《线性代数》常见证明题型及常用思路
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版摘要本文介绍了线性代数中的常见题型及其解题方法。
通过归纳和总结，希望读者能够更好地理解和掌握线性代数的基本概念和解题技巧。
1. 矩阵运算题型矩阵运算是线性代数中的基础，掌握好矩阵的各种运算方法对于解题能力至关重要。
常见的矩阵运算题型包括：- 矩阵的加法和减法：根据定义，对应位置上的元素相加或相减。
- 矩阵的乘法：按照乘法规则，将矩阵的行与列进行相乘，并求和得到对应位置上的元素。
- 矩阵的转置：将矩阵的行和列进行对换。
- 矩阵的逆：如果一个矩阵存在逆矩阵，乘以逆矩阵后等于单位矩阵。
解题方法：熟悉矩阵运算的定义和规则，并通过大量练加深理解。
注意在计算过程中注意细节，避免疏忽和计算错误。
2. 线性方程组题型线性方程组是线性代数中另一个重要的概念，它涉及到多个未知数和多个方程的关系。
解线性方程组需要使用矩阵的运算方法。
常见的线性方程组题型包括：- 高斯消元法：通过消去系数矩阵中的元素，将线性方程组转化为阶梯形或行简化阶梯形，从而求得方程的解。
- 矩阵的逆：如果系数矩阵存在逆矩阵，可以通过左乘逆矩阵来求解线性方程组。
- 克拉默法则：对于n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则可以使用克拉默法则求解。
解题方法：根据题目的要求选择合适的解法，熟练掌握高斯消元法和矩阵的逆运算方法。
在解决线性方程组时，注意方程之间的关系和约束条件。
3. 特征值和特征向量题型特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述线性变换对应的变量。
常见的特征值和特征向量题型包括：- 求特征值和特征向量：通过求解特征方程，找到特征值，并代入特征向量方程求解特征向量。
- 对角化：如果矩阵存在n个线性无关的特征向量，可以将矩阵对角化，即得到一个对角矩阵和一个对应的变换矩阵。
解题方法：理解特征值和特征向量的几何意义，掌握求解特征值和特征向量的方法。
注意在求解特征方程时，应特别注意解的个数和重复特征值的情况。
线性代数22种题型及思维定式
i j 线性代数的思维定势1.若题设条件与代数余子式A 或A*有关，则用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A =n n2. 若涉及到 A , B 是否可交换，即 AB = BA ，则要立刻联想到逆矩阵的定义.3. 题目中涉及初等变换，要联想到初等方阵，把矩阵变换转化成矩阵相乘的等式.4. 若题设n 阶方阵 A 满足 f ( A ) = 0 ，要证aA + bE 可逆，则先分解出因子aA + bE .5. 若要证明一组向量α1,α2, ,αs 线性无关，先考虑用定义再说.6. 若已知 Ax = 0 的线性无关的解为α1,α2, ,αs ，则n - r (A ) ≥ s ，即r (A ) ≤ n - s .7. 若已知 AB = O ，则联想到① B 的列向量是齐次方程组 Ax = 0 的解；② r (A ) + r (B ) ≤ n .8. 若题目涉及求参数的值，则联想到是否有某行列式为零.9. 若已知 A 的特征向量ξ0 ，则先用定义 A ξ0 = λ0ξ0 处理一下.10. n 阶对称矩阵 A 可对角化⇔ n - r (A - λ0E ) = k ，其中k 是特征值λ0 的重数.11.若题目中涉及到二次型，要联想到实对称阵 A ，将二次型问题转化成实对称阵 A 的相关问题讨论.12. 若要证明抽象的n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下.题型 1 数字型行列式计算，重点是掌握三、四阶行列式及简单n 阶行列式的计算． 1.用性质化为三个重要行列式；2. 按行（列）展开去降阶3. 建立 D n 与D n -1, D n -2 之间的关系，递推.题型 2 方阵的幂①求出 A 2 , A 3 ，递推求出 A n ；②若r ( A ) = 1，则 A = αβ T ， A 2 = lA , l = β T α = αT β ；③若 A = E + B , 且 B k ≠ 0 ， B k +1 = 0 ，则 A n = (E + B )n = E + C 1B + + C kB k + 0④ P -1 AP = B ⇒ A n = PB n P -1 若 A Λ ⇒ A n = P Λn P -1题型 3 抽象矩阵的行列式1.先矩阵运算，再行列式运算；注意 E 的恒等变形E = E T = AA -1 = A -1A ,kB =k n A2. A =λ1λ2 λn题型 4 解矩阵方程方法通过矩阵运算，把方程化简为下述基本方程: ①Ax =C ，则x =A-1C②xA =C ，则x =CA-1A ③ AxB =C ，则 x = A -1CB -1注 A , B 都可逆，才用上述方法；若 A , B 不可逆，则设出矩阵 A B 建立方程组求解。
