离散数学章节练习4
2021年国家开放大学《离散数学(本)》形考任务(1-4)试题及答案解析
2021年国家开放大学《离散数学（本）》形考任务（1-4）试题及答案解析形考任务1（正确答案解析附题目之后）单项选择题题目1正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．选择一项：A. 无、2、无、2B. 8、2、8、2C. 8、1、6、1D. 6、2、6、2反馈你的回答正确正确答案是：无、2、无、2题目2正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．选择一项：A. 自反和传递B. 传递C. 自反D. 对称反馈你的回答正确正确答案是：对称题目3正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．选择一项：A. 1024B. 1C. 100D. 10反馈你的回答正确正确答案是：1024题目4正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．选择一项：A. 最大下界B. 下界C. 最小元D. 最小上界反馈你的回答正确正确答案是：最小上界题目5正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C =( )．选择一项：A. {4, 5, 6, 7}B. {1, 2, 3, 5}C. {2, 3, 4, 5}D. {1, 2, 3, 4}反馈你的回答正确正确答案是：{1, 2, 3, 4}题目6正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．选择一项：A. 极大元B. 最大元C. 最小元D. 极小元反馈你的回答正确正确答案是：极大元题目7正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}，则h =（）．选择一项：A. g◦gB. g◦fC. f◦fD. f◦g反馈你的回答正确正确答案是：f◦g题目8正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干设集合A={2, 4, 6, 8}，B={1, 3, 5, 7｝，A到B的关系R={<x, y>| y = x +1｝，则R= ( )．选择一项：A. {<2, 2>, <3, 3>, <4, 6>}B. {<2, 1>, <4, 3>, <6, 5>}C. {<2, 3>, <4, 5>, <6, 7>}D. {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}反馈你的回答正确正确答案是：{<2, 3>, <4, 5>, <6, 7>}题目9正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, yA}，则R的性质为（）．选择一项：A. 反自反B. 不是对称的C. 传递的D. 不是自反的反馈你的回答正确正确答案是：传递的题目10正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（）．选择一项：A. 传递且对称的B. 反自反且传递的C. 自反的D. 对称的反馈你的回答正确正确答案是：对称的未标记标记题目信息文本判断题题目11正确获得5.00分中的5.00分未标记标记题目题干空集的幂集是空集．（）选择一项：对错反馈正确的答案是“错”。
离散数学课后习题答案第四章
离散数学课后习题答案第四章离散数学课后习题答案第四章第⼗章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的⼆元运算是否封闭：（1）整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满⾜交换律和结合律，⽆零元和单位元（2）⾮零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体n n ?实矩阵集合（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律；加法单位元是零矩阵，⽆零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为 +?-=--?=R 1111111ο（6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律加法单位元是0，⽆零元；乘法⽆单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n运算定义如下：封闭不满⾜交换律，满⾜结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满⾜交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满⾜交换律，结合律10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满⾜交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满⾜，零元为a,没有单位元； (b)满⾜交换律和结合律，不满⾜幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(c)满⾜交换律,不满⾜幂等律,不满⾜结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)(b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元(d) 不满⾜交换律，满⾜结合律和幂等律没有单位元, 没有零元 (1) 求每个运算的单位元，零元以及每⼀个可逆元素的逆元。
离散数学(第五版)清华大学出版社第4章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第4章习题解答4．1 A：⑤；B：③；C：①；D：⑧；E：⑩4．2 A：②；B：③；C：⑤；D：⑩；E：⑦4．3 A：②；B：⑦；C：⑤；D：⑧；E：④分析题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的Is ={<1,1>,<2,2>}, Es ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}Is ={<1,1>,<1,2>,<2,2>};而题4.2中的R={<1,1>,<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}.为得到题4.3中的R须求解方程x+3y=12，最终得到R={<3,3>,<6,2>,<9,1>}.求RoR有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将domR,domRUran,ranR的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R的每个有序对，若<x,y>∈R，则从domR中的x到ranR中的y画一个箭头。
