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线性代数证明题解析

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线性代数常见证明题型及常用思路

线性代数常见证明题型及常用思路

线性代数常见证明题型及常用思路The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1,,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。

（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。

（3）如果1,,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。

（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,m t ααββ线性无关。

这种情况下，有些时候我们设111111110,,m m t t m m t tλαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。

根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。

题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。

则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）381141102---； （2）b a c a c b cb a（3）222111c b a c b a ； （4）yxy x x y x y y x y x +++.解 注意看过程解答（1）=---38114112811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=ba ca cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bfde cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c ba100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c badf ---=111111111---adfbce=abcdef 4(4)dc b a 100110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab 101101--+23dc c +010111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bzay by ax bxaz by ax bxaz bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++=yxz x z yz y xb a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n+----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay by ax z by ax bx az y bxaz bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay yx byax x zbxaz z y b +++zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z yzy x b yxzx z yz y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D :1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nnn a a a a D = ，11113a a a a D n nnn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nn n nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaa x a a a xD n=;(3)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn nn ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4)nnnnn d c d c b a b a D00011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1)aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得a x x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4)nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nn n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----= 1121023313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D 1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+=5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651-- 51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212*********x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000320012101313000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫⎝⎛7182故22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =;（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011YAY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求k A . 解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ001001010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.证明 已知：A A T=则 AB B B A B A B B AB B T T T T TT T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明 由已知：A A T = B B T=充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A (3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA11故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A(5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A 320043332313-====A A A A 850044342414=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-85003200005200211A (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111(4)11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1)方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x 14．设O A k =(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及 1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B . 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E A B 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A .解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ2100λλ,证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk k k2100λλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222100λλ命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk kk k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ= 2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m m m a a a 21211000001001λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=m m mm a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明 右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A A A11, 则E A AA =*取行列式得到: nAA A =* 若0≠A 则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n AA20．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验: =D C BA =--101001011010010111001010020002--410012002== 而01111==D C B A故 DCB A DC B A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A O O A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解 将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*******1)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