线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见证明题型及常用思路The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1,,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。
（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
（3）如果1,,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,m t ααββ线性无关。
这种情况下，有些时候我们设111111110,,m m t t m m t tλαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。
根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。
则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
线代做题思路、方法 数一历年真题全精解析
线代做题思路、方法数一历年真题全精解析●基础牢固效果好●行列式●数字型●逐行相加●主对角线上面下面有元素，其他为0的时候考虑●或者经过简单变化变为上面情况也可以使用●规律性很强●按行展开●4阶变3阶●有一行只有一个元素不为0●递推●化为拉普拉斯太简单了出现的可能性随缘●抽象性●与 A* 有关的●A A* = |A|E 注意矩阵和行列式之间的关系●A* 的排布是A按行求、按列放，也就是说 aij 对应的 Aij 是在A*的 ji 处（270-6）●与特征值、特征向量有关●|A| = λ1·λ2· ······ λn，迹= λ求和●一般会与特征向量构成一个关系式，用Aα=λα 代入求解●A逆的特征值为1/λ●矩阵相关●A可逆等价|A| 不为0●A、B 相似，两者特征值相同●转置值不变●矩阵●简单运算●出现 n 次方运算，注意看平方项有没有什么规律●拉普拉斯的基本运算方法●伴随和可逆●出现A* 的题目很大概率是要用到 A* 和A逆的关系的，AA*=|A|E，变换得出逆的等式●一般考题是给出一个含有 E 的等式，通过化简得出要求的式子●记住加减 E 来凑出括号内两个式子相乘●出现 A逆的形式，优先考虑是不是可以把逆运算通过左右乘给去掉●正交矩阵●E恒等变形很重要，虽然他很简单●一般就是n维列向量和他的转置相乘●A AT = E●长度为1，两两正交●矩阵的秩●和其他的题目一起考，但要记住主要知识点●矩阵方程●最直接的就是化简●左边一般化为矩阵相乘的形式●右边化为 kE 或者kA(A已知)的形式●然后把左边的矩阵左乘或右乘对应的逆矩阵把题目要求的未知矩阵分离出来●右边求出矩阵就可以了●n维向量●具体数字证线性相关、解线性常系数方程组●一般步骤●经过前期简单变形得到几个列向量线性相关或者直接由题目得到方程组●设数 x 与向量相乘为0●写出m个方程式含有n个未知数 x●这个很重要，不能理解相关无关、有解无解问题就想一下这个方程组●对系数矩阵行初等变换，化为阶梯●或者化出单位矩阵●由阶梯型得出秩 r 等于多少，那么未知变量的个数就是 n — r 个，未知变量的个数不为0就相关●将首非零元设为主元，其他为自由变量●将单位矩阵的那些列设为主元，其他的为自由变量●自由变量分别取 1 ，写出解●齐次的就是把●最后，乘上常数 k ，写出通解●解的形式●简单题目就是对应行列式为0●抽象证无关●恒等变形得出定义式●使用定义重组，得出系数矩阵，对应行列式不为0，齐次方程组只有0解●IAI 不等于 0●秩 r 与向量个数一致●对于比较特殊的向量组，可以采用同乘的方式来进行化简，把等于0的乘式一项项去掉●线性表出，一般有具体矩阵●基础方法，解方程组●可线性表出，及三个方程组同时有解●对行列式作初等行变换，根据行列式形式可以得出●无解，左边为0，右边有数字，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩●有唯一解，系数矩阵和增广矩阵的秩 r 一样，方程的个数等于未知变量个数，即为m（这种情况m=n）●有无穷多解，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程的个数大于未知量的个数●两个向量组线性表出（n个n维列向量）●A是否可以由B表出●首先B看对应的行列式是否为0●不为0的就代表B向量组的秩就是n，A无论是怎么样的都可以被B表出●为0的话，说明B的秩小于n，就需要把AB的列向量排在一起组成矩阵进行行变换，化简为行最简，依照题目要求，给出表出与否的条件●向量组的线性无关相关，基本都是证明题●常规套路●首先列出定义式子●然后根据题目同乘●出现特征值就是同乘A，此时需要证明的一定和特征向量有关●出现方程组的形式，就把方程组写成按列分块✖列向量（方程的解），按照题目直接同乘列向量或其转置●重组，主要为了化简出和定义式一样等于0的等式●一，同乘完之后的简单变形●二，给出的是向量加减的组合的形式，●写成按列分块✖矩阵●此时按列分块的向量组一定是线性无关的，●计算矩阵对应的行列式是不是等于0 ，●等于0就说明是线性相关，不等于0就是线性无关●如下●●按秩求●题目前面一定会给出含秩的一些隐含条件●基础解系个数=n-r●秩为n，行列式不为0●A* 的秩为1，行列式为0（A的秩为 n-1）●向量空间●判断是否为基●一般只要对应的矩阵的秩为 n 就会是基●对应行列式不等于0●过渡矩阵●A向量组 = B向量组乘以 C矩阵●坐标相同●在A向量组的坐标与在B向量组的坐标相同●A B 向量组之间一定存在对应关系●得到 B x = B C x●进一步就是解方程，很简单●线性方程组●齐次方程组和基础解系●基础解系解的个数 = n — r（A）●当 r （A）= n 时，只有0解，此时 |A| 不等于0●一般过程●由题目关系得到方程组，也就在这一步难●直接给出方程的关系时比较容易●没给出直接条件，一定要找出类似 Ax = 0 的方程式，x代表未知变量，但是A的情况会存在不同●A为不同列向量的组合●A中的列向量可能存在某种线性相关的关系●A的解向量和其他的向量存在线性关系●将方程组的系数矩阵化简为阶梯矩阵●写出解向量●乘上 k i ，写出一般解●非齐次方程组的求解●一般步骤●由题目得到AX = β 或 B ,B含有几个列向量●写出增广矩阵，进行初等行变换，化为阶梯型●写出解向量●先写出齐次的解向量αi●再写出非齐次的特解β，这个特解一般就是把自由变量设为0，然后解出主元的值，按照对应x的位置写出来●特解中x 的对应位置不要弄混淆了，保险起见，就解一个简单方程x 1=···，x2=··· ~~●写出一般解η = ki αi +···+ β●解的讨论●无解情况●只有一种情况，就是前面矩阵 x 的值为 0 ，但是后面常量的部分化简之后不为0●增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩●有唯一解●|A| 不等于0，系数矩阵的秩一定会等于增广矩阵的秩等于n●有无穷多解●|A| 等于0，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩●r（A）< n●基础解系中解的个数为n — r（A）●题目中间出现未知的数a，b···●先按照正常的初等行变换进行化简，但是一定不要对含未知数的相进行分母运算●观察系数矩阵后后面常量的关系●分情况讨论解●特征值特征向量●概念计算●秩为1 的矩阵的特征值λ = 矩阵的迹，注意此时矩阵不能化简，原始矩阵才可以●一般步骤●计算| λE — A | = 0 中λ的值，也就值特征值●将λ 代入（λE — A）x = 0 中，解方程，算出x，也就是特征值λ 所对应的特征向量α●记忆A的转置、逆、伴随、相似、n次方的特征值和特征向量●出现Aα = 几个αi 的线性组合，可以把它转换为向量矩阵乘数字矩阵的形式，这个数字矩阵就是 P●P逆AP = B●相似和相似对角化●A相似对角矩阵●n个不同的特征值●n个线性无关的特征向量●λ为n的k重根，λ对应k个线性无关的特征向量●对角矩阵●仅主对角有值●对角的值就是A的特征值●P逆AP = 对角中，P矩阵的列向量的排列顺序和对角矩阵中对应λ所在的列一一对应●相似时的可逆矩阵Ｐ逆AＰ＝Ｂ●求解一般步骤●当题目给出相似后，利用相似所推出的AB之间的关系求解出AB中未知数的值●题目给出AB相似，说明AB的特征值是一样的，只需要求解一个矩阵的特征值就可以●计算| λE — A | = 0 中λ的值，也就是AB的特征值●求解 AB 的各个特征向量●求解A的特征向量●将λ 代入（λE — A）x = 0 中，解方程，算出x，也就是特征值λ 所对应的特征向量α●对角矩阵中λ的排列顺序和P１中α一一对应●（λ１λ２λ３）对应Ｐ１＝（α１α２α３）●求解B的特征向量●将λ 代入（λE — B）x = 0 中，解方程，算出x，也就是特征值λ 所对应的特征向量β●（λ１λ２λ３）对应Ｐ２＝（β１β２β３）●求解完成之后，两者都和对角矩阵相似●λ１００●０λ２０●００λ３●有P１逆ＡＰ＝Ｐ２逆BＰ●得出Ｐ２Ｐ１逆ＡＰ１Ｐ２逆●Ｐ＝Ｐ１Ｐ２逆●求解ｎ次方的时候也要用相似于对角矩阵来求●实对称矩阵●出现实对称一定要考虑的点●实对称矩阵一定和相似矩阵相似(不管特征值有没有重根)●实对称矩阵的特征向量特征值不同时特征向量一定正交,因此内积为0,从而可以构造齐次方程组求特征量向量●可以用正交矩阵来对角化●隐性关系●各行元素之和为3●Ax=0的解,解对应的向量就是特征值0所对应的特征向量●AB之间存在变换关系，则对应的特征值也有着相同的对应关系，然后可以利用特征向量之间的内积关系求解出特征向量●一般步骤●根据题目给出的已知条件得出特征值和特征向量，这一步是基础，不可能出不来●给出秩小于n是，0 