线性代数证明题

线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。

10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E ΛΛ11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321ββββ，，，线性相关.19．向量组123,,ααα与向量组123,,βββ等价的充分必要条件为： 123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==20. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，AB 为可逆矩阵，且m n ≠，则B 的列向量组线性无关。

21．{}11211(,,),,,0T n n n V x x x x x x R x x ==∈++=L L L ，证明1V 是向量空间 22.设向量211ααβ-=，322ααβ-=,323ααβ-=,……, 1ααβ-=r r 且向量组12,,,r a a αL 线性无关，证明向量组12,,,r b b b L 线性无关。

23. 设Ａ，Ｂ都是n 阶矩阵，且ＡＢ＝０。

证明()()R A R B n +≤。

24. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且m n >，证明0AB =。

25．已知向量组12,,m L ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m L ααα的秩为m ．26．设有两个向量组12:,,,r A L ααα；112:B =-βαα，223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．27．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m L ααα(m ≥2),且12+++m =L βααα，证明向量组12,,,m L β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m L ααα线性无关． 28． 设向量组12,,,m A :L ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l +L αααββ线性无关(其中l 为常数)． 29．设12,,s L ααα线性无关，12+++s s λλλ12=L βααα，其中i λ≠0，证明11+1,,,,,i-i s L L ααβαα线性无关．30．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．31．设V 1是由T1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．32．证明由T T T123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ．33.向量组A:n a a a Λ,,21；B:m βββΛ,,21 ；C:m n a a a βββΛΛ,,,,,2121，证明：)()()())(),(max(B r A r C r B r A r +≤≤33．设,A B 是同型矩阵， 证明()()()R R R +≤+A B A B ．34．证明n 维向量组12n ,,,L a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由12,,,n L a a a 线性表示．35. 设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 为n 阶单位阵，证明n E A R A R =-+)()(36. 设向量组r a a a ,,21Λ是齐次线性方程组AX=O 的一个基础解系，向量β不是方程组AX=O 的解，即βA ≠0，求证：r αβαββ++,,,1Λ线性无关。

37.对于矩阵s n n m B A ⨯⨯,，有n AB r B r A r ≤-+)()()(。

证明：构造如下矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n E AB C 00,显然有n AB r C r +=)()(，对C 作如下变换：用A 乘以第二行再加到第一行得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛n E A AB 0 用第一列减去第二列右乘B 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n E B A 0,而)()(0B r A r E B A r n +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故)()()()(B r A r n AB r C r +≥+=38.设A ,B 均为n 阶矩阵,且A 与-E AB 都可逆, 证明-E BA 可逆.39.设向量组;3;2;32133122211αααβαααβααβρρρρρρρρρρρ++=--=-=。

若已知向量组321,,αααρρρ线性无关，问向量组321,,βββρρρ是否线性相关，请证明之.40.如果()I B A +=21,证明：当且仅当I B =2时，A A =241.若A 是n 阶方阵，且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A 。

其中I 为单位矩阵。

42.设η为非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.43.设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组32,,ααβ也线性无关．44.已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 45.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k.证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关.46.设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关. 47.设方阵A 满足A 2A2EO 证明A 及A2E 都可逆 并求A 1及(A2E)1 48.设矩阵A 、B 及AB 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵49.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量T b ，使T ab A =。

50.设A 为n m ⨯矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。

证：将s m ⨯矩阵X ，Y 按列分块为()s x x x X Λ21=，()s y y y Y Λ21=，则Y X -＝()s s y x y x y x ---Λ2211如果AY AX =，且n A R =)(； 即0)(=-Y X A ，且n A R =)(；亦即0)(=-j j y x A ，且n A R =)(，那么根据齐次线性方程组的理论，当n A R =)(时，齐次线性方程组0=AX 只有零解，0)(=-j j y x A 只有零解，即0=-j j y x ，亦即j j y x =，s j ,,2,1Λ=，故Y X =。

51.已知R(a 1 a 2 a 3)2 R(a 2 a 3 a 4)3 证明 (1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示52.设向量组:B r b b ,,1Λ能由向量组:A s a a ,,1Λ线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11ΛΛ=，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。

证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)(. 53.设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ 证明向量组1 2 n 与向量组1 2 n 等价。