考研线代证明题

考研线代证明题

考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。

线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。

这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。

二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。

线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。

三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。

具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。

四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。

我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。

2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。

3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。

4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。

线性代数课后答案解析__第二版__同济大学出版社

线性代数课后答案解析__第二版__同济大学出版社

线性代数习题解答 同济大学出版社习题11.求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）4 1 5 3 2； （4）3 7 1 2 4 5 6； （5）1 3 … (21)n - 2 4 … (2)n ； （6）1 3 … (21)n - (2)n (22)n - … 2. 2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：（1）3214---； （2）201141183---；（3）a b c b c a c a b ； （4）x y x y yx y x x yxy+++.3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号： (1)233142561465a a a a a a ；(2)334214516625a a a a a a . 4.计算下列各行列式：（1）000100020010000000n n -； （2）1234214334124321------；（3）2100121001210012； （4）0451250201720343115023013-------；（5）abac aebdcd de bfcfef---； （6）1111111111111111x x y y+-+-.5.证明:(1)11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； （2）2222111a abb aa b b +=3()a b -；(3)111111222222b cc a a bb c c a a b b c c a a b +++++++++=1112222ab ca b c a b c ； (4)222244441111a b c d a b c d a b c d ； ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()-+++c d a b c d ；(5)1221100001000001n n n x x xa a a a x a -----+111n n n n x a x a x a --=++++ .6.计算下列各n 阶行列式：(1)11aa,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)111x a a a x a a a x --- ；（3）123111100100100n a a a a，230≠其中n a a a ； (4)12111111111na a a +++,120n a a a ≠ 其中；(5)111222(1)(2)()(1)(2)()12111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---------------；(6)det(),n ij ij D a a i j ==-其中. 7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：（1）320000430000002100003200000032000054；（2）3002034040030560； (3)112110000nnn nna b a b D c d c d =.解答习题11.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）(1)2-n n ；（6）(1)-n n . 2.（1）-14；（2）-4；（3）3333---ab a b c ；（4）332()-+x y . 3.（1）正号；（2）负号. 4.（1）(1)(2)2(1)!---n n n ；（2）900；（3）5；（4）－799；（5）4abcdef ；（6）22x y . 5.提示：（1）用行列式定义证明；（2）、（3）、（4）用行列式性质证明；（5）用数学归纳法证明.6.（1）22(1)--n aa ；（2）1[1(1)](1)--+---n x n a x a ；（3）23121()()nn i ia a a a a =-∑ ；（4）1211()(1)=+∑nn i i a a a a ；（5）1()≥>≥-∏n i j i j ；（6）12(1)(1)2----n n n . 7.（1）2；（2）2；（3）1()=-∏niii i i a db c .习题21.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于选手3；选手2胜选手4，5，6负于选手1，3；选手3胜选手1，2，4负于选手5，6；选手4胜选手5，6负于选手1，2，3；选手5胜选手3，6负于选手1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且357220430123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132021570648B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.3.设111123111124111051A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求32AB A -与TA B .4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：234123241A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭甲乙丙方法一方法二方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.5.设12101312A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，问（1）AB BA =吗？（2）()2222A B A AB B +=++吗？（3）()()22A B A B A B +-=-吗？6.举反例说明下列命题是错误的： （1）若2A O =，则A O =；（2）若2A A =，则A O =或A E =；（3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 7.设101A λ⎛⎫=⎪⎝⎭，求23kA A A ，，，. 8.设AB 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：（1）1225⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭； （3）121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； （4）1234012300120001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10.解下列矩阵方程： （1）25465321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（3）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.设方阵A 满足225A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵.12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立kA O =，试证E A -可逆，并指出()1E A --的表达式.13.设A 为3阶方阵，12A =，求()125A A -*-. 14.设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *也可逆，且()()11AA -**-=.15.设131020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2AB E A B +=+，求B .16.设三阶矩阵A B ，满足关系：16A BA A BA -=+，且100210041007A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求B .17.设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AX A X =+，求X .18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，=，求A 及5A .19.设A B ,和A B +均可逆，证明11A B --+也可逆，并求其逆矩阵.20.将矩阵2131425442622140A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）111211120⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321315323⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）3201022112320121--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭； （4）1357012300120001-⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.22.下列矩阵的秩.：（1）1234124511012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （3）1001310312011457⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭； （4）24131121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.23.设A 为n 阶矩阵，且2A A =,证明()()R A R A E n +-=.24.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求84A A ，. 25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵005200218300520⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解答习题21.123456110111200111311100400011500101600100⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.2.357213202043215701230648 A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭48924191007611⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3.111123111 3331111242111111051111 AB A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-----⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭058123056124290051TTA B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=---⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭002123058559124056860051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.1072844759A⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方法一获利最多. （１）AB BA≠，因为34124638AB BA⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以AB BA≠．（２）()2222A B A AB B +≠++因为 2225A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭()2222281425251429A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭但 2238681010162411812341527A AB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2222A B A AB B +≠++（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()()220206250109A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 223810284113417A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()22A B A B A B +-≠-6.（1）取1111A O ⎛⎫=≠ ⎪--⎝⎭，而2A O =； （2）取1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有A O A E ≠≠，，而2A A =； （3）取101010000001A X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，有X Y ≠，而AX AY =.7. 21010101121A AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由此推出 ()10231kA k k λ⎛⎫==⎪⎝⎭，，下面利用数学归纳法证明这个结论． 当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()11011k Ak λ-⎛⎫=⎪-⎝⎭则对于k 时，有 ()11010101111kk A A A k k λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故结论成立． 8. 