一定是矩阵的特征值●出现Aα = kα ，那么k一定是特征值，α为k对应的特征向量●出现A(α1，α2) = (α1，α2)，把向量组合拆开看，得到和上面一样的规律●出现齐次方程组 Ax = 0 的基础解系，0一定是A的特征值，基础解系对应的就是特征向量，基础解系有几个，就有几个特征向量和0 对应●稍微高级一点，给出一个有关矩阵A的多项式，就两边同时左乘特征向量（列向量），转化为特征值和特征向量的关系，解出特征值，A的n次方就对应λ的n次方●任意特征向量α（列向量）都有Eα = α （nxn X nx1 = nx1）●当出现一个未知的特征向量时●根据不同特征值对应的特征向量正交，也就是内积为0（不是一般规律，仅实对称可用）●列出内积式，得齐次线性方程组●解齐次线性方程组，得基础解系●基础解系就是要求的特征向量●根据λ 的值写出对角矩阵●按照对角矩阵中λ 的顺序写出P，P逆AP = 对角矩阵●如果接下来是求解矩阵A●A（α1 α2 α3）=（λ1α1 λ2α2 λ3α3）= （α1 α2 α3）· 对角矩阵●A = （λ1α1 λ2α2 λ3α3）·（α1 α2 α3）逆 = （α1 α2 α3）· 对角矩阵·（α1α2 α3）逆●如果是求解正交矩阵 Q●正交化●不同特征值对应的特征向量之间为正交关系，不需要正交化●同一特征值下的不同特征向量一般不正交，需要进行正交化●单位化●正交化完成之后，进行单位化，向量除以向量的模●将得出正交向量组合成Q即可●二次型，大题的天选之子●一些概念●AT =A 为二次型的矩阵●标准型：只有平方项●规范性：平方项系数只有+1、—1、0●正平方项个数为p正惯性指数●负平方项个数为q负惯性指数●坐标变换●标准型●标准型●正交变换（题目都会涉及到正交变换）x = Q y●解析●由二次型 f（x）求特征或者是标准型、规范型（只有平方项且都为1）●已知二次型●将二次型转化为矩阵形式A，再进行求特征值的一般步骤●如果A中存在未知数，就要根据秩的关系将未知数算出来●| λE — A | = 0●解出λ的值就是A的特征值●将特征值带回（λE—A）= 0，解出特征向量●将特征值进行单位正交化就可以得到Q●特征值就是标准型 f（y）中各项系数●变成系数只有正负 1 的就是规范型●已知标准型求A●在正交变换条件下，正交矩阵Q的列就是矩阵A的特征向量，标准型的系数就是矩阵A的特征值，Q逆A Q = Qt A Q ，标准型的各个数值和正交矩阵Q的列向量存在对应关系●一般步骤●由题目知道标准型，和一个给出的或者通过简单运算可以得来的Q的一列●Q 的这一列是单位化的，可以将它化为可逆 P 的一列，乘以一个数，化为简单形式●根据对应关系，知道该列和根据标准型所得知的特征值对应●运用正交矩阵不同特征值的特征向量正交的关系列出方程组的形式●解方程组，基础解系就是其他的特征向量●由此，知道了P所对应的所有特征量向量●A = P 对角 P逆 = （λ1α1 λ2α2 λ3α3）·（α1 α2 α3）逆●或者将P单位化，构造正交矩阵进行计算●A = Q 对角 Qt●α 为 1 的特征向量，—α 还是为 1 的特征向量●正定●基本就是围绕下面概念来出题目●概念●顺序主子式：aij 下标 i + j 从小于等于2（11），4（11、12、21、22）···一直到 2n组成的方阵●合同，基本不会出大题●AB 正惯性指数相同，负惯性指数相同●对应两者的规范型中间正负系数的个数是一样多的●进而标准型中正负系数的个数是一样的●进而可以通过特征值的正负关系来判读是否合同●AB特征值的正项个数相同，负项个数相同，那么 A 合同 B。
《线性代数》常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1关于-「m线性相关性的证明中常用的结论(1)设'' m> m = °，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明U，'m必全为零，则…「m线性无关；如果能得到不全为零的-厂，’m使得等式成立，贝，1厂「m线性相关。
(2)i厂「m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
(3)如果〉i厂「m F n，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
(4 ) 如果我们有两个线性无关组，〉1厂，5，W i，1，,「W且W「W 是同一个线性空间的两个子空间，要证>1,…「m「i，_「t线性无关。
这种情况下，有些时候我们设-°1 1 mm 11 t t1 1 mm， 1 1 t t根据题设条件往往能得到----° ,进而由〉1，_「m・W「」…，1 W的线性无关得到系数全为零。
