是Ax b =的一个解,证明:12,,,,n r ηηηη-L 线性无关. 9、答案内容:证明:假设12,,,,n r ηηηη-L 线性相关,12,,,n r ηηη-Q L 是0Ax =的基础解系, 12,,,n r ηηη-∴L 是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-L 线性表示. 则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-L 线性无关.10、评分细则:假设12,,,n r ηηηη-L 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-L 线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-L 线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号:337 2、题型:证明题 3、难度级别:34、知识点:第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字:正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容:设*A 为A 的伴随矩阵,若A 为正定的,试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容: 证明:∵A 为正定矩阵,∴A 的特征值全为正数。

线性代数必考参考例题

线性代数必考参考例题

各大题可能考到的知识点:证明题:(3选1)1.对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵参考习题(下同):P50例11、12,P52 15、16,P145 182.矩阵可逆P57 例8 P58 5、6、83.线性相关性P99 例3 P102 5计算题:1.求行列式(三角法、降阶法)P15-16 例3、4、5、6 ,P25例6 ,P23 例2、32.求逆矩阵(伴随矩阵法、初等变换法)P54 例3 P70 例4、53.求极大无关组P104 例2,P107 例34.基础解系及通解P118-122 1、2、4、5、65.讨论方程组的解P88 4, P135 16.对角化P162 1、2,P160 7、87.证明一组积并求某向量的坐标:P111 9,P114 4、58.解矩阵方程P71-72 6、79求特征值与特征向量P146 1、2,P170 15、16填空、选择:1.排列的逆序数P6 1、2,P11 12.行列式的性质P11-153.矩阵转置的性质(4个)P474.方阵行列式的性质(3个)P495.逆矩阵与伴随矩阵性质(5个)P54-556.初等矩阵与可逆矩阵的关系P70 定理37.矩阵的秩的性质P75、78(共8个,主要是1、2)8.方程组有解的条件P869.向量组的线性相关性P97-10110.向量组之间的关系P100-101(定理5、推论5、6)11.过渡矩阵P11312.由向量的长度与正交求未知参数P139-14113.正交矩阵的性质P14314.矩阵的特征值的性质P147-149 615.相似矩阵的性质P152-153,P170 18,P160 2, 616.特征值多项式和特征方程P14517.行列式按列展开的性质P21 ,P22 ,P27 718.分块对角矩阵的性质P62 性质1、2。

《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题

《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题

1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44=2. 计算元素为a ij = | i-j|的n阶行列式.解.3. 计算n阶行列式(n 2).解. 当+=+++=-=--= 0 当4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.6. 设证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).证明: ,由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组…………系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以8. 设解. ====1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A-3B| = ______.解. ==2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令,第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.5. = ______.解.6. 设矩阵= ______.解. ==-+ ==7. 设n阶矩阵A满足= ______.解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得8. 设=______.解. =,,==9. 设解. |A| = -3-12 + 8 + 8 + 6-6 = 110. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. ,使用分块求逆公式-=所以2.单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以= . 于是令, . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A-B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) -E (C) E (D)解. AB ==+ 2-2= E. (C)是答案.5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C)(D)解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(-A)*等于(A) -A* (B) A* (C) (-1)n A* (D) (-1)n-1A*解. (-A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)解.(C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以又因为, 于是所以. (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.3.计算证明题1. 设, . 求: i. AB-BA ii. A2-B2 iii. B T A T 解. ,2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii.iii. iv. 解. i.,ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到:iii. . 由矩阵分块求逆公式:所以iv. 由矩阵分块求逆公式:得到:3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,. 试求矩阵A.解. 由本题的条件知:4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解.所以5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆. 解. 因为所以. 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以.因为B可逆, 所以所以. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且解.==所以.8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A-E可逆, 且(A-E)-1 = (B-E)T, 求证A 可逆.解. 因为(A-E)-1 = (B-E)T, 所以(A-E)(B-E)T = E所以,由 |B| ≠ 0 知存在.所以. 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)-1 = A-1 + B-1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为所以因为, 所以11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)-1A为对称矩阵.解. i. ,,所以当时, E + AB可逆.ii.因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)-1A为对称矩阵.12. 计算下列各题:i. ii.解. i.所以ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得所以于是13. 设, 求A n.解. 使用数学归纳法.假设=则==所以==14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii., iv. .解. i.ii.iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有证明:下面证明本题:因为. 两边取"*"运算, 所以.于是iv.15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.所以16. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i.所以假设则=所以ii.17. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以因为18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A-B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(A-B)2 = A + B, 所以于是, 所以因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E-A| ≠ 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B -C = E.解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA所以所以右乘, 得B-C = E(注: 本题中条件|E-A| ≠ 0 可以不要)20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵i. 计算并化简PQ;ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.解. i.因为, 所以,= 0所以ii. 因为所以所以所以存在的充要条件为1. 设, 则k =______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式= 13k +5 =0.2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式.所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.解. 考察行列式得k =-8. 当k =-8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 35. 设, 则秩(A) = ______.解.所以r (A) = 3.6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.解. A = α·β =所以r (A) = 1.7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A= (α1, α2, α3, α4)所以当t = 7时, r (A) = 2.2.单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1-α2, α2-α3, α3-α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由得因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1-α2, α2-α3, α3-α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B= 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A-B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A-B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A-B ≠ 0, 则r(A-B)≠ 0. 排除(A);(B) 取A =-B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A-B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.3.计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解.i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时.系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m-1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0其中l1≠ 0, 则.解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则k1α1 +…+ k i-1αi-1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0因为任意m-1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i-1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.代入第一式得:即所以, …,即4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1-α2, bα2-α3, cα3-α1线性相关.解. 假设得因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1-α2,bα2-α3, cα3-α1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x= 0有解向量α, 且A k-1α≠0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k-1α是线性无关的.解. 假设. 二边乘以得,由. 二边乘以得,………………………………最后可得,所以向量组α, Aα, ⋯, A k-1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.解. 解. i.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得,所以ii.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得, ,所以由得方程组解得, , 所以7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. ,ii. ,iii. ,iv. ,iv.所以, 当时, ; 当时,8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:(秩(A-E)-1)(秩(A + E)-1) = 0解. 由第十一题知又因为A≠±E, 所以,所以, 中有一个为1所以 (秩(A-E)-1)(秩(A + E)-1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A-E的秩为n-r, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为A2 = A, 所以所以所以又因为所以. 所以。