证明 由已知：T A A = TB B =充分性：由AB BA =，得T TAB B A =，所以()TAB AB =即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()TAB AB =得，T T B A AB =所以BA AB =.9. (1) 公式法：1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A =112112225,2(1),2(1),1A A A A ==⨯-=⨯-=112112225221AA A A A *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11A A A -*= 故 15221A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭初等行变换法：()12102501AE ⎛⎫=⎪⎝⎭21212100121r r -⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭12210520121r r --⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭所以 15221A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2) 10A =≠ 故1A -存在11211222cos sin sin cos A A A A θθθθ===-=从而 1c o s s i n s i n c o s A θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭(3) 公式法;2A =, 故1A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332142A A A =-==-故 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭初等行变换法：()121100342010541001AE -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 2131351211000213100146501r r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3271211000213100011671r r --⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2313120157102013610011671r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3210021002013610011671r r +-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2122101001310103220011671r --⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-- ⎪- ⎪-⎝⎭所以 12101313221671A --⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．（４）由对角矩阵的性质知 12110101n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10. (1) 125461321X --⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭10111312324323330⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭ (3) 11143120120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭243110111011212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭66101301212⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11104⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭11. 由22A A E O --=得22A A E -= 两端同时取行列式: 22A A -=即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而22A E A +=2220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.由22A A E O --=得()2A A E E -=所以 11()2A A A E A E ---=，则11()2AA E -=- 又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-(2)(3)4A E A E E +-=-所以 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+则 11(2)(3)4A E E A -+=-. 12.()11k E A E A A ---=+++ .13. 因为11AA A-*=，所以 ()1111111255522A A A A A A A -*-----=-=- ()31112288216A A A ---=-=-=-=-⨯=-.14. 由11AA A-*=，得1A A A *-=， 所以 当A 可逆时，有110nn A A A A-*-==≠，从而A *也可逆.因为1A A A *-=，所以()11A AA --*=又()()1111A A A A A**---==，所以()()()11111A AA AA A A -**--*--===15. 由2AB E A B +=+得()2A E B A E -=-即()()()A E B A E A E -=-+因为 0011010100A E -==-≠，所以()A E -可逆，则 201030102B A E ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.16.600020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.17.033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭18. 因为AP P =Λ，所以1A P P -=Λ；又 1P =-， 1100210411P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，55115⎛⎫⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭= 所以 1100110021012102115411A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100200611⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭5100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭.19. 因为()1111A B A E CA B B B A ----+=+=+，由()()1A B A B E -++=得()()()()111111AB A A B B A B A B B ------++=++=则()()1111A B A A B B B B E ----++==所以11A B --+可逆，其逆为()1A B A B -+.20. 213241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 32344221312131001200120000000100010000r r r r r r B -↔+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 的秩为3，其一个3阶非零子式为13112001--，对应于A 的3阶非零子式为131254262----. 故2131001200010000-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为131254262----. 21.(1)111222111444513444⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭,(2)72363211211022⎛⎫- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，(3)11240101113621610--⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭，(4)131120012100120001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22.(1)2,(2)3，(3)4，(4)当4a =-时，秩为2；当4a ≠-时，秩为3.24.34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭25. nn s ns s A O E O C B OE ⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 111n nA r ns ns s EO A O C B OE --⨯⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭()2111r Cr nns n ns EOA O OB C A E ---⨯⎛⎫−−−−−→ ⎪-⎝⎭左乘 ()121111s s B r nns n nsA O EO B C A B O E -----⨯⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭左乘 11111s s n s n nA O A OBC A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭利用这个结果取103021121412A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则由11111ss n s n n A O A O B C A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得 112040111113212A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，114021201241111312113512224B CA ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，则 1124080111212262424A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故 110002400012001212001213012482412143526-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭习题31.设α＝(1，1，0，-1)T ，β＝(-2，1，0，0)T ，γ＝(-1，-2，0，1)T ，求35αβγ-+．2.设34αβ+＝(2，1，1，2)T 23αβ+＝(-1，2，3，1)T求,αβ．3.解向量方程325X αβ-=其中，α＝(3，5，7，9)T ，β＝(-1，5，2，0)T ．4.判断向量β能否由其余向量线性表示？若能，写出表示式.（1）β＝(0，10，8，7)T ，1α＝(-1，2，3，9)T ，2α＝(1，3，1，0)T ，3α＝(1，8，5，-2)T .（2）β＝(1，2，1，1)T ，1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(1，1，-1，-1)T ，3α＝(1，-1，1，-1)T ，4α＝(1，-1，-1，1)T ．5.设1α＝(1＋k ，1，1，1)T ，2α＝(1，1＋k ，1，1)T ，3α＝(1，1，1＋k ，1)T ，β＝(1，3，2，1)T ，试问k 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出表示式．6.设1α＝(1，0，2，3)T ，2α＝(1，1，3，5)T ，3α＝(1，-1，a +2，1)T ，4α＝(1，2，4，a ＋8)T ，β＝(1，1，b ＋3，5)T ，试问当,a b 为何值时．（1）β不能由1234,,,αααα线性表示；（2）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法唯一，并写出该表示式； （3）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法不唯一，并写出两个表示式．7．设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由121,,,m ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组121,,,,m αααβ- 等价．8.判断下列向量组是否线性相关？（1）1α＝(2，2，7，-1)T ，2α＝(3，-1，2，4)T ，3α＝(1，1，3，1)T .（2）1α＝(1，4，2，7)T ，2α＝(3，2，4，5)T ，3α＝(1，-1，2，2)T ，4α＝(1，4，2，7)T ．9．问k 取何值时下列向量组线性相关？线性无关？1α＝(k ，2，1)T ，2α＝(2，k ，0)T ，3α＝(1，-1，1)T10．设向量组123,,ααα线性无关，112323βααα=--，21232βααα=++，3123βααα=-+，讨论向量组123,,βββ的线性相关性．11．已知向量组12,,,m ααα 线性无关，设112βαα=+，223βαα=+，…，11m m m βαα--=+，1m m βαα=+，讨论向量组12,,,m βββ 的线性相关性．12．设向量组12,,,m ααα 不含零向量，且αk (k =2，3，…，m)不能由121,,,k ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 线性无关．13．求下列向量组的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．（1）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(3，-1，2，0)T ，3α＝(1，3，4，-2)T ，4α＝(4，-3，1，1)T .（2）1α＝(1，2，3，-1)T ，2α＝(3，2，1，-1)T ，3α＝(2，3，1，1)T ，4α＝(2，2，2，-1)T ，5α＝(5，5，2，0)T ．（3）1α＝(1，2，-1，1)T ，2α＝(2，0，k ，0)T ，3α＝(0，-4，5，-2)T ，4α＝(2，2，2，-1)．（4）1α＝(1，0，1，2)T ，2α＝(0，1，1，2)T ，3α＝(-1，1，0，k )T ，4α＝(1，2，k ，6)T ，5α＝(1，1，2，4)T ．14．设12{,,,}m R ααα =12{,,,}t R βββ ，且12,,,m ααα 可由12,,,t βββ 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,t βββ 等价．15．设有两个向量组1α＝(1，2，-1，3)T ，2α＝(2，5，a ，8)T ，3α＝(-1，0，3，1)T ；1β＝(1，a ，2a -5，7)T ，2β＝(3，3＋a ，3，11)T ，3β＝(0，1，6，2)T ，若1β可由123,,ααα线性表示，试判断这两个向量组是否等价？16．已知向量组1β＝(0，1，-1)T ，2β＝(a ，3，1)T ，3β＝(b ，1，0)T 与向量组1α＝(1，2，-3)T ，2α＝(2，1，-1)T ，3α＝(3，0，1)T 具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b ．17．判断下列集合是否是向量空间？为什么？若是向量空间，求出其维数及一个基． （1）V 1＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝0}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．（2）V 2＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝1}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．