线性代数的一些证明题
线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见证明题型及常用思路The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1,,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。
（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
（3）如果1,,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,m t ααββ线性无关。
这种情况下，有些时候我们设111111110,,m m t t m m t tλαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。
根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。
则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
线性代数证明题
线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。
3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。
10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。
13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数证明题
4. 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵.证明：因为A 、B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==,1111111111()()()()()T T TT TTT AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A----------⇒+=+=+=+=+则矩阵11AB B A --+ 是对称矩阵。
5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*n -A =A.证明：因为*AA =A E⑴当0A =时，*0AA =.用反证法：假设*0A ≠，则知*A 可逆，在等式*O AA=左右两边同时右乘()1*-A ，得到O A =，于是*O A =，这与假设矛盾，可知当0A =时, 有1*0n -A ==A；⑵ 当0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得**nA A =AA =A E =A两边同时约去A，得1*n -A =A.6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。
证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使332211a a a λλλ++=0 （1），由已知设332211αβαβαβ++=b，结合（1）式得333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2）由于321,,λλλ不完全为零，则11λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。
7. 设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β不是A 的特征向量。
证明：假设()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=⇒=++=++=++，又：123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++从而：()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=，由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关，所以的1231230λλλλλλλλλλ-=-=-=⇒===，矛盾。
经典线性代数问题无复习资料
第一章多项式1.(P16)证明：当n= 6/?? + 5 时，多项式F+与+尸整除多项式(x+y)n-x n-y n；当n = 6m+l 时,多项式(x2+xy + y2)2整除多项式E)” 7” - / •这里朋是使“ > 0的整数，而兀,y是实数.2.(P16)求最低次数的多项式「心)与咻)，使得(1)(x4一2x3一4x2+6x + Y)u(x) + (x3一5x-3)v(x) = x4 ;(2 ) (x4 + 2X3+x+V)u(x) + (x4 +x3 -2x2 +2x-l)v(x) = -2x3.(Pl 6)求次数最低的多项式/(A),使得/G)被多项式X4-2X3-2X2+10A-7除时余式为F+x + i ,被多项式X4-2X3-3X2+13A-10除时余式为2A:2-3.4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：(1)x" -C討“ +C族“ +... +(_曲；(2)x2n +C^x2n-2(x2 -\) + C^x2n'4(x2 -\)2 +... + (x2 -\)n；(3)0+1 +cU”」(x2 _]) + (7；”+用心(十_1)2 + +心2 _1)” .5.(P22)证明：复系数多项式爪)对所有的实数兀恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式0(x),处V)没有实数根，使得/W =10(x)1’・6.(P22)证明：实系数多项式/⑴对所有实数X恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式卩⑴和叽X),使得f(x)=[(p(x)]2 + [1//M]2.7.(P26)设/⑴巳疋+“严+…+““+吗是整系数多项式，且素数〃满足：pRo，pg,...,pM，plq,i = k+l,k+2,...,/i ,而p2 )a n，证明：f(x)具有次数的整系数不可约因式.8・(P26)设 f(x) = a Q x 2n+l +... + y" +a n+l x n+... + %v + %i 是整系数多项 式，且素数 p 满足:p !«,,/ = 1,2 . n t p 2\a it i = n + l,n +2，…,2n + \ ,但P”2”+i •证明：/(x)在Q 上不可约.z, jA<iJ<n ,均有/(乳…总，…芒厂……,◎，…，勺，…,匕)9则/(勺吕…总)称为对称的擞域F"上规范对称“重线性函数称为川阶积和式()，记为阳6局，…&) •记 勺=(%%…％)JT2…丿,并记"阶方阵A 为9. (P26)设时2，...®是〃个不同的整数.证明：多项式f(x) = (x-a l )2(x-a 2)2...(x-a n )2+1在Q 上不可约.第二章行列式1O.(P54)计算下列行列式：0 a b cabed/ I 、 -a 0 d €(°、 _d a b _c-b -d 0 / -c -d a b -c -e 一 f 0-d c _b u11. (P54)设/(沿2，…,L )是F”上£元函数•如果对任意 -Ut±*则"阶积和式阳(勺局也记为P"A •证明:Per^= E %%・・・％•(1 2 ・.・ /? '1 bl Q ・•• A J12. (P66)给定〃阶方阵A =(知).证明：其中A v 是行列式3 A 中元素知的代数余子式，1「J S •13. (P84)计算下列〃阶行列式:a } +x 2 ・・・ a } + x n \ + a 2+ x 2 ・・・ a 2 + x n • 1+勺+心11 (1)a2l ~a i\ “22 — ^12…a 2n ~a \na3\ ~a \\a32 ~a \2…①” 一细Cln\ ^a\\ d“2 _"12・・・%一％=工八八1 0 0 011 C ： 叫CA 1• • • ,n l1 C ； 0 ...0 A(3) 1 C ； 叫 C ；、 • • •«■丿•“m ；(4) 1 C ； • • • c ； • • ...0 • • ■ • • • ?x~• • • • ■ • C ； • • •1• • •1 Cl C ；… 5-2 严1 * C 二 厂口・2 …C/i-lz-1厂—1 '-zvi+;r-la i +bn ]&2 +b n•・• ^r?r+;r-l1 + q + 召 a + xn-1 X -2/7 + 2-1%h2\，其余未写出的元素都•n -U是零.14. (P86)设•••，"”是正整数•证明：行列式1 q af ・・・4穿1 o, cd ... a"~]••• •••能被 l fl -*2n -2...(n -2)2(“ 一 1)整除.15. (P86)()设"阶方阵A = 0)满足Qij=-aji ，\Si,jS ,则方阵A 称为 斜对称方阵.把％看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式sin n0x sin(n-l)^ ・・・1 + Xj 1 +石...1 (7) sin n02 sin(/z-l)^2 (i)02 ；(8) 1 + X 〉 1 + X ；・・・ 1 +sin n0n sin(n-l)^ … sinQ1 + X n 1 + X ；・・.cos (n-i )q cos 20n .V 1 一 n x 一 2_(n _ 1)1 cos qcos 20\ cos ・ cos(x-l )q 1 cos 0n(9)(10) 计算2“阶行列式bln恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.16.(P86)()设〃阶方阵A =(q)的元素都是实的，并且ng >0q V OJ H人力知>0 •证明:r-l17.(P86)()设"阶方阵A = q)的元素都是复数，并且41>£|呦|,心12...,“，则方阵A称为主角占优矩阵•证明：主角占优矩阵的行列式不为零.18.(P87)把〃阶行列式几一41 -a i2... 一q”—a 212_勺2 …• ■ •• • •~Cl n\_。
线性代数-习题答案-证明题