线性代数证明题[1]

线性代数证明题[1]

四、证明题:1、(本题6分)设n 阶实方阵2A A =,E 为n 阶单位矩阵,证明:()()n E A R A R =−+。

2、(本题10分)设r ααα,,,21⋯)2(≥r 是数域P 上的线性空间V 中线性无关的向量组,任取P k k k r ∈−121,,⋯,求证:,111r k ααβ+=,222r k ααβ+=,⋯r r r r r r k αβααβ=+=−−−,111线性无关。

3、(本题8分)试证明:n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1112⋯⋮⋯⋮⋮⋮⋯⋯b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a −+,其中10<<b 。

4、(本题8分)试证明:x xx a a a a x a x a x a x a n n n n n n n −−−+=++++−−−−1000010000011221111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

5、(本题10分)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *,证明:(1)若|A |=0,则|A *|=0(2)|A *|=|A |n -16、(本题16分)证明:(1)若方阵X 满足X 2–X –2E =0,则X ,X +2E 都可逆,并求X –1,(X +2E )–1。

(2)若A 、B 为同阶可逆矩阵,则(AB )*=B *A *。

7、(本题8分)证明:若n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +…+c n x n 对于n +1个不同的x 值都等于0,则f (x )=0。

8、(本题16分)(1)设A 和B 为n 阶方阵,试证:⇔=)()(B R AB R 方程组0=x AB 与0=x B 有完全相同的解。

(2)设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a ⋯⋯⋯⋯221111212111和(II)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n c x A x A x A c x A x A x A ⋯⋯⋯⋯221111212111,其中ij A 为ij a 在行列式||||ij a A =中的代数余子式,i i c b ,不全为零,试证:方程组(I)有唯一解的充要条件是方程组(II)有唯一解。

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——[北宋]欧阳修:《卖油翁》
为之则难者亦易矣。 ——[清]彭端淑:《为学》
五. 爆炒证明题
例4. 已知三角形ABC中, 点D, E, F分别是边BC,
CA, AB的中点, 求证:AD + BE + CF = .
证明: 因为D, E, F分别是BC, CA, AB的中点,
所以BD
=
1 2
BC,
CEห้องสมุดไป่ตู้
条件
结论
例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也
是可逆矩阵.
|A|, |B|, |A+B| 0
A, B, A+B可逆
Ax = 只有零解
A, B, A+B满秩
… A的行(列)向量组 A, B, A+B与I相抵 线性无关
|A1+B1| 0
注意到 这几个矩阵 都是方阵