18．设123,,n R ααα∈．证明，若1122330k k k ααα++=且k 1k 2 ≠ 0，则L(α1，α3)＝L(α2，α3)．19．求下列向量生成子空间的维数与一个基．（1）1α＝(-1，3，4，7)T ，2α＝(2，1，-1，0)T ，3α＝(1，2，1，3)T ，4α＝(-4，1，5，6)T .（2）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(1，-1，3，-1)T ，3α＝(4，5，3，-1)T ，4α＝(1，5，3，-1)T ．20．设1α＝(1，0，-1)T ，2α＝(2，1，1)T ，3α＝(1，1，1)T ；1β＝(3，1，4)T ，2β＝(5，2，1)T ，3β＝(1，1，-6)T ．（1）证明123,,ααα与123,,βββ都是R 3的基； （2）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）求坐标变换公式；（4）求α＝(8，3，0)分别在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标．21．设α＝(1，0，-1，0，1)T ，β＝(0，1，0，2，0)T ． （1）求αβ与的内积 [αβ，]； （2）求αβ与的长度||α||，||β||； （3）求αβ与的夹角θ．22．用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化．（1）1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(3，3，-1，-1)T ，3α＝(-2，0，6，8)T ； （2）1α＝(1，1，1，0)T ，2α＝(1，0，1，0)T ，3α＝(-1，2，3，0)T ． 23．求与向量1α＝(1，0，-1，2)T ，2α＝(0，1，1，0)T 都正交的向量． 24．判别下列矩阵是否为正交矩阵？并说明理由．（1）1100221100221111222211112222⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，（2）11133311022211666⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭25．设,n R αβ∈，A 是n 阶正交矩阵，证明：（1）[,A A αβ]＝[,αβ]； （2）||A α||＝||α||；（3）A α与A β的夹角等于α与β的夹角． 26．证明，若12,,,n ααα 是R n 的一组标准正交基，A 是n 阶正交矩阵，则12,,,n A A A ααα 也是R n 的一组标准正交基．解答习题31．(0，-8，0，2)T2．α＝(10，-6，-10，2)T ，β＝(-7，4，7，-1)T 3．X ＝12(14，-10，11，27)T 4．（1）能，β＝α1＋α3．（2）能，β＝14(5α1＋α 2 - α3 - α4) 5．k ＝3，β＝13(2α2＋α3) 6．（1）1,0a b =-≠，（2）12311,(2(1))1a b a b b a βααα≠-=-+++++ （3）2131,0.2a b βαβαα=-===-或8．（1）线性无关．（2）线性相关．9．k ＝3或k ＝-2时线性相关；k ≠3且k ≠ -2时线性无关． 10．线性无关．11．m 是奇数时线性无关，m 是偶数时线性相关．13．（1）秩＝2；α1，α2是极大线性无关组；α3＝2α1-α2，α4＝-α1＋2α2． （2）秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝121122αα+，α5＝α2＋α3． （3）k ≠3时：秩＝4．k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-2α1＋α2．（4）k ≠ 0且k ≠ 3时：秩＝4；α1，α2，α3，α4是极大线性无关组；α5＝α1＋α2． k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝α1＋2α2，α5＝α1＋α2． k ＝0时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-α1＋α2，α5＝α1＋α2． 15．a ＝4，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示，但β1，β2，β3与α1，α2，α3不等价． 16．a ＝20，b = 5．17．（1）V 1是向量空间．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)时：V 1＝R n ；dimV 1 = n ；坐标单位向量ε1，ε2，…，εn 是V 1的基．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)不全零时：dimV 1 = n -1；不妨设a 1≠0，则e 1 = (-a 2，a 1，0，…，0)T ，e 2 = (-a 3，0，a 1，…，0)，…，e n -1 = (-a n ，0，…，a 1)是V 1的基．（2）V 2不是向量空间．19．（1）dimL(α1，α2，α3，α4) = 2；基是α1，α2． （2）dimL(α1，α2，α3，α4) = 3；基是α1，α2，α4．20．（2）317527408-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）112233317527408x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）3，2，1与11145,,444--． 21．（1）0；（2）3,5；（3）2π．22．（1）123111(1,1,1,1),(2,2,2,2),(11,1,1)242T TT e e e ==--=--，． （2）123111(1,1,1,0),(1,2,1,0),(1,0,1,0)362T T T e e e ==-=-． 23．(-4，-2，2，3)．24．（1）是正交矩阵；（2）是正交矩阵．习题41. 用消元法解下列线性方程组：(1)123412341234 2 0,3 630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩ (4)23y z 4,2y 4z 5,38y 2z 13,4 y 9z 6;x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩2.三个工厂分别有3吨、2吨和1吨的产品要送到两个仓库储藏，两个仓库各储藏产品4吨和2吨，用ij x 表示从第i 个工厂送到第j 个仓库的产品数(1,2,3;1,2i j ==)，试列出ij x 所满足的关系式，并求解由此得到的线性方程组.3.写出一个以x 1222341001c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）为全部解的齐次线性方程组.4.确定,a b 的值使下列齐次线性方程组有非零解，并在有非零解时，求其全部解：(1)1231231232 30,3470, 20;x x x x x x x x ax -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ (2)123123123 0,0, 20.ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩5.λ取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无限多个解？并在有无限多个解时求解：(1)1231232123 1, , ;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)123123123(2) 2 21, 2(5) 42, 2 4(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩6.设A 是实矩阵，证明()()T R A A R A =.7.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1)123412341234 81020,24 5 0,38 620;x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩ (2)123412341234232 0,35420,87630;x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩8．设12,αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明：1212,2αααα+-也是该线性方程组的基础解系.9．设A 是n 阶方阵，0Ax =只有零解，求证：对任意的正整数k ，0kA x =也只有 零解.10．设A 22139528-⎛⎫=⎪-⎝⎭，求一个42⨯矩阵B ，使AB =0，且R (B )2=.11．求一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成：1ξ0123⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ3210⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12．求下列非齐次线性方程组的通解：(1)1212341234 5,2 21,53220;x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (2)123412341234 52311,536 1,242 6.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩13．证明：线性方程组121232343454515,,,,x x a x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=-=.有解的充分必要条件是123450a a a a a ++++=.14.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为1η,2η,3η，其中1η4321⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2η1351⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3η2632-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求该方程组的通解.15.设矩阵A 121201101t t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，试求方程组0Ax =的全部解.16.设A 21120131,11λμ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，η1111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，如果η是方程组Ax b =的一个解，试求方程组Ax b =的全部解.17.设η*是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，1ξ,2ξ,…,n r ξ-是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*,1ξ,2ξ,…,n r ξ-线性无关；(2) η*,η*＋1ξ,…,η*＋n r ξ-线性无关.18.若1η,2η,…,s η为非齐次线性方程组Ax b =的s 个解，12,,,s k k k 为常数，且121s k k k +++= ，证明：1k 1η＋2k 2η＋…＋s k s η也是非齐次线性方程组Ax b =的解. 19.设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，1η,2η,…,1n r η-+是它的1n r -+个线性无关的解，试证：它的任一解可表示为x ＝1k 1η＋2k 2η＋…＋1n r k -+1n r η-+，其中1211n r k k k -++++= .20.用克拉默（Cramer ）法则解下列方程组：(1)1234123412341234 5, 2 42,23 52,3 2110;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ (2)12342345123234345 0,0,23 2, 23 2,23 2.x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩21.判断齐次线性方程组12312312322 0,240,5820;x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 是否仅有零解.22.问,λμ取何值时，齐次线性方程组123123123 0,0, 20;x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?23.问λ取何值时，齐次线性方程组123123123(1) 2 40,2(3) 0, (1)0;x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？24.证明：平面上三条不同的直线0,0,0ax by c bx cy a cx ay b ++=++=++=相交于一点的充分必要条件是 0a b c ++=.解答习题41．（1）11221121234222110,(,)00001x c c x c c c c c x x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . （2）212121210x c y c c z c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.2．ij x （1,2,3;1,2i j ==）所满足的关系式为：111221223132112131122232 3,2,1,4, x x x x x x x x x x x x +=+=+=++=++=1112212231322,6;x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+++++=⎪⎩ 11121212211122213123221111221122100101101001x c c x c c x c c c x c x c x c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. 3．134234220,340.x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩4．（1）123111x c x c c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.（2）当0b =或10a -=时，即0b =或1a =时，齐次线性方程组有非零解.当1a =时，有1231001x c x c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.当0b =时，有1231(1)11x c x a c c a x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.5．（1）当1,2λ≠-时，非齐次线性方程组有唯一解；当2λ=-时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无限多个解，有1122112321111010001x c c x c c c x c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. （2）当1λ≠且10λ≠时，非齐次线性方程组有唯一解； 当10λ=时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无数多个解，有112211232122122010001x c c x c c c x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）.7．