福建省泉州五校2016届高三数学12月联考试题 理

2015年秋季南侨中学、荷山中学、南安三中、永春三中、永春侨中高中毕业班第一次联合考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{4，6} C ．{1，3，5} D ．{4，6，7，8} 2．已知R a ∈，且iia -+-1为纯虚数，则a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3．已知函数()f x 是定义在[5,5]-上的偶函数，()f x 在[0,5]上是单调函数，且(3)(1)f f -<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. (1)(3)f f -<- B. (2)(3)f f < C. (1)(0)f f < D. (3)(5)f f -<4．已知{}n a 是首项为1的等比数列，且48a =，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为（ ） A. 31 B.1631 C.11 D. 11165．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点()m ， 则sin 2α= ( )A ．±．±6. 已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于 ( )A ．6B ．5C ．4D ．7 7. 设α、β是两个不同的平面，m l 、为两条不同的直线. 命题p ：若平面βα//，α⊂l ，β⊂m ，则m l //；命题q ：α//l ，l m ⊥，β⊂m