第6章集合代数离散数学
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离散数学 集合
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离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
离散数学结构第6章集合代数
离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。
例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。
谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。
许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。
但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。
集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。
离散数学 第六章 集合代数
3、相对补集 1）定义3 设A和B是任何两个集合，B 对A的相对补集 A－B， 是由属于集合A的但不属于集合B的所有元素构成的集合 A － B = { x |（x∈A）∧（x ∉ B）} = { x |（x∈A）∧ ┐（x∈B）} 2）相对补集的文氏图表示 3）性质 （ a） A － ø = A （b）A ∩（B-A）= ø （c）A∪（B－A）= A∪B （d）A－（B∪C）=（A－B）∩（A－ C） （e）A－（B∩C）=（A－B）∪（A－C） （f）A － （A∩B）= A － B (g) A ⊆ B的等价形式： ⇔ A ∩B＝A ⇔ A－B ＝Ø ⇔ A∪B ＝B
证明:A－B ＝A 的充要条件是 A∩B ＝ Ø 充分性： 必要性：
证明 A⊆B任取 x ∈ A 利用所给的性质 ⇒ x∈B 或采用谓词演算方法 ∀x(x∈A→x∈B )成立 例：已知 A⊆B ，证明 ~B ⊆ ~A 证：∀x x∈~B ⇔ ┐x∈B 因为∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) ┐x∈B → ┐x∈A ⇔ x∈ ~B → x∈~ A
§6.3
集合恒等式
Байду номын сангаас
集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方 即将： ∩看成 ∧ 、∪看成 ∨ 、 ∼ 看成 ┓ 空集Ø 看成 F 、全集E看成 T 那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式
一、下面给出对照的公式： 1）等幂律 A∪A= A [P∨P ⇔ P] A∩A= A [P∧P ⇔ P] 2）结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） [（P∨Q）∨R ⇔ P∨（Q∨R）] （A∩ B）∩C=A∩（B∩C） [（P∧Q）∧R ⇔ P∧（Q∧R）] 3）交换律 A∪B=B∪A [P∨Q ⇔ Q∨P] A∩B=B∩A [P∧Q ⇔ Q∧P] 4）分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） [P∨（Q∧R） ⇔ （P∨Q）∧（P∧R）] [P∧（Q∨R） ⇔ （P∧Q）∨（P∨R）]
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
《离散数学》偏序关集与格
17
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
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偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
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积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
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极大元与极小元
h
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g
d
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极大元与极小元
h
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最大元与最小元
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极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
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{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
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偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
离散数学第六章集合代数
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集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
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2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
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3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
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4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
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(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
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例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
离散数学讲义(第6章)
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6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
26
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A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A， a {b,c} d
bA，{d}A。
b和{d}是A的元素的元素。
bc
可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关 系。
{{d}} {d} d
隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。
说明
规定：对任何集合A都有AA。
一般掌握
了解
2
1 集合的归纳 法表示 2 集合的对称 差运算
3
1 集合的递归 指定法表示 2 了解无限集 的基本概念
集合(Set)是不能精确定义的基本概念。
–所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼
此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体
叫指做定该集合的元素。(康托) –合直范，观围而地这说些，事把物一就些是事这物个汇集集合到的一元起素组或成成一员个。整体就叫集
集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微 积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研 究。1976～1983年，康托尔(Georg Cantor)发表了一系 列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础， 以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合 论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。
离散数学
本章的主要内容
–集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、 全集、幂集
–集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、 广义并
–文氏图—有穷集计数问题 –集合恒等式
本章与后续各章的关系
– 是集合论后面各章的基础
– 是典型的布尔代数系统
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不 可缺少的数学工具和表达语言。
我们这里学习集合论，更是因为计算机科学及其应用 的研究也和集合论有着极其密切的关系。集合不仅可以表 示数、而且还可以象数一样进行运算，更可以用于非数值 信息的表示和处理，如数据的增加、删除、排序以及数据 间关系的描述；有些很难用传统的数值计算来处理，但可 以用集合运算来处理。因此，集合论在程序语言、数据结 构、编译原理、数据库与知识库、形式语言和人工智能等 领域都得到了广泛的应用，并且还得到了发展。
例如： –方程x2－1＝0的实数解集合：
特定对 象
–26个英文字母的集合；
–坐标平面上所有点的集合；
–… …
集合通常用大写的英文字母来标记。
N
Z
Q
R
C
表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。
列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号 隔开，并把它们用花括号括起来。
相等的符号化表示为： A＝B AB ∧ BA
如果A与B不相等，则记作A≠B。
定义6.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是 A的真子集，记作BA。
真子集的符号化表示为 BA BA ∧ B≠A
如果B不是A的真子合叫做空集，记作。 空集的符号化表示为： ＝{x|x≠x}。 例如: {x|x∈R∧x2+1=0}
定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素， 则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B，记作 BA。
包含的符号化表示为 BA x(x∈B→x∈A)
如果B不被A包含，则记作 B A。
例如：N Z Q R C，但Z N。 显然对任何集合A都有 AA。
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 （ base
number)，记为|A|。
▪ 如|A|是有限的，则称集合A为有限集， ▪ 如|A|是无限的，则称集合A为无限集。
求下列集合的基数。
（1）A =Φ ；
（2）B = {Φ}；
（3）C = {a, b, c}；（4）D = {a, {b, c}}。
隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些 集合可以同时成立这两种关系。
例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。
定义6.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与 B相等，记作A＝B。
–A＝{a，b，c，…，z}
–Z＝{0，±1，±2，…}
–C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数}
谓词表示法(defining predicate)是用谓词来概括集合中元
素的属性。
X所具有的
–A＝{x|P(x)}
性质p
–B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}
代表元
许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。 但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
解 |A| = 0， |B| = 1，|C| = 3，|D| = 2。
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素。 例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}
集合的元素是无序的。 例如：{1，2，3}＝{3，1，2}
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于 或不属于，属于记作∈，不属于记作。
是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是 空集。
定理6.1 空集是一切集合的子集。 证明：任给集合A，由子集定义有
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题， 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
本章对集合论本身及其公理化系统不作深入探讨，主 要是介绍集合、子集的基本概念及相关性质；集合间的各 种运算和它们满足的运算性质；
1 集合集的合基的本概概念念
2 集合集的合表的示运方算法
3
有穷集的计数
4
集合恒等式
重点掌握
1
1 集合的概念 及集合间关系 2 集合的表示 3 集合运算及 定律 4 幂集P(A)