（1）1ξ43410-⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ01401⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （2）1ξ11971901⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ219141910⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.10．115118008B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11．12312420,230.x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩12．（1）x 111161,01702c -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.（2）x 1291172211,72001010c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.14．x 1131221()(),c c ηηηηη=+-+-（12,c c ∈ ）.15．x 121011,1001c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.16．λμ=，当12λ=，非齐次线性方程组有无限多个解，x 1211122311,100001c c ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）. 当12λ≠，非齐次线性方程组有无限多个解，有x 011122,112201c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.20．（1）12341231x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2）1234511111x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.21．齐次线性方程组仅有零解.22．当0μ=或1λ=时，齐次线性方程组有非零解. 23．当0,23λ=或时，齐次线性方程组有非零解.习题51.求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）3151⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）200202311-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（4）1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 2.证明下列各题：（1）设A 是幂等矩阵（即满足2A A =），则A 的特征值只能0是或1；. （2）设A 是正交矩阵，则A 的实特征值的绝对值为1.3.已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,2-，计算行列式2A A E -+.4.已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3-，计算行列式*|32|A A E ++.5.设,A B 都是n 阶方阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似．6.判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=201335212A 可否对角化，若能的话，将它化为标准形.7.设矩阵20022311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b -⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，求,a b ；并求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ.8.设20131405A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问a 为何值时，矩阵A 可对角化?9.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：（1）120222023-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；（2）400031013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭；（4）0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 10.将矩阵102012220A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用两种方法对角化：（1）求一个可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵；（2）求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.11.设3阶矩阵A 的特征值为1232,1,2λλλ=-==；对应的特征向量依次为1231101,1,1101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求矩阵A .12.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,0,1λλλ=-==；属于12,λλ的特征向量依次为12221,221ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.13.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,1λλλ=-==；属于特征值11λ=-的特征向量为1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .14.设120020211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A ，求100A . 15.在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村.假设该国总人数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把n 年后农村人口和城镇人口占总人数的比例依次记为n x 和n y (1)n n x y +=．（1）求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式：11++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n x x A y y ； （2）设目前农村人口与城镇人口相等，即001212x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，求n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭．解答习题51.（1）1212112,4;,15λλξξ⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）1231230011,2,2;(,,)210111λλλξξξ-⎛⎫ ⎪=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）1231231011,5;(,,)011111λλλξξξ⎛⎫ ⎪==-== ⎪ ⎪--⎝⎭； （4）12341234111111002,2;(,,,)10101001λλλλξξξξ-⎛⎫ ⎪⎪=-==== ⎪ ⎪⎝⎭. 3.9. 4.－25.6.A 不可对角化.7.100110,2;210,21112---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b P P AP .8.3=a .9.（1）12213332122,13335212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT ； （2）10102110,422411022-⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭T T AT ；（3）12251153511452,115351052033-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT ；（4）111112261211111122612,1211026123310212-⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT . 10.（1）11223221,02123-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭P P AP ；（2）11223333221,03333212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 11.233453442--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A .12.12213331122,03331212333-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 13.100001010⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .14.101100100100122002050(12)13⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A. 15.（1）1111++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n x x p q y y p q ；（2）2()(1)12()2()(1)⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪++---⎝⎭⎝⎭n n n n x q p q p q y p q p q p p q .习题61．证明：123000000a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与23100000a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同. 2．写出下列二次型的矩阵表示: （1）121323422f x x x x x x =-++；（2）2224424f x xy y xz z yz =+++++；（3）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-.3．设A 是一个n 阶对称矩阵.如果对任一个n 维列向量x ，都有0Tx Ax =，试证0A =. 4．用拉格朗日配方法化下列二次型为标准形. （1）123422x x x x -；（2）22121213222x x x x x x ++-.*5．用初等变换法化下列二次型为标准形.（1）12132346x x x x x x -+；（2）222123232334x x x x x +++.6．用正交变换法化下列二次型为标准形.（1）22212312132325228x x x x x x x x x +++++；（2）121314232434 222222x x x x x x x x x x x x +--++. 7．求一个正交变换把二次曲面的方程22234545101x xy y xz z yz ++-+-=化成标准方程.8．化下列二次型为规范形.（1）22212312133524x x x x x x x +++-；（2）22212312232422x x x x x x x +++-.9．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 10．判别下列二次型是否正定：（1）2221231231223(,,)2342f x x x x x x x x x x =+-++；（2）2222123412341213142434(,,,)3919242612f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--.11．t 满足什么条件时，下列二次型是正定的：（1）222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+； （2）2221231231223(,,)2322f x x x x x x tx x x x =++-+.12．试证：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零. 13．试证：如果A 是正定矩阵，那么 （1）(0)kA k >是正定矩阵； （2）1A -是正定矩阵.14．试证：如果,A B 是同阶正定矩阵，那么A B +也是正定矩阵.*15．试证：实二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的充分必要条件是12(,,,)n f x x x 的正惯性指数等于它的秩.*16．试证：实二次型12(,,,)T n f x x x x Ax = 是半正定的充分必要条件是A 的特征值全大于或等于零.解答习题62．（1）112323021(,,)201110x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)1212343411211132(,,,)23101201x x f x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．4．(1)1132133244242222222222222222x y yx y yx y yx y y⎧=+⎪⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎪⎩，22221234f y y y y=+--；(2)112322323x y y yx yx y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，222123f y y y=--．5．(1)112321233233626526x y y yx y y yx y y⎧=--⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=+⎪⎩，222123f y y y=+-；(2)1122332311221122x yx y yx y y⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，22212325f y y y=++．6．(1)11232233323x y y yx y yx y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，2221235f y y y=+-；(2)1124212431344134111222111222111222111222x y y yx y y yx y y yx y y y⎧=++⎪⎪⎪=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=+-⎪⎩，222212343f y y y y=-+++．7．4133212133221213322x u v y u v w z u v w ⎧=+⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222111u v +=．8．(1)112322323522122x y y y x y x y y ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222123f y y y =-+； (2)112322333111222222212x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩222123f y y y =++． 10．(1)负定；(2)正定． 11．(1)0.80t -<<；(2)151533t -<<．。

