离散数学 代数系统

第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。

( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。

( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。

( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。

( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。

( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。

( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。

( )8.循环群一定是阿贝尔群。

( )9.每一个链都是分配格。

( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod 3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a ,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21C. n m n m 2+=D. 22n m n m += 14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+， 分别是普通加法和乘法，则,,I + 是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *= ，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod 3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。

(B) 非负整数集N ，关于数的加法。

(C) 整数集Z ，关于数的减法。

(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。

1. 在环中进行计算，则（a+b ）（a-b ）＝2. S 是一非空集合, P(S)是S 的幂集, 代数系统(),P S 中的幺元为3. 设群G ＝a 〈〉是15阶循环群，则子群H ＝3a 〈〉的元素是4. 在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是5. 在代数系统,N +中， (其中N 为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元．6. 给定环{}5|,,x x I ∈+ ，其中I 是整数集，+和 是普通的加法和乘法，它 整环．因为 ．7. 设代数系统6,V Z =〈⊗〉，其中⊗为模6乘法，那么V 中的幂等元是 8. ,S *是独异点．对,a b S ∈，且,a b 均有逆元，则11()a --= ，9. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉 中，()P S 对 的么元为 ，零元为 ．10. ,G *是群，B G ⊆且B 是有限集，,B *是,G *的子群当且仅当 ·11. 设S 为非空有限集，代数系统2,SU 〈〉中么元为 ，零元为12.在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是13. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉 中， ()P S 对 的么元为 ，零元为 ．14. 三阶群有 个(不同构)，其运算表为15.半群(),A ρ 是独异点，因为有幺元A1. 设 ||2G >，且a G ∀∈，2a =e ，证明G 必含4阶子群．2. 己知G ＝｛1,2,3,4,5,6｝，7⨯为模7乘法．试说明7,G 〈⨯〉是否构成群?是否为循环群？若是，生成元是什么？3. 在乘法模7运算7*下，考虑群7,*G ，其中{}6,5,4,3,2,1=G ,（1）求出7*的乘法表， （2）求1116,3,2---， （3）7,*G 是循环群吗？4. 试证明若,G 〈*〉是群，H G ⊆，且任意的a H ∈，对每一个x G ∈，有a x x a *=*，则,H 〈*〉是,G 〈*〉的子群．5. 设S=R-{-1} (R 为实数集)，a b a b ab *=++．(1)说明,S 〈*〉是否构成群； (2)在S 中解方程237x **=．6. 若G 中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G 中所有元素可交换．7. 设代数系统V=A, 的运算表如表所列，表a b c d aa b c d bb c b d cc a b cd d a c c(1) 说明 运算是否满足交换律、结合律、幂等律;(2) 求出 运算的单位元和零元(如果存在)；(3) 求出所有可逆元素的逆元．8．设G={Q x x ∈且}1≠x ，定义xy y x y x -+= ，G y x ∈∀, 证明： ,G 是一个群。

9. 设,H 〈〉 和,K 〈〉 都是群,G 〈〉 子群，问,H K 〈⋂〉 和,H K 〈⋃〉 是否是,G 〈〉 的子群，并说明理由．10. 设2,G Z =〈⊕〉是模2加群(1) 给出直积G G ⨯运算表；(2) 说明G G ⨯与哪个4阶群同构．11. 试画出集合A ＝{1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出：(1)集合A 的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B ＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．。