8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关.9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有 ()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设121,,,n ααα- 为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα- 均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη 分别与121,,,n ααα- 均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-= ,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤ 12,ηη∴线性相关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα 为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα 也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα 是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠=== 12,,n A A A ααα∴ 是正交向量组.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设12,,,s ααα 是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++ 线性无关.9、答案内容：证明:假设()121s R s βααα<+ .这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++ 线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα （I ）设B 的行向量组为12,,,m βββ （II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有 1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解∴向量组（I ）也是0Dx =的解----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη- 是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη- 线性无关.9、答案内容：证明：假设12,,,,n r ηηηη- 线性相关，12,,,n r ηηη- 是0Ax =的基础解系，12,,,n r ηηη-∴ 是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη- 线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη- 线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη- 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη- 线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη- 线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的.9、答案内容：证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。
《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题
1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44=2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.解.3. 计算n阶行列式(n 2).解. 当+=+++=－=－－= 0 当4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.6. 设证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).证明: ,由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组…………系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以8. 设解. ====1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.解. ==2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令,第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.5. = ______.解.6. 设矩阵= ______.解. ==－+ ==7. 设n阶矩阵A满足= ______.解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得8. 设=______.解. =,,==9. 设解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 110. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. ,使用分块求逆公式－=所以2．单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以= . 于是令, . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)解. AB ==+ 2－2= E. (C)是答案.5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C)(D)解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*解. (－A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)解.(C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以又因为, 于是所以. (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.3.计算证明题1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T 解. ,2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii.iii. iv. 解. i.,ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到:iii. . 由矩阵分块求逆公式:所以iv. 由矩阵分块求逆公式:得到:3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,. 试求矩阵A.解. 由本题的条件知:4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解.所以5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆. 解. 因为所以. 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以.因为B可逆, 所以所以. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且解.==所以.8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T, 所以(A－E)(B－E)T = E所以,由 |B| ≠ 0 知存在.所以. 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为所以因为, 所以11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.解. i. ,,所以当时, E + AB可逆.ii.因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 计算下列各题:i. ii.解. i.所以ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得所以于是13. 设, 求A n.解. 使用数学归纳法.假设=则==所以==14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii., iv. .解. i.ii.iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有证明:下面证明本题:因为. 两边取"*"运算, 所以.于是iv.15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.所以16. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i.所以假设则=所以ii.17. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以因为18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(A－B)2 = A + B, 所以于是, 所以因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E－A| ≠ 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B －C = E.解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA所以所以右乘, 得B－C = E(注: 本题中条件|E－A| ≠ 0 可以不要)20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵i. 计算并化简PQ;ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.解. i.因为, 所以,= 0所以ii. 因为所以所以所以存在的充要条件为1. 设, 则k =______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式= 13k +5 =0.2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式.所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.解. 