2014海南高考数学线性代数题及答案解析

2014海南高考数学线性代数题及答案解析

2014海南高考数学线性代数题及答案解析一、题目解析2014年海南高考数学试卷中，线性代数部分是其中的一个重要部分。

以下是针对该部分题目的解析和答案分析。

1.选择题题目一：已知方程组：\[ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y + kz = 7 \\ 3x + 4y + 5z = 15\end{cases} \]若方程组有唯一解，则实数$k$的取值范围是：解析：首先，我们需要判断方程组的解的情况。

通过计算可知，若行列式的值为零，则方程组无解；若值不为零，则方程组有唯一解。

计算行列式：\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & k \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 31k - 14 \]要使得行列式的值不为零，即解存在，使得\[ 31k - 14 \neq 0 \]所以，$k \neq \frac{14}{31}$。

因此，实数$k$的取值范围是$k \neq \frac{14}{31}$。

题目二：已知二次型\[ f(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 4yz \]则对于任意的实数$a$，当且仅当$a \geqslant \frac{5}{3}$时，二次型$f(x,y,z)$正定。

解析：对于一个二次型，判断其正定还是负定，需要计算其特征值。

特征值公式为：\[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -2 \\ 1 & -2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]计算得到特征方程：\[ (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-5) = 0 \]所以，该二次型的特征值为$1, 3, 5$。

线性代数(第一～三章)习题解答

线性代数(第一～三章)习题解答

习 题 一1．解：(1)31542的逆序数=2+0+2+1+0=5(2)264315的逆序数=1+4+2+1+0+0=8 (3)54321的逆序数=4+3+2+1=10(4))12)(32(135)2)(22(246---n n n n =1+2+3+…(2n －1)＝2)1(+n n 2．解：四阶行列式中含有31a 的项可表示为42142143121)1()1(j j j j j j a a a a τ-，其中421,,j j j 为2，3，4的全排列。

故带有负号的项有：43312412a a a a -，44312213a a a a -，42312314a a a a -3．解：xx x x x x 347165423112展开式中含有4x 的项必须每行都取含x 的项相乘，即41863x x x x x =⋅⋅⋅=，含有3x 的项为x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-2)1(763)1()1324()4231(ττ3128x -=4．证明：（反证法）假设该行列式不为零，则不为零的元素的个数≥n ，从而为零的元素的个数≤n n -2，与已知行列式中有n n -2个以上元素为零矛盾。