若danR中的x 经过2步有向路径到达ranR中的y，则<x,y>∈RoR。
由图4.3可知RoR={<1,1>,<1,4><4,1>,<4,4>,<2,1>,<2,4>,<3,1>}.如果求FoG，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为domG,ranUdomF,ranF，然后，同样地寻找domG到ranF的2步长的有向路径即可。
2° 矩阵方法若M是R的关系矩阵，则RoR的关系矩阵就是M·M，也可记作M，在计算2 48乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 1⎥2 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥M =⎢⎥⋅⎢⎥=⎢⎥⎢0 0 0 1⎥⎢0 0 0 1⎥⎢1 0 0 0⎥⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 1⎦M2中含有7个1，说明RoR中含有7个有序对。
离散数学形考任务4各章综合练习答案
离散数学形成性考核作业4离散数学综合练习书面作业要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档．3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、公式翻译题1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．答：设P :小王去上课。
Q :小李去上课。
则命题公式P ∧Q2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．答：设P:他去旅游。
Q:他有时间。
则命题公式P→Q3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．答：设A(x):x是人B(x):去工作则谓词公式∃x(A(x) ∧ B(x))4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．ο οο ο a b c d ο ο ο g e f h ο 答：设A(x):x 是人B(x):努力学习则谓词公式∀x(A(x) ∧B(x))二、计算题1．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）(A -B )； （2）(A ∩B )； （3）A ×B ．解:(1)A -B ={{1},{2}}(2)A ∩B ={1,2}(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R •S ，S •R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．解:R ={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}S =空集R •S =空集S •R =空集R -1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}S -1=空集r (S )={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}s (R )={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2) 画出关系R 的哈斯图；答： (1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}(2)R 的哈斯图为(3)集合B 没有最大元,最小元是24．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．解：(1)(2) 邻接矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110010110110110110000100 (3) v 1结点度数为1，v 2结点度数为2，v 3结点度数为3，v 4结点度数为2，v 5结点度数为2(4) 补图图形为ο ο ο ο v 1 ο v 5v 2 v 3 v 4 ο ο ο ο v 1 οv 5 v 2 v 3 v 45．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：（1）G的图形如下：（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值6．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=1317． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 答：P →Q ∨R ⌝ P ∨Q ∨R析取范式、合取范式、主合取范式都为⌝ P ∨Q ∨R主析取范式为（⌝ P ∧⌝ Q ∧⌝ R ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ∧ R ）∨（⌝ P ∧Q ∧⌝ R ）∨ （⌝ P ∧ Q ∧ R ）∨（P ∧⌝ Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝ R ）∨（ P ∧Q ∧ R ）8．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 答： （1） 量词 x 的辖域为量词 z 的辖域为Q(y,x,z) 3 5 2 5171731136量词 y 的辖域为R(y,z)（2）P(x,y)中的x 是约束变元，y 是自由变元Q(y,x,z)中的x 和z 是约束变元，y 是自由变元 R(y,z)中的z 是自由变元，y 是约束变元9．