考察行列式得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 35. 设, 则秩(A) = ______.解.所以r (A) = 3.6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.解. A = α·β =所以r (A) = 1.7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A= (α1, α2, α3, α4)所以当t = 7时, r (A) = 2.2.单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由得因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B= 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A－B ≠ 0, 则r(A－B)≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A－B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.3.计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解.i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时.系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0其中l1≠ 0, 则.解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则k1α1 +…+ k i－1αi－1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0因为任意m－1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i－1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.代入第一式得:即所以, …,即4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.解. 假设得因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1－α2,bα2－α3, cα3－α1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x= 0有解向量α, 且A k－1α≠0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关的.解. 假设. 二边乘以得,由. 二边乘以得,………………………………最后可得,所以向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.解. 解. i.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得,所以ii.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得, ,所以由得方程组解得, , 所以7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. ,ii. ,iii. ,iv. ,iv.所以, 当时, ; 当时,8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:(秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0解. 由第十一题知又因为A≠±E, 所以,所以, 中有一个为1所以 (秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为A2 = A, 所以所以所以又因为所以. 所以。
完整word版,《线性代数》中的证明题集
1．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有11000100010000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++L L LM M M O MML L． 证：将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，所以1n n n D D βα--=． （1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=． （2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-．2．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证：41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874c c c cc c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．3．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++．证： 构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =， 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------． （1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+L ． （2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．4．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证：方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．5．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证： 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．6．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆． 证：ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．7．设n 阶方阵A 满足23AA O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证： 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．8．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证： 由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以A E -及A E +都是可逆矩阵．9．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证： （1）111111()()()()kkkB P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭．10．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设矩阵121000000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L MM M M L L，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -．证： （1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E BO O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且 111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n n a a O B A a C O a-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭MLM L M M M M M L L L L L L L ML， 则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000001112111n n a a a a ΛM M M M ΛΛΛ．11．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=． 证： 由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.12．证明：（1）设,A B 为矩阵，则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵．（2）对任意n 阶矩阵,A B ，都有AB BA E -≠，其中E 为单位矩阵． 证：（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，则AB BA -有意义,,,.n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪⇔⇔===⎨=⎪⎪=⎩， 即,A B 为同阶矩阵．（2）设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==，则BA AB -的主对角线上元素之和为111111110n nn n n n n nik kist ts ik ki ts st i k s t i k t s ab b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑，而E 的主对角线上元素之和为n ，所以AB BA E -≠．13．证明：任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和． 证： 设A 为任意n 阶矩阵，则22T TA A A A A +-=+，其中为2T A A +对称矩阵，2TA A -为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和）14．已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，试证E A -可逆，并求1()A E --． 