离散数学代数结构部分
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离散数学代数结构
§4.2 运算
(7)
abc
a abc
b bca
c cab
2019/9/8
§4.3 代数系统
(1)
4.3.1 代数系统的概念
定义 假设 A 是一个非空集合，f1,f2,…,fn 是 A
上的运算（运算的元素可以是不相同的），则称
A 在运算 f1,f2,…,fn 下构成一个代数系统，记 为：<A, f1,f2,…,fn>
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§4.3 代数系统
(2)
4.3.1 代数系统的概念
定义
假设 <A,*> 是一个代数系统，SA， 如 果 S 对 * 是 封 闭 的 ， 则 称 <S,*> 为 <A,*>的子代数系统。
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§4.3 代数系统
(3)
4.3.2 代数系统中的特殊元素
（1）单位元（幺元）
假设 <A,*> 是一个代数系统，如果 eLA,对于 任意元素 xA，都有 eL*x=x,则称 eL为 A 中关于运 算 * 的左单位元;
元运算。
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§4.2 运算
(2)
4.2.2 运算的性质
假设 *,+ 都是集合 A 上的运算 （1）封闭性
如果 SA，对任意的 a,bS，有 a*bS，则称 S 对运算 * 是封闭的。
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§4.2 运算
(3)
4.2.2 运算的性质
（2）交换律
如果对任意的 a,bA，都有 a*b=b*a，则 称运算 * 是可交换的。
如果运算 * 既满足左消去律又满足右消去 律，则称运算 * 满足消去律。
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离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。
在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。
它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。
运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。
运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。
置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。
置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。
置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。
例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。
封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。
结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。
单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。
对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。
逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。
置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学-近世代数-代数结构
添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
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c
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
离散数学第5章 代数结构
1
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
9
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
13
备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
8
（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
9
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
13
备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
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（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
离散数学导论第十章代数结构通论-
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
➢ 定义10.9
设< S,Δ, >及< S’,Δ’, ’ >均为代数结构，称函
数 h: S→S’为（代数结构S到S’的）同态映射，或同态
（homomorphism），如果对S中任何元素a，b，
h（Δa）= Δ’（h（a））
(10-3)
h（a b）＝ h（a） ’ h（b）
第十章 代数结构通论
第十章 代数结构通论
1. 代数结构 2. 同态、同构及同余
Δ10.3 商代数与积代数
第十章 代数结构通论
1. 代数结构
1. 代数结构的意义
2.
代数结构的特殊元素
3.
子代数结构
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
2.
同余关系
第十章 代数结构通论
Δ 10.3商代数与积代数
√ 定理10.2
任何含有关于 运算么元的代数结构 <S， >,其所含么元是唯一的。
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.2 代数结构的特殊元素
➢定义10.4
元素O称为代数结构<S， >( 关于 运 算) 的零元(zero)，如果0 S且对任意x S有
x 0＝ O x＝ O 元素0r S (0l S)称为左零元（右零元）．如 果Or（Ol）满足: 对一切x S，
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
√ 定理10.9
设h是代数结构< S, 1, 2 > 到 < S’, 1’, 2’>的同态, 态象为< h（S）, 1’, 2’>（这里 1, 2, 1’, 2’ 均为二元 那么 （1）当运算 1( 2)满足结合律、交换律时，同态象中运算
《离散数学》第六章代数结构
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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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3 2020/2/14
离散数学代数结构部分
60
➢ 定理6.5 G为有限群，则G的运算表中的每 一行（每一列）都是G中元素的一个置换， 且不同的行（或列）的置换都不相同。
定义6.10 设
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例6.9 例6.10 群
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➢ 定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。 证明：必要性是显然的。
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中除0之外都没有逆元，
所以它仅是含幺半群而不是群。
中每个元素都有 逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以 它们是交换群。
0没有逆元，所 以它们仅是有么半群而不是群。
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例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算， 它由以下运算表给出。不难证明G是一 个群，称该群为Klein四元群。
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➢ 推论6.2 设 推论6.3 设
根据定理6.11的推论有
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➢ 定义6.13 设 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群
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➢ 定理6.15 设 证明：略。
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例6.13 设
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例6.14 设