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式(∀y )(∃x )P (x ,y )消去量词后的等值式； 答：(∀y )(∃x )P (x ,y ) = ∃xP(x, a1) ∧∃ xP(x, a2)=( P(a1, a1) ∨P(a2, a1)) ∧( P(a1, a2) ∨ P(a1, a2))三、证明题1．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ．答：(1)对于任意<a,b>∈A×B,其中a ∈A,b ∈B,因为A×B= A×C,必有<a,b>∈A×C,其中b ∈C 因此B ⊆C(2)同理,对于任意<a,c>∈A×C,其中,a ∈A,c ∈C,因为A×B= A×C必有<a,c>∈A×B,其中c ∈B,因此C ⊆B有(1)(2)得B=C2．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．答：若R 与S 是集合A 上的自反关系,则任意x ∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S, 从而<x,x>∈R∩S,注意x 是A 的任意元素,所以R∩S 也是集合A 上的自反关系.3．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．4．试证明 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝ (P ∨⌝Q )等价．证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ (Q ∨⌝R )) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ Q ∨⌝R ) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∧⌝P ∧ Q) ∨( Q ∧⌝P ∧Q) ∨(⌝R ∧⌝P ∧Q)(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )⌝P ∧Q (吸收律) ⌝ (P ∨⌝Q ) （摩根律）5．试证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A ．证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A(⌝A ∨B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨（C ∧⌝C )）(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨0）(⌝A ∨B )∧(⌝B ∧⌝C)（⌝A ∧（⌝B ∧⌝C) ）∨（B ∧（⌝B ∧⌝C ））(⌝A ∧⌝B ∧⌝C) ∨0⌝A ∧⌝B ∧⌝C ⌝ （A ∨B ∨C ）故由左边不可推出右边 ┐A。
离散数学第四章部分答案
（1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。
如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。
（2）设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E). 供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。
答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。
（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R R 中有（D ）个有序对。
（4）R ˉ1的关系图中有（E ）个环。
供选择的答案A :①<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>； ②<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>；B 、C ：③1，2，3，4；④1，2，4；⑤1，4⑥1，3，4。
D 、E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦设R 是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即 {＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12}, 则 （1）R 中有A 个有序对。
（2）dom=B 。
(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。
(4){3}在R 下的像是D 。
（5）R 。
R 的集合表达式是E 。
供选择的答案 A:①2;②3;③4.B 、C 、D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
离散数学第1-4章习题答案new
离散数学习题解答第一章命题逻辑习题1.1（P2）1 、a. 是命题b. 是命题c.是命题d .是命题e .是命题f .不是命题疑问句2 、a. A: 我是大学生。
b. B: 你是我的玫瑰花。
c. P: 明天是个艳阳天。
d. Q: 3+2>8。
e.R: 我喜欢离散数学这门课。
f.不是命题。
3、解：三个真命题如：8是偶数;2+8>5；太阳从东边升起；三个假命题如：3+2>8；雪是黑色的；太阳从西边升起；三个非命题如：请勿抽烟！; 春天多美好; 我正在说慌；习题 1.2（P5）1、 a. 复合命题设P :李子是酸的。
Q:李子是甜的。
则命题可表示为P∧Q。
b 简单命题设P: 张一和陈一是好朋友。
2、设P: 天下雨。
Q: 我不去游泳。
R: 我有时间。
a. P→Q。
b. P∧⌝R。
c.⌝Q↔R。
3、 a. 设P: 6是偶数。
Q: 8是奇数。
否定命题表示为:⌝P∨⌝Q。
b. 设P:北京的春天会刮沙尘暴。
否定命题表示为:⌝P 。
4、 a. 设P:王燕学过英语。
Q:王燕学过法语。
命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q） QP⊕。
b. 设P:王成在教室看书。
Q:王成在图书馆看书。
命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。