证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以E A -可逆，且E B E A -=--1)(．15．设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵，证明：()A n E A E 111--=--． 证： ()211()111n E A E A E A A n n n --=-+---．又2A nA =，故 ()1()1E A E A E n --=-， 所以()A n E A E 111--=--．16．设n 阶矩阵A 与B 等价，且0A ≠，证明0B ≠．证： A 与B 等价，则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ，使得B PAQ =，有0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠．注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设A 为n 阶方阵，且A A =2，证明()()n E A R A R =-+．证： 因为2()A A E A A O -=-=，所以()()R A R A E n +-≤．又()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=，所以()()n E A R A R =-+．18．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <．若AB E =，其中E 为n 阶单位矩阵．证明方程组BX O =只有零解．证： 由AB E =，得()R AB n =．又()()n R B R AB n ≥≥=，得()R B n =，所以方程组BX O =只有零解．19．（1）设nR ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例． 证：(１) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=，即21,αα对应的分量成比例．20．任取nR ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．证： 显然13123424ββααααββ+=+++=+，即1234(1)(1)0ββββ+-++-=，所以4321,,,ββββ必线性相关．21．设12,,,ns R ααα∈L 为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α=L 都不能由它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s αααL 线性无关．证： 用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,m αααL 线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+L 线性相关，则1m α+可由12,,,m αααL 线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s αααL 线性无关．22．设非零向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12,,,s αααL 线性无关．证： β可由向量组12,,,s αααL 线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=L L ． 则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=L 有唯一解 1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔==L L 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔L 12,,,s αααL 线性无关．23．设12,,,nn R ααα∈L ，证明：向量组12,,,n αααL 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示．证： 必要性：12,,,n αααL 线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβL 线性相关，所以β可由12,,,n αααL 线性表示．充分性：任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e L 可由12,,,n αααL 线性表示，有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤L L ，所以12(,,,)n R n ααα=L ，即12,,,n αααL 线性无关．24. 设A ：1,,s ααL 和B ：1,,t ββL 为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =U的秩为3r ．证明：{}21321,m ax r r r r r +≤≤．证： 先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．次证312r r r ≤+．设11,,i ir ααL 为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββL 为B 组的一个极大无关组，则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββL L 线性表示，有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+L L ．25．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =． 证： 由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．因为B 可逆，则1A CB -=，知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．26．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ． 证： 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．27．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3R 的一组基，并求向量T)3,6,2(=β在这组基下的坐标．证： 由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪=-−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭M M M M M M，得123,,ααα是3R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--．28．设m ξξξ,,,21Λ是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+L 也是0=AX 的基础解系．证： 显然122,,,m ξξξξ+L 是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫ ⎪⎪+== ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L M M M L．由10K =≠，得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==L L ，所以122,,,mξξξξ+L 线性无关．29．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α． 证： 存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．30．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明： （1）若AB O =，则A O =； （2）若B AB =，则n E A =．证： （1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=． （2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．31．设s ααα,,,21Λ为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若,,,3221Λαααα==A A s s A αα=-1,Λ，0=s A α，试证明s ααα,,,21Λ线性无关．证： 设1122110s s s s x x x x αααα--++++=L ． 该式两边左乘以A ，得122310s s x x x ααα-+++=L依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．同理可证20,,0s x x ==L ．所以s ααα,,,21Λ线性无关．32．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维 向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．证： 设1122330x x x ααα++=． （1） （1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=． （2） （2）减去（1），得21320x x αα+=． （3） （3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=． （4） （4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =． 所以321,,ααα线性无关．33．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．证明：若存在正整数m ，使0=αm A ，而01≠-αm A ，则1,,,m A A ααα-L 线性无关．证： 设10110m m x x A x A ααα--+++=L ，该式两边左乘以1m A -，得100m x A α-=．因为01≠-αm A，所以00x =．同理可证110m x x -===L ．所以1,,,m A A ααα-L 线性无关．34．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价． 