题型2・关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义U B二(X i， ,X n)，B 二(y「，y n)。
则(u,v)二人％人丫“5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1)初等变换不改变矩阵的秩(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3)阶梯形的秩(4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A Bp r(A) r(B);r(AB)乞min{ r(A),r(B)};r(A) = r(A T) = r(A T A);max{r(A), r(B)}乞r(A, B) = r I T乞r(A) r(B);6丿Ar = r(A) + r(B);< B丿(A、r(A) + r(B)兰r | 兰r(A) + r(B) + r(C);<C B丿A m nB 二0= r(A) r(B尸n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(A m n) r(B厂n r(AB)。
线性代数题型全攻略
线性代数题型全攻略线性代数是计算机科学、工程学和数学等学科的基础，在此基础上，线性代数提供了一套有效的方法来分析和求解求解各种问题，特别是在矩阵和向量空间下，使用线性代数可以更有效地求解各种问题。
本文将介绍以下线性代数题型：矩阵运算题型：这类试题要求考生用矩阵运算计算给定矩阵的秩、特征值和特征向量、行列式、线性方程组的解。
考生应该熟练掌握矩阵运算的原理和方法，理解矩阵的秩、特征值和特征向量等概念。
向量空间题型：本类试题要求考生计算子空间、张成空间、直积空间、内积空间和正定空间等概念。
考生应该清楚地理解什么是向量空间，以及其中子空间、张成空间、直积空间、内积空间和正定空间等概念，并熟悉计算过程。
线性变换题型：这类试题要求考生计算线性变换的表示式、特征值和特征向量等概念，以及矩阵表示、零空间、核和图像等基本知识。
考生应该熟悉线性变换的定义及其计算方法，理解线性变换的表示式、特征值和特征向量等概念，了解矩阵表示、零空间、核和图像等基本知识。
Fourier变换题型：本类试题要求考生掌握Fourier变换的基本原理，熟练应用它来研究函数的变换、分析信号的特征、解析图像的模式、还原被混叠的信号等。
考生应该熟练掌握Fourier变换的定义、基本原理和应用方法。
数值线性代数题型：这类试题要求考生熟悉基本的数值线性代数方法，如拟牛顿方法、反平方根法、最小平方法等，以及非线性系统的数值解，如力学与热力学系统。
考生需要理解拟牛顿方法、反平方根法、最小平方法等，和非线性系统的数值解，如力学与热力学系统。
本文简要介绍了几种常见的线性代数题型，考生平时需要结合具体的线性代数课程内容，加强对相关知识的积累，复习时针对不同的线性代数题型细致有效地进行掌握，以期在考试中有所收获。
- 1 -。
考研线代证明题
考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。
线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。
这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。
二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。
线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。
三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。
具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。
四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。
我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。
2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。
3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。
4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数》常见证明题型及常用思路
二、证明题
题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论
(1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。