5、（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。
习题 1.3（P9）1、 a. 不是命题公式。
b．是命题公式。
c. 不是命题公式。
d. 是命题公式。
2、 a.b.c.3、 a.由表可知命题公式P∨P的真值均为真，所以此公式为重言式。
b.由表可知命题公式P∧c.由表可知命题公式P→（P∨Q）的真值均为真，所以此公式为重言式。
d.由表可知命题公式P→P）的真值均为真，所以此公式为重言式。
e.4 、5、从上述真值表可看出合取和析取是可结合的，条件和双条件不是可结合的。
习题1.4 （P13）⌝(⌝P）⇔P→P1、 a. P→⇔⌝P∨P⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。
b.⌝（P∧Q）↔（⌝P∨⌝Q）⇔（⌝（P∧Q）→（⌝P∨⌝Q））∧（（⌝P∨⌝Q）→⌝（P∧Q））⇔（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））∧（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））⇔1∧1⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。
离散数学课后练习4
第四章习题1．对于下列各种情况求从X 到Y 的关系S 的各元素。
（1）X={0.1.2}. Y={0.2.4}. }.|.{Y X y x y x S ∈><= (2) X={1.2.3.4} Y={1.2.3} }|.{2y x y x S =><= 解：（1） }.|,{Y X y x y x S ∈><= ={<0.0>,<0.2>,<2.0>,<2.2>}(2) }2.4,1.1{}|.{2><><==><=y x y x S2.设集合S 及其关系R 如下给定，试问关系R 具有哪些性质？ （1）S 为正整数集，R={><y x .|y x +为偶数} （2）S 为整数集，R={<y x .>|x-y 被7整除}（3）S 为四维实欧式空间>><><<>><><<44332211,,,,,,y x y x R y x y x 当且仅当))(())((12343412x x y y x x y y --=--解：（1）1°自反性；S x ∈∀均为x x +为偶数，即R x x >∈<.。
2°对称性；若R y x >∈<.，则y x +为偶数，所以x y +也是偶数，那R x y >∈<,。
3°传递性；若R y x >∈<.且R z y >∈<,则y x +及z y +均为偶数，从而y z x z y y x 2)()(++=+++为偶数，因此 y x +必为偶数，即R z x ∈,。
⑵ 1°自反性：S x ∈∀，有0=-x x 能被7整除，即R x x ∈,。
2°对称性：若R y x ∈,，则y x -被7整除，从而x y -也能被7整除，即R x y ∈, 3°传递性：若R y x ∈,且R z y ∈,，则y x -及z y -被7整除，从而()()z y y x z x -+-=-也能被7整除，即R z x ∈,。
自考_离散数学教材课后题第四章
4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的 ( )。
a)、 a*b=a-b b) a*b=max(a,b)c)、 a*b=a+2b d) a*b=|a-b|根据结合律的定义在自然数集N中任取 a,b,c 三数，察看 (a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a) 若有a,b,c∈N，则(a*b)*c =(a-b)-ca*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c 中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
--------------------------------------------------------------------------------2、设集合 A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的?a) x*y=max(x,y)b) x*y=min(x,y);c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数；d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数；d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------3、设S是非空有限集，代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。
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离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
( ) 2、代数系统<Z ，×>的零元是0 ( ) 3、<{e},*>是<G,*>的子群。
( ) 4、小于6阶群都是可交换群。
( ) 5、设*是S 上的二元运算，若存在零元和单位元e ，则|S| >1 ( )6、代数系统<Z, ×>的单位元是1。
( ) 7．若群<G,*>中的运算可交换，则称为交换群。
( )8、在代数系统<A,*>中如果元素A a ∈的左逆元1-e a 存在，则它一定唯一且11--=e a a 。
( ) 9、设<S,*>是群<G,*>的子群，则<G,*>中幺元e 是<S,*>中幺元。
( ) 10、设},,3|{均为有理数b a b a x x A +==， +,·为普通加法和乘法，则代数系统<A ，+，·>是域。
( )11、设*是S 上的二元运算，若存在零元和单位元e ，则|S| >1 ( ) 12、设<A,≼>为偏序集, B ⊆A, y ∈B ，若∀x(x ∈B→y ≼x)成立, 则称 y 为A 的最小元 ( )13、若V=<S,︒ >是封闭、可结合,则称V 为半群。
( ) 14、<Z,+> 整数集上的加法独异点 ( ) 15、设G 为群<G, ︒>且|G|>1，则G 中没有零元。
( ) 16、设为群<G, * >，对于a, b ∈G ， 必存在唯一的 x ∈G ，使得a *x=b 。
( )17、设<G, *>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由a 的幂组成，则称该群为循环群。