证： 设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21Λ为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21Λ为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββαααΛΛ.又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=L ，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=L L ，即r βββ,,,21Λ可由r ααα,,,21Λ线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价．35．设向量组A ：s ααα,,,21Λ线性无关，向量组B ：12,,,r βββL 能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=L L ，其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(． 证： 向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=L 只有零解 121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=L 只有零解 12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔L 线性无关只有零解()R K r ⇔=．36．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．证： 先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，即(|)()()R A B R A R B ≤+．37．设321,,ααα是3R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．（1）证明123,,βββ是3R 的一组基；（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．证： 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （１）（１）由10111001120=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，所以123,,βββ是3R 的一组基．（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （3）γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -．38．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证： （1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解； （2）若r A R =)(，则B O =；（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关． 证： （1）令12(,,,)n B βββ=L ．由AB O =，得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=L L ，即0,1,2,,j A j n β==L ，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解． （2）若r A R =)(，则0AX =只有零解，所以B O =．（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：（1）当n A R =)(时，n A R =*)(； （2）当1)(-=n A R 时，1)(=*A R ；（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*A R ．证： （1）当n A R =)(时，1*00n A A A-≠⇒=≠，所以()R A n *=．（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤．又A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则**()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *=．（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**()0A O R A =⇒=．40．设矩阵A 满足等式2340A A E --=，试证明A 的特征值只能取值1-或4． 证： 设λ为A 的特征值．由2340A A E --=，得λ满足2340λλ--=，解得1λ=-或4λ=．41．设方阵A 满足T A A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵．试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证： 设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为λ，则AX X λ=．由TA A E =，得T T T T X A AX X EX X X ==，即()()TTAX AX X X =，有2T T X X X X λ=．又0TX X >，则21λ=，所以1λ=．42．设矩阵A 与B 相似，试证：（1）T A 与T B 相似； （2）当A 可逆时，1-A 与1-B 相似． 证： A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．（1）111)(()()TTTTTTT TP AP P A P P B A P ---===． 因为T P 也可逆，所以T A 与TB 相似．（2）111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===，所以1-A 与1-B 相似．43．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值． 证： 必要性：A 与B 相似，则存在可逆阵P ，使得1P AP B -=．有111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-，所以A 与B 有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值，设n λλλΛ,,21为它们的特征值．令12(,,,)n diag λλλΛ=L ．则A 与Λ相似，B 与Λ相似，所以A 与B 相似．44．设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323ααα+=A ．（1）证明321,,ααα线性无关； （2）令),,(321ααα=P ，求AP P 1-．证： （1）设1122330x x x ααα++=， （1） （1）式两边左乘以A ，得1123233()0x x x x ααα-+++=． （2） （1）-（2），得113220x x αα-=．显然21,αα线性无关，则130,0x x ==．代入（１），得220x α=，有20x =，所以321,,ααα线性无关．（2）1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由第一部分知P 可逆，所以1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．45．设B A ,均为n 阶方阵，且n B R A R <+)()(．试证：B A ,有公共的特征向量．证： 考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，其系数矩阵的秩()()A R R A R B n B ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭， 则方程组有非零解ξ，即0A B ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0,0A B ξξ==，即0λ=是,A B 的公共特征值，ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量．46．设A 是n 阶方阵，且满足n A E R A E R =-++)()(．试证:E A =2． 证： 设()R E A r +=．（1） 若0r =，则0=+A E ，即A E =-，有E A =2．（2）若r n =，则()0R E A -=，即A E =，有E A =2．（3）若n r<<0，则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-L 就是A 的属于特征值1-的线性无关特征向量；又()R E A n r -=-，则()0A E X -=的基础解系12,,,r βββL 就是A 的属于特征值1的线性无关特征向量；从而A 有n 个线性无关特征向量：1212,,,,,,,n r r αααβββ-LL ，所以A 能相似对角化．令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=L L ，有1n rr E O P AP OE ---⎛⎫=Λ=⎪⎝⎭， 则1n rn r E O A P P O E ----⎛⎫=⎪⎝⎭，所以E A =2．47．n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，证明1=λ不是A 的特征值．证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以A E -可逆，有0≠-E A ，所以1=λ不是A 的特征值．48．证明：若矩阵A 正定，则矩阵A 的主对角线元素全大于零． 证： 设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则二次型11n nTij iji j f X AX a x x====∑∑正定．取1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====L L ，则0ii f a =>．由i 的任意性，所以A 的主对角线元素全大于零．。
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线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。
