《离散数学》第六章代数结构
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《离散数学》第六章 集合代数
确定下列命题是否为真
（1），（3），（4）为真， （2）为假．
幂集
定义6.5 给定集合A，由集合A的所有子集为元素组 成的集合，称为集合A的幂集，记作P(A)。 设A＝{a，b，c}，则 P(A)＝{ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
空集是一切集合的子集
定理6.1 空集是一切集合的子集． 证明：对于任何集合A，有子集定义有
∅ ⊆A Ù∀x(x∈ ∅ → x∈A) 右边的蕴涵式为真，所以∅ ⊆A也为真。
空集是唯一的
推论 空集是唯一的。 证明 假设存在空集∅1和∅2，
∅1 ⊆ ∅2和∅2 ⊆ ∅1 根据集合相等的定义得∅1＝∅2
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
若A是n元集，则P(A)有2n个元素。
实例
全集
定义6.6 在一个具体问题中,如果所涉及的 集合都是某个集合的子集，则称这个集合为 全集，记作E(或U)
3.2 集合的基本运算
定义6.7 设A与B为集合，A与B的并集∪ ，交集 ∩ ，B对A的相对补集-分别定义如下：
A∪B={x|(x ∈A) ∨(x ∈ B)} A∩B={X | (X ∈ A) ∧(X ∈ B)} A - B = {X | (X ∈ A) ∧(X ∉B)} 当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。
离散数学第6章 格与布尔代数
设c是a∧b 的任一下界，即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
《离散数学》课件_第6章
a ≼ b∨d, c ≼ b∨d 这表明b∨d是a和c的一个上界， 而a∨c是a和c的最小上界，
a∨c ≼b∨d 类似地， 可以证明a∧c ≼ b∧d
推论 设〈L， ∨， ∧〉是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的 代数系统， 对于a， b， c∈L， 如果b ≼c， 则a∨b ≼a∨c ， a∧b a∧c。≼
第6章 格与布尔代数
6.1 格的概念 6.2 子格和格同态 6.3 特殊的格 6.4 布尔代数 6.5 布尔代数的结构和布尔函数
6.1 格 的 概 念
6.1.1 格的定义
定义6.1.1 设〈 L ， ≼ 〉是一个偏序集合， 若对任意 a, b∈L， {a, b} 均存在最小上界和最大下界， 则称〈 L ， ≼ 〉为偏序格(lattice)
6.1.2
定理6.1.1 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 则∨和∧满足 等幂律， 即对于任何a∈L，
a∨a=a, a∧a=a 证明 任取a∈L， a∨a=a∨(a∧(a∨a))=a， a∧a=a∧(a∨(a∧a))=a
定义6.1.3 设〈L， ≼ 〉是一个偏序格， 在L上定义两 个二元运算∨和∧, 对于任何a， b∈L， a∨b= lub{a, b}， a∧b=glb{a, b}， 则称∨和∧分别为L上的并和交运算， 称 〈L， ∨， ∧ 是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的代数系统。
证毕
定理6.1.5 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 在L上定义
二元关系 ≼ ： 对于任何a， b∈L， a ≼ba∨b＝b， 则
〈L， ≼〉是一个偏序格， 并称〈L， ≼〉是由代数格〈L，
∨， ∧〉
证明
≼L
任取a∈L， 根据定理6.1.1可知， 〈L， ∨， ∧〉满足
等幂律， 有a∨a＝a， 即a ≼a， 所以，在L
a∨c ≼b∨d 类似地， 可以证明a∧c ≼ b∧d
推论 设〈L， ∨， ∧〉是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的 代数系统， 对于a， b， c∈L， 如果b ≼c， 则a∨b ≼a∨c ， a∧b a∧c。≼
第6章 格与布尔代数
6.1 格的概念 6.2 子格和格同态 6.3 特殊的格 6.4 布尔代数 6.5 布尔代数的结构和布尔函数
6.1 格 的 概 念
6.1.1 格的定义
定义6.1.1 设〈 L ， ≼ 〉是一个偏序集合， 若对任意 a, b∈L， {a, b} 均存在最小上界和最大下界， 则称〈 L ， ≼ 〉为偏序格(lattice)
6.1.2
定理6.1.1 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 则∨和∧满足 等幂律， 即对于任何a∈L，
a∨a=a, a∧a=a 证明 任取a∈L， a∨a=a∨(a∧(a∨a))=a， a∧a=a∧(a∨(a∧a))=a
定义6.1.3 设〈L， ≼ 〉是一个偏序格， 在L上定义两 个二元运算∨和∧, 对于任何a， b∈L， a∨b= lub{a, b}， a∧b=glb{a, b}， 则称∨和∧分别为L上的并和交运算， 称 〈L， ∨， ∧ 是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的代数系统。
证毕
定理6.1.5 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 在L上定义
二元关系 ≼ ： 对于任何a， b∈L， a ≼ba∨b＝b， 则
〈L， ≼〉是一个偏序格， 并称〈L， ≼〉是由代数格〈L，
∨， ∧〉
证明
≼L
任取a∈L， 根据定理6.1.1可知， 〈L， ∨， ∧〉满足
等幂律， 有a∨a＝a， 即a ≼a， 所以，在L
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学课件第六章(第2讲)
《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n
I+有（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明： （1） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n
（2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
例：设M= {0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形 顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一 元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到 360º时即为0º，试验证<M ,*>是一个群。
* 0º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 0º 60º 120º 180º 240º 300º 60º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 120º 120º 180º 240º 300º 0º 60º 180º 180º 240º 300º 0º 60º 120º 240º 240º 300º 0º 60º 120º 180º 300º 300º 0º 60º 120º 180º 240º
例： <I ,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>， 其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺 元）。<N ,max>则为独异点，其中 e =0
《定义》：设< S ,* >是一半群，TS，且*在T上是封闭的， 那么< T ,* >也是半群，称< T ,* >是< S ,* >的子半群。
离散数学第六章集合代数
15
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
离散数学课件第六章(第1讲)
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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第二节 置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置
换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置
换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换 只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
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第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、左
(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左单 位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、 右逆元替代,还可以用可除条件替代; 2.任意群中消去律成立.
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第五节 陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念.
1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个 类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
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第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基本 定理之一.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的某 种代数运算来说作成群；
主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
学习本节时,可以把整数、有理数、实数、 复数的加法、乘法运算与环的两个运算 加以对照.
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第十节 环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元的 环、零因子、左零因子、右零因子、无 零因子环、整环、除环、域、四元数等;
本节介绍了与环有关的最基本的结论
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第七节 群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个代 数系统中较难解决的问题转移到另一个 代数系统中成为较易解决的问题.例如， 我们常用的对数，实际上，它就是正实 数的乘法群到实数的加法群的一个同态. 利用对数，我们实现了把较难的乘法运 算转化成较易的加法运算，因此，同态 是代数系统间十分重要的关系
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第九节 同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是:
同态基本定理设:f:G→G’是群同态,则: G/Kerf≌G’
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第十节 环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统,本节我们介绍有两个代数运算的 代数系统——环 .环的两个被称为加法、 乘法的代数运算是我们最为熟悉的代数 运算,由于本课程的限制,我们对环仅作 极其初步,简单的介绍.
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第七节 群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H 在f下的象f(H)是G’的子群;
2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定义， 接着我们又讨论子群、陪集、正规子群、 商群、同态、同构等.最后一节我们还极 其简单地介绍了具有两个代数运算的系 统——环.这些内容对于抽象思维能力和 逻辑推理能力的培养很有帮助.