(2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。
(3)如果1,,n m
F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
(4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。
这种情况下,有些时候我们设 111111110,
,m m t t m m t t
λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。
根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。
题型2、 关于欧氏空间常用结论
(1)内积的定义
(2)单位正交基的定义
(3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基,
11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。
则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、 关于矩阵的秩的证明中常用的结论
(1)初等变换不改变矩阵的秩
(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩
(3)阶梯形的秩
(4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()();
()min{(),()};
()()();
max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n
⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭
=⇒+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)
例:证明:()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
证:
()()()0n n n E E n r AB r r AB A
AB E B r r A r B A ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=≤+ ⎪⎝⎭
上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。
(6)利用齐次线性方程组解的结构(dim ()()m n N A n r A ⨯=-),此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。
(7)利用向量组的秩与维数
主要就是两个结论:(i)矩阵的秩=列秩=行秩
(ii)dimker dimIm dimker ()r σ
σσσσ+=+=的定义域 的维数
(8)利用行列式秩
(9)利用相抵标准形
题型4、 关于可逆矩阵常用结论
(1)结论:A 可逆AX b ⇔=有唯一解||0A ⇔≠。
(2)结论:,()n A B M F ∈可逆AB ⇔可逆。
(3)结论:A 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。
(4)结论:A 可逆当且仅当0不就是它的特征值。
(1)结论: A 相似于
1..B C s t A C BC -⇔∃=。
(2)结论:任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。
(3)特征值与特征向量的定义
(4)结论:λ就是A 的特征值||0E A λ⇔-=。
(5)结论:属于不同特征值的特征向量线性无关。
(6)结论:特征多项式的常数项就就是它的行列式,它的第n-1次项的系数就就是对角线上元素之与。
(7)结论:()[],()()AX X h x F x h A X h X λλ=⇒∀∈=。
(8)结论:课本P242定理7、8。
(9)结论:课本P242推论。
(10)结论:课本P243定理7、10。
(11)结论:实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。
(1)定义:二次型的矩阵。
(2)定义:相合关系。
(3)实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。
(4)定义:课本P263定义7、12与P269定义7、12
(5)实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。
(6)结论:课本P264定理7、17、7、18、7、19
(7)结论:课本P269定义下面的内容
重要建议:最好把课本第七章内容全部记住！。