知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=11=n λ当n 为奇数时，λ=1.当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T －E)∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三1角形后对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－1a ）（1－2a ）…（1－n a ）=0 ∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。
相关例题证明：若A 为正交矩阵，则det(A )=±1. 3 题目试就a,b 的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-++=-+3)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x （1）知识点 线性方程组解的结构解题过程解：B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-3 2b a 3 03 2 2a 21 1 1 1b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---3 2b a 3a 01 b a 01 1 1 1 122r r -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0 b a 0 0 1 b a 0 1 1 11 (1)当a —b ≠0,且a ≠0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。
其解为： ;11 ,1 ,0123ax a x x -===(2)当a-b=0，且a ≠0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。
其解可由132=-bx ax ，解得,132x ab a x +=，代入第一个方程1321=-+x x x 得到31111x a b a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；一般解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-+-=任意）(111113333231x x x a x a b a x ax a b a a a x （3）当a=0，b 为任意数，此时增广矩阵可化为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0 b a 0 01 a 01 1 11b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1 0 0 01 b 0 01 1 11 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误233r r -在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当a ≠b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a ≠0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b ≠0，等等。
相关例题确定a,b 的值，使下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-++=-+3)2(3 3)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x（1） 有唯一解； （2） 无解；有无穷多解，并求出通解。
4 题目若123,,ααα线性无关，4112233k k k αααα=++，其中123,,k k k 全不为0. 证明234,,ααα线性无关. 知识点 向量线性相关解题过程证法一：（从定义出发）设存在常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++= 已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++= 由题意知：123,,ααα线性无关131********k k k k k k k k ⎧'⎪⎪''∴+⎨⎪''+⎪⎩＝ ＝＝123,,0k k k 全不为1230k k k '''∴ 解得＝＝＝由定义，知234,,ααα线性无关 证毕证法二：（由初等列变换，秩相等）411223323423112233(,,)(,,)k k k k k k αααααααααααα=++−−−−−−−→++由3223322311(,,)c k c c k c k ααα--−−−→31/231(,,)c k ααα−−−→由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由123,,ααα线性无关，知231(,,)ααα的秩为3，所以234(,,)ααα秩也为3，推出234,,ααα线性无关证法三：（反证法） 假设234(,,)ααα线性相关.则存在不全为0的常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++=已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++=123,,0k k k 全不为13123233 ,,0k k k k k k k k '''''∴++ 不全为（否则，由13123233 0k k k k k k k k '''''++＝＝＝得1230k k k '''＝＝＝） 即 123,,ααα线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 234(,,)ααα线性无关. 5题目设121,,,n r ηηη-+是AX B =的解且线性无关，()R A r =，试证AX B =的任一解可表示为112211n r n r X k k k ηηα-+-+=+++，其中1211n r k k k -++++=知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明121,,,n r AX B ηηη-+=是的解11211,,,0n r n r n r n r AX ηηηηηη-+-+--+∴---=是的解由11211121,,,,n r n r n r n r c c c c n r n r c c ηηηη-+-+--+----+-−−−−→()112111,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---()因为 121,,,n r ηηη-+线性无关，所以112111,,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---线性无关， 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---也线性无关，且11211(,,,)n r n r n r n r R n r ηηηηηη-+-+--+---=-所以 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---是0AX =的基础解系因为0AX =的任一解X *可以表示为：1112211()()()n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηη*-+-+---+'''=-+-++-AX B =的任一解X 可以表示为：X X η**=+ ①其中η*是AX B =的一个特解扩展①式，取1n r ηη*-+=，得11122111()()()n r n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηηη-+-+---+-+'''=-+-++-+化简得1122121(1)n r n r n r n r X k k k k k k ηηηη----+''''''=++++----令1121n r n r k k k k -+-'''=----，1122,,,n r n r k k k k k k --'''===则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且1211212(1)1n r n r n r k k k k k k k k k -+--''''''+++=++++----=命题得证另外取(1)i i n r ηη*=≤≤-时1112211()()()n r n r n r n r n r i X k k k ηηηηηηη-+-+---+'''=-+-++-+化简得11221111(1)i i i i i i n r n r X k k k k k k ηηηηηη--++--''''''=+++++++++121()n r n r k k k η--+'''----此时令11221111,,,,1,,,i i i i i i n r n r k k k k k k k k k k k k --++--''''''====+==112n r n r k k k k -+-'''=----则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且121n r k k k -++++121112(1)()1i i i n r n r k k k k k k k k k -+--'''''''''=+++++++++----=此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解. 6 题目设21λλ、是矩阵A 的两个不同的特征值，21x x 、分别属于21λλ、的特征向量，证明21x x +不是矩阵A 的特征向量. 知识点11 特征值 特征向量解题过程用反证法.设 21x x +是A 的对应λ的特征向量，则有212121)()(x x x x x x A λλλ+=+=+ (1)已知 111x Ax λ=，222x Ax λ=所以 22112121)(x x Ax Ax x x A λλ+=+=+ (2)由(1)(2)知 221121x x x x λλλλ+=+0)()(2211=-+-x x λλλλ (3)因为21x x 、线性无关，所以021=-=-λλλλ，21λλλ==与已知矛盾.常见错误由(1)(2)直接推出21λλλ==，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.。