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➢ 定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群 证明：必要性
充分性证明：
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➢ 定理6.8(子群判定定理3)设H是群 证明：必要性是显然的。
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例6.11 设
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6.2节 陪集与拉格朗日定理
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定义5.13 设
定义5.14 设
例5.14 个数的最小公倍数的运算。则
表示求两
解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。
例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*
解：
例5.16 设有集合
讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。 解：
例5.17 设
解：
第六章 几个典型的代数系统
例6.26 设n是正整数
例6.27（1）对于偏序集
定理6.22
设
定理6.23 设
定义6.26 设
定义6.27 设
例6.28 设格
定义6.28 设
例6.29 说明下图中的格是否为分配格， 为什么？
定义6.29 设
定义6.30 设 例6.30 例6.31
定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有 (x*y)*z ＝ x*(y*z) ，则称该二元 运算 * 是可结合的，或者说运算 * 在 A 上适合结合律。 例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则 “+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元， 没有可逆元素。
5.3节
定义 5.10 个运算 记作
从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律 和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ，
定理6.2 设
下面证明唯一性
从而唯一性得证。
例6.8 设
定理6.3
定理6.4 设
定理6.5 G为有限群，则 G的运算表中的每 一行（每一列）都是G中元素的一个置换， 且不同的行（或列）的置换都不相同。 定义6.10 设
解： H的右陪集为
定理6.9 设H是群
定理6.10 设
定理6.11 设
证明： 略。 推论6.1
定理6.12 设
定理6.13 设
定义6.12 群 定理6.14（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。 根据定理6.11的推论有
推论6.2 设 推论6.3 设
定义6.31 设
定义6.32 设
定义6.33 如果一个格是有补分配格，则称 它为布尔格或布尔代数。
代数系统
设 S 是非空集合，由 S 和 S 上若干 构成的系统称为代数系统，
代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
定义5.12 设
例5.11 设
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.21 （1）整数集
定理6.21 设
2,3证明略。
例6.22
定义6.23 设
例6.23 （1）整数环
例6.22模6整数环
定义6.24 设
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.25 设
6.6
格与布尔代数
定义6.25 设
例5.1设A＝{x|x＝ 2 ，n∈N}，问 在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢?
n
解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
元。
代数系统的定义及其性质。
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
如何判断一个运算是否为集合 S 上的 二元运算 1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。 2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
定义5.5 设。和*是S上的两个二元运 算，如果对任意的 有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。
定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有 则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定 义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)， 验证运算*和★满足吸收律。
例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算， 它由以下运算表给出。不难证明G是一 个群，称该群为Klein四元群。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义6.7 设
例6.6 在群
解：
定理6.1 设
证明：略。
定义6.8 设
定义6.9
例6.7 对于集合
列出其运算表如下表 这个群的阶数是6， 元素0，1，2，3， 4，5的次数分别 为1，6，3，2， 3，6。
例6.9 例6.10 群
定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。
证明：必要性是显然的。
定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群
证明：必要性 充分性证明：
定理6.8(子群判定定理3)设H是群
证明：必要性是显然的。
例6.11 设
6.2节
定义6.11 设
陪集与拉格朗日定理
例6.12 设
定理6.18 （群同态基本定理）设
6.4 定义6.17 设
循环群与置换群
定理6.19 设
例6.16
例6.17 设
定义6.18 设
例6.18 设
定义6.19 设
例6.19 4元置换
定义6.20设
定理6.20
定义6.21
例6.20 如图 进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但 经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格 中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看 作是作用在
定义6.5 设
例6.3 设
证明G关于矩阵乘法构成一个群．
故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法 满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群，
在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。
定义6.6 若群
例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元， 所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有 逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以 它们是交换群。 0没有逆元，所 以它们仅是有么半群而不是群。
定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
定理5.2 设*是S上的二元运算， 如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ， 又存在关于运算的右幺元 er 则S中必存在关于运算*的幺元e并且
2. 零元 定义5.8 设*是S上的二元运算，
第三部分 代数结构
第五章 代数系统
代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。 代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
本部分主要内容 二元运算及其性质。 二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆
本章讨论几类重要的代数结构： 半群、群、环、域、格与布尔代数
6.1节
定义6.1 设
是可结合的即：
半群与群
定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1
定义6.3 设
例6.2 定义6.3 设
定义6.4 设
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元 , 如果 S 中元素 x 既存在关于运算 * 的左 逆元 yl ，又存在关于运算*的右逆元 yr ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。
所以零元是唯一的。
定理 5.4 设 * 是 S 上的二元运算，如 果S中既存在关于运算 *的左零元 l 又 存在关于运算*的右零元 r