所以该行列式为零。

5．解：（1）2456323652-=⨯-⨯=+ （2）))(())((22222222b ab a b a b ab a b a ba b a b ab a b ab a ++--+-+=+-+++-33b a +=3332)(b b a =--（3）022=bababa （4）45500251190221242513122113-=-----r r r r （5）3711107403112311740532224332453213312213=-----↔-----r r r r r r r r（6）))((0))((0111121212222c b a a c a c c b a a b a b bca ar r r r abc c acb bbca a ++--++-------- 0)(10)(101))(()()(232=++++-----c b a c b a bca aa c ab ac r a b r 提取提取（7）43123524323556485437r r r r --23214123524031102115437r r r r r r -+--3524010002111400---24100011302410000111000524343231－按第一行展开--++-r r r r r r22411＝－按第三列展开 （8）132141873754169521321r r r r r ---1226400622069521321r r ---2312226400622043101321r r r r ----346400240043101321r r -----16400240043101321=---（9）4321c c c c xa b c a x c b b c x a c b a x +++----xa b x c b a a x c x c b a bc x x c b a cb a xc b a --++--++--++-++131214 )(r r r r r r x c b a ----++ 提取cx b a a b c a b x a c cb bc a x c b a x c b a -------------++0001)(4223c c c c ++c x b c a x ca c ab x cb c b a x b c a x ca b c a x c b a --+----+----+---+---++-++000001)( 432c c c --cx b c a x c a c a b x cx a b ca b c a x c b a --+----+---++-++-++00000001)( 按第一列展开cx b c a x ca c ab xc x a b x c b a --+-------++--++0|00)())()()(()1()321(x a c b c b a x b c a x x c b a +-++---+----++-=τ ))()()((x c b a x b a c x c a b x c b a ----------++=6．解：(1) 证明：cb a a cb c b a cba cb a ++++++222并提取公因式321c c c ++c b a a b c b a ba++++++21211c)b 2(ac b a c b a bac b a c c c c ++++++--00001)(213123)(2c b a ++=(2)bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++5行列式性质bz ay by ax az by ax bx az ay bx az bz ay ax +++++++bz ay by ax bx by ax bx az bz bxaz bz ay by ++++++ 提取公因式bz ay by ax z by ax bx az y bxaz bz ay xa +++++++bzay by ax xby ax bx az z bx az bz ay yb ++++++5行列式性质ay by ax zax bx az y az bz ay x a ++++bz by ax zby bx az ybx bz ay x a ++++bz ay ax xby ax az zbxaz ay y b ++++bz ay by x by ax bx z bxaz bz y b +++y by ax z x bx az y zbzay x a +++2+++00bz ay y xby ax x zbxaz z yb +++25行列式性质y ax z x azy z ay x a 2+y by z x bx y zbzx a 2+ayy x ax x zazz yb 2+bz y x by x zbxz y b 2yxzx z y zy x a 3+++00zy x y xzx z yb 3 1223,c c c c ↔↔第二个行列式y xzx z y z y xb a )(33+ (3)用数学归纳法①当1=n 时，1)11(22x x x D n +===，命题成立；②设k n ≤时命题成立，即k k x k D )1(+=，则1+=k n 时，)1()1(22222100020000002100002100002+⨯+=k k n x x x x x x x x x D=kk x x x x x x x x x x⨯210002000000210000210000222222kk x x x x x x x ⨯-210020000020000122221212)1(22--⋅-+⋅=-=k k k k kx x x k x D x xD 11)2()22(+++=-+k k x k x k k n x n )1(+=综合①、②可得对一切自然数n ，都有n n x n D )1(+=. 7．解：(1)1444414444144441 =n D),,3,2(1n i r r i =+14444144441434343434 ----n n n n)34()34(--n n 提取1444414444141111 )34(,3,2 4 1-=-n ni r r i 300030000301111---)34()3(1--=-n n（2）121212555333321321321321---=n n n n n n n n Dni i c i ,3,2=提取2222224442223213213211111!---n n n n n n n∏≤<≤-nj i j i n 122)(! 式行列利用范德蒙(3)递推法nn n n a a a a a a a a D -------=-+11000010000001100001100001132211112r r +nn n a a a a a a a ------11000100000011000010000113221D n展开按第一列nn n a a a a a a a ------11001000000110000100001143321a -11-a 1Dnn 2=(4)nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=行取第一行和第拉普拉斯定理n 2nn nnd c b a ．11111111----n n n n d c d c b a b a22)( --n n n n n D c b d a 421111))((-------n n n n n n n n n D c b d a c b d a 可得类似111133331111)())((d c b a c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n -------∏=-ni i i i i c b d a 1)((5)na xxxx a x xx x a x x x x a3211,2,1 1-=-+n i c c i inn n a a x x x a x x a a x x x a a x x x a -------- 000000 00 00 001332212,1, 1 -=--n n i r r i ixa a a x x a x a a a x x a a a x xx a n n n n -------------1132321212 000 000002000 020 00∏∏=-+=---+-ni i i n n i i a a x x x a n 2111)2()1()( 展开列按第 ∏∏=-=-++-ni i i ni i x a a x x a 211)2()(8．解：(1)计算系数行列式232142234321212r r r r D --=51050321430-=----5321032143031-+--r r 210321200=－101312173237323211r r r r D --=01240310211=----2321242274331212r r r r D --=311050331450r r -----31105033160r r ---－302321342734321112r r r r D --==----5503215303131103215305r r +---101103212005=-- 所以方程组有唯一解011==D D x ， 322==D Dx ， 133-==DD x (2)计算系数行列式4352323211431121----=D 101110740064112132141312------++r r r r r r 10111010402021104424123------++-r r r r r r6114022111=---展开按c 43513232114711231----=D 24232143r r r r r r +-+01212901919114700610--- 324241212919190610)1(r r c +----+展开按60121290121006101413122224312322211731131r r r r r r D --+----=1421505440001041131c c -------11501440001040131-----390144000104013134---+r r 3900104131)1(434---+展开按c3131r r +303900104001)1(43-=--+41523232174313213--=D 141312223r r r r r r ---2510541042201321-------2423225105410211013212)2(r r r r r -+-------－提取06003300211013212----- 0603302112C 1－－－－展开按36＝－ 13522232714331214--=D 141312223r r r r r r ---5110441024203121----－－－2423251104410121031212)2(r r r r r -+-------－提取61003200121031212----- 613201212C 1---－展开按18= 所以方程组有唯一解1011==D D x ， 522-==D D x ， 633-==D D x ， 344==DDx (3)计算系数行列式5733856155334231=D 343214131222716043307160423133r r r r r r r r r r ++--------17004330150042312004330150001013124---r r r r 64310)1(20204331502331=-⨯+展开按展开按r C3412125738856855364233r r r r D --=24232123230856831304233r r r r r r -++----0100270831301303--13123442320833013)1(r r r r r -+---+展开按600203913-=--57838581556342312=D 022435713022043507130423131131224---------展开按c r r r r r r11420720253232313---+r r r r r 提取12-58338861563343313=D 020453736020045307360433131131224---------展开按c r r r r r r 6=87338561653332314=D 220533316220053303160323131131224---------展开按c r r r r r r122275)1(3220533750212121=-⨯++展开按c r r所以方程组有唯一解111-==D D x ， 222-==D D x ， 133==D D x ， 244==DDx9．解：（1）λλλλ--=3111211D 1232rr c c --λλλλλ----3321022132122332021---+---λλλλλλλ展开按r )2)(2()22)(2()3)(2(2---=--+--=λλλλλλλλ)1()2(2+--=λλ当0=D 时，即时＝－或12λλ=，齐次方程组有非零解. （2）324124122-+--=λλλD 32423601221212---+-----λλλλλr r c cλλλλλλλ--+--+-----2460)1(3223621展开按r [])6)(4)(1()23)(2()6(32-+---++--=λλλλλλ)4)(2)(3(241423-++-=+-=λλλλλλ＋－当0=D 时，即时＝或－或423λλλ=-=，齐次方程组有非零解.习 题 二1． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+776491056532B AB （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-4332412332E AB T2．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000046696432 （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛834231413121342（3）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-339226113113321 （4）()2321113-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--（5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------777468505642531432321234643755467 （6）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=321333223113332222112331221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a)()()(233332233113233222222112133112212111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++=3．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210143321TA ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=234112T B(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112143213142210143321B A T（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=124113213142031234112A B T(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1165511210143321234112)(TT T A B AB4．解：从321321,,,,x x x y y y 到的线性变换可表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y A x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=352143231A ；从321321,,,,y y y z z z 到的线性变换可表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321z z z B y y y ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231341652B ，所以从321321,,,,x x x z z z 到的线性变换可表示为：=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321z z z AB x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---352143231⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231341652=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--312823111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321z z z 所以，从321321,,,,x x x z z z 到的线性变换为： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=+-=32823 321332123211z z z x z z z x z z z x5．解：（1）E A A A f 43)(2+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2321－3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2321E 4+＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛8008 (2) 2201310111)(2--=--=x x x x x x f=--=E A A A f 22)(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02112E 2-⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=01216．（1）∵222))(()(B BA AB A B A B A B A +++=++=+ ∴要使2222)(B AB A B A ++=+，则必须AB BA = (2) ∵22))((B BA AB A B A B A -+-=-+∴要使22))((B A B A B A -=-+，则必须0=+-BA AB ，即AB BA = (3) 当AB BA =时，用数学归纳法证明kk k B A AB =)(①1=k 时，显然kk k B A AB =)(2=k 时，222)()()()(B A B AB A B AB A ABAB AB AB k =====，所以kk k B A AB =)(②设n k =时，有kk k B A AB =)(，则1+=n k 时B BA B A B A B A AB B A AB AB AB AB n n n n n n n n K)()()()()()(1!-+=====B AB B A n n )(1-=21)(B A B A n n -=11)(++===n n n n B A B AB A可见，1+=n k 时，也有k k k B A AB =)(所以，当AB BA =时，对一切正整数k 都有 k k k B A AB =)(7．解：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛----111122221111n n n n n(2) ∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100123122∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--为奇数为偶数n n n 2312 10012312 (3) ∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002101211001100112，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002101211001100113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100110011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310331 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41001100113100110011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310331⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100110011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100410641 ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100102)1(1100110011n n n n n8．证明：∵A 、B 为对称矩阵，∴=T A A ，=TB B(1) ∵ AC C C A C AC C T T T T T T T ==)()(∴ AC C T是对称矩阵(2) ∵ ABABA A B A B A ABABA TT T T T T ==)(∴ ABABA 是对称矩阵(3) ∵E E AA TT ==-)(1，=T A A∴==--T T T A A AA )()(11A A E A A T 11)(--== ∴ 11)(--=A A T ∴ 1-A 是对称矩阵9．解：(1) ∵027342≠=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23477342173421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23472173421(2) ∵01cos sin sin cos cos sin 22≠=+=-θθθθθθ∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθθθθθsin cos cos sin 11sin cos cos sin 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθsin cos cos sin (3) ∵232132643321532r r r r --01320321110≠-=---- ∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛643321532可逆 又∵0643211==A ， 3633112=-=A ， 2432113-==A 2645321=-=A ， 3635222-==A ， 1433223=-=A 1325331-==A ， 1315232-=-=A ， 1213233==A ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121331206433215323323133222123121111A A A A A A A A A(4) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11133131121212113123233323133222123121111A A A A A A A A A(5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1212335123240634332311(6) 把⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000210032104321D 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3243C ， 则01≠==B A D ，∴矩阵D 可逆。