(A1+B1)x = 只有零解
万一AD = 2BC =
怎么办?
小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你!
例5. 设, 为两个不共线的向量, AB = +2, BC = 4 , CD = 5 3 ,
可见A1 + B1是可逆矩阵.
四. 怎样提高解决证明题的能力
学而不思则惘,思而不学则殆。 敏而好学,不耻下问。 工欲善其事,必先利其器。
——[春秋]《论语》
千里之行始于足下。 ——[春秋]《老子》
四. 怎样提高解决证明题的能力
不积跬步无以至千里。 锲而不舍,金石可镂。
——[战国]荀子:《劝学》 无他,惟手熟尔。
…, kn使k1e1+k2e2+…+knen = .
所以e1, e2, …, en线性无关.
… …
… …
… …

1
0
0
例1. 设e1 =
0
, e2 =
1
0 , …, en =
,
0
0
1
证明: (1) e1, e2, …, en线性无关.
(2) 任何一个n维向量都能由
e1, e2, …, en线性表示.
A1+B1满秩 A1+B1与I相抵
A1+B1的行(列)向量组线性无关
A1 + B1可逆
例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也 是可逆矩阵.
证明: 因为A, B, A+B都是可逆矩阵, 所以|A|, |B|, |A+B|都不为零. 于是可得 |A1 + B1| = |A1I + IB1| = |A1(BB1) + (A1A)B1| = |A1(BB1) + A1(AB1)| = |A1(BB1 + AB1)| = |A1(B + A)B1| = |A1(A + B)B1| = |A1| |A+B| |B1| = |A|1 |A+B| |B|1 0.
《线性代数》证明题
东南大学数学系
一. 为什么要练习解决证明题
培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力? 竞争。 为什么要竞争? 生存。 为什么要生存? 本能。
二. 我们为什么觉得证明题难
• 不清楚题目所涉及的概念 • 不熟悉现存的有关结论 • 分不清条件的必要性与充分性 • 不善于组织语言 • 没有积累足够的经验 • 没有深入思考
=
1 2
CA,
AF =
1 2
AB,
因而AD + BE + CF
A
= (AB+BD)+(BC+CE)+(CA+AF)
=
3 2
(AB+BC+CA)
= .
B
F. . D
.E C
例5. 设, 为两个不共线的向量, AB = +2, BC = 4 , CD = 5 3 ,
证明: 四边形ABCD是梯形.
证明: 因为AD = AB + BC + CD = 8 2 = 2BC.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式
定义/定理/性质/推论/公式
条件
结论
检验
1
0
0
例1. 设e1 =
0
, e2 =
1
0 , …, en =
,
… … …
0
0
1
证明: (1) e1, e2, …, en线性无关.
(2) 任何一个n维向量都能由
e1, e2, …, en线性表示.
a1 x1
0
0
a2 = 0 + x2 +…+ 0 ,

… … …
an 0
0
xn
由此可得x1=a1,
x2=a2,
…,
xn=an.
这只是 必要条件
经检验, = a1e1+a2e2+…+anen
确实成立,
所以任何一个n维向量都能由e1, e2, …, en线性表示.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 2. 从条件往下推一步+从结论往回推一步
条件
对接
结论
定义/定理/性质/推论/公式
例2. 设1, 2, 3线性无关, 证明 1= 1+2+3, 2= 2+3, 3=3
也线性无关.
1, 2, 3线性无关
由l11+l22+l3 3 = 推出l1=l2=l3=0
由k11+k22+k33 = 推出k1=k2=k3=0 1, 2, 3线性无关
证明:若k11+k22+k33 = , 即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33 = , 亦即k11+ (k1+k2)2+(k1+k2+k3)3 = .
不存在不全为零的数
k1, k2, …, kn 使
k1e1+k2e2+…+knen = .
证明: (1) 若k1e1+k2e2+…+knen = ,
k1 0
00
即 0 + k2 +…+ 0 = 0 ,


… …
… …
00
kn 0
k1 0 亦即 k2 = 0 , 可见k1=k2=…=kn=0.
kn 0 这就是说不存在不全为零的数k1, k2,
a1
1
0
0
a2 = a1 0 + a2 1 + … + an 0
an
0
0
1

… …
… …
a1
1
0
0
证明: (2) 因为 a2 = a1 0 + a2 1 + … + an 0
an
0
0
1
a1 对于任意的n维向量 a2 都成立,
an 所以任何一个n维向量都能由
线性表示.
e1, e2, …, en
证明: (2) 对于任意的n维向量 =(a1, a2, …, an)T, 设 = x1e1+x2e2+…+xnen, 即
又因为1, 2, 3线性无关,
所以k1 = k1+k2 = k1+k2+k3 = 0.
由此可得k1 = k2 = k3 = 0. 这就是说, 不存在不全为零的数k1, k2, k3
使k11+k22+k33 = .
所以1, 2, 3线性无关.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 2. 从条件往下推一步+从结论往回推一步 3. 要走好几步而且有分岔, 可能要讨论, 归纳
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