( ) 18、设︒与*是集合S 上的二种可交换的二元运算，若∀x,y ∈S 都有 x*(x ︒y)=x , x ︒(x*y)=x 则称*与︒是满足吸收律 ( ) 19、设︒是集合S 上的二元运算，若∀x ∈S 都有x ︒x=x,则称︒在S 上是幂等的,或者说运算︒ 在S 上满足幂等律。
( )20、设︒是集合S 上的二元运算，若∀x,y ∈S 都有x ︒y=y ︒x,则称︒在S 上是可交换的,或者说运算︒ 在S 上满足交换律。
( )21、设<G,*>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由a 的幂组成，则称该群为交换群。
( ) 22、设<S, ♥>是半群,集合B ⊆S,且运算♥在B 上封闭,则<B, ♥>是半群。
( )23、设G 为群<G, ︒>且|G|>1，则G 中没有单位零元 ( ) 【参考答案】1-10 ×√√√× √√×√√ 11-20 ××√√√ √√√√√ 21-23 ×√×三、填空题 1．代数系统<N ，+>的单位元是 0 。
2．代数系统<G ，*>的单位元e 的逆元是 e 。
3．对代数系统<S ，*>，其中*是S 上的二元运算，若存在a ∈S ，且对任意的x ∈S ，都有a*x=x*a=x ，则称a 为运算“*”的 单位 元。
4．自然数乘法代数系统<N ，X>的单位元是 1 。
5．集合A 和A 上的偏序关系≼一起叫做 偏序集 。
6．设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL 对∀x ∈S 都有e L ︒x=x ,则称e L 为 左单位元 。
7．某x ∈S 若有yL ∈S,使得 y L ︒x=e ，则称y L 为 左逆元 。
8．H 是G 的子群，a ∈G,H 的右陪集Ha = {x | x=h ︒a, h ∈H}，其中a 称为Ha 的 代表元或特征元 。
9．设︒是S 上的二元运算,若存在零元θ与单位元e,且集合S 中至少有2个元素，则θ与e 的关系为 θ≠ e 。
10．设<A,R>是偏序集,B ⊆A, y0∈B, 若∀x ∈B,均有<x,y 0> ∈R ，则y 0是B 的 最大元 。
11．设有代数系统<A,♥>,在A 上定义了等价关系R ⊆A ⨯A 。
如果<a1,a2>，<b1,b2>∈R 时均有<a1♥b1, a2♥b2>∈R,称R 为A 上关于♥的 同余关系 。
12．设<G, *>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由 a 的幂 组成，则称该群为循环群。
记成G=<a>，a 称为该群的生成元。
13．设︒与*是集合S 上的二种可交换的二元运算，若∀x,y ∈S 都有 x*(x ︒y)=x , x ︒(x*y)=x, 则称*与︒是满足 吸收律 。
四、计算题1 .判断自然数中的加法<N,+>是否是半群。
【参考答案】2．判断整数中的加法<Z,+>是否是群，并证明。
【参考答案】3. 判断自然数中的乘法<N,x>是否是半群。
【参考答案】4. 证明：设<S, ♥>是半群，集合B ⊆S ，且运算♥在B 上封闭，则<B, ♥>是半群。
【参考答案】5. 设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,，X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数.求4 * 6，7 * 3，9 * 1，15 * 2的结果。
【参考答案】 4 3 1 26. 设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,，X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数，求*运算的单位元，零元及+Z 中所有可逆元素的逆元。
【参考答案】单位元 无，零元 1, 所有元素无逆元7. 设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即 "∀x,y ∈S, x y=(xy)mod 4 。
问〈S ，〉是否构成群为什么 【参考答案】 解：(1) ∀x,y ∈S, x y=(xy)mod 4S ∈,是S 上的代数运算。
(2) ∀x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤r(x y)z =((xy)mod 4)z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x (y z) =(xyz)mod 4 所以，(xy)z = x (yz)，结合律成立。
(3) ∀x ∈S, (x 1)=(1x)=x,，所以1是单位元。
(4),33,1111==-- 0和2没有逆元所以，〈S ，〉不构成群8. 设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算为∀x,y ∈Z,xoy= x+y-2，问Z 关于o 运算能否构成群为什么 【参考答案】解：(1) ∀x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算。
(2) ∀x,y,z ∈Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设e 是单位元，∀x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=2(4) ∀x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2,所以，x y x -==-41所以〈Z ，o 〉构成群9. 令S={a ，b}，S 上有三个运算分别如下表确定。
(a) (b) (c)这三个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ 【参考答案】(a)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(b)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a b a b b a b a a b b a ==== )(,)(b b a b b a )()(≠没有单位元, 没有零元(c) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元10 .设集合A = {1 , 2 , 3 , 4} , * 是A 上的二元运算, 其定义为: a * b = a+ ab , 请写出*的运算表。