一道线性代数证明题

一道线性代数证明题

一道线性代数证明题
高校学院上的线性代数收获颇丰，本文将探讨一道线性代数中的证明题。

题目：设A、B是实矩阵，证明A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵。

一般来说，解决定系统的逆矩阵问题，可以考虑利用矩阵的乘法原理来求解。

由矩阵的乘法原理可知，A乘以B等于B乘以A，即(AB)=(BA)。

将B的逆矩阵（B^-1）两边同乘以A的逆矩阵（A^-1），可得：A^-1B^-
1=(B^-1A^-1)。

上式左右两边同乘以A，可得：A（A^-1B^-1）=A（B^-1A^-1）；利用单位矩阵AA^-1=A^-1A=E可以把等号左边化简：（EA）B^-1=A（B^-1A^-1）；
由此得出：AB^-1=B^-1A^-1，所以可以得到结论：A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵。

经过数学分析，上述证明的结论是正确的，也就是说，A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵，这在线性代数中得到了证明。

高校的研究生所学的线性代数，不仅涉及实列表数、矩阵和向量，而且还有更复杂的概念，如证明题中提及的A、B。

从表面上来看，证明一道线性代数题并不容易，然而在详细地分析、推算、证明的过程中，可以发现它们拥有相当复杂的内涵，从而更加深入地理解线性代数的教学理论和知识结构，从而为高校学子提供有助于理解、思考和加深知识的有益提示。

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1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容：()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭T T 12TT 12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：证明：,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：若向量β可由向量组12,,,r ααα线性表示，但β不能由121,,,r ααα-线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ-线性表示.9、答案内容： 证明：2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴１２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r rr r１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=(2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 如果向量组12,,,s ααα线性无关，试证：向量组11212,,,s αααααα++++线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()(),..111011.01111011.001B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关，令C=则有B=AC ，显然C 可逆.10、评分细则：令()12s A ααα=,()11212s B αααααα=+++(1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±=(1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设n 维基本单位向量组12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表示，证明：12,,,n ααα线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则：令()()1212,n n A E αααεεε==(2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设12,,,m ααα线性无关，1β可由12,,,m ααα线性表示，2β不可由12,,,m ααα线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+线性无关（其中λ为常数）.9、答案内容： 证明:11122m m k k k βααα=++，()()1212122m m αααλββαααβ∴+.假设()122MR m αααβ≤,则有122,,,,m αααβ线性相关,因而与2β不能由12,,,m ααα线性表示矛盾.()122m R m αααβ∴>,()12121m R m αααλββ∴+=+1212,,,,m αααλββ∴+线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+(2分);假设()122m R m αααβ≤由题设推出2β能由12,,m ααα线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>推出()12121m R m αααλββ+=+(3分);推出1212,,,m αααλββ+线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：330 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩 8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα-均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη分别与121,,,n ααα-均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-=,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则：令()()12112,Tn A B αααηη-==(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交向量组8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A ααα是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容： 设12,,,s ααα是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++线性无关.9、答案内容： 证明:假设()121s R s βααα<+.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+ ()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++线性无关.10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=(2分);假设()11s R s βαα<+,由题设中条件推出β可以由12,,,s ααα线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+(2分);1,,,s ββαβα∴++线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设A 为n 阶矩阵，若0Ax =只有零解，证明：方程组0kA x =也只有零解，其中k 为正整数.9、答案内容： 证明:0Ax =只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则：由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα（I ） 设B 的行向量组为12,,,m βββ（II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解 ∴向量组（I ）也是0Dx =的解 10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m ααα(I),C 的行向量组为12,,,m βββ(II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη-线性无关.9、答案内容： 证明：假设12,,,,n r ηηηη-线性相关，12,,,n r ηηη-是0Ax =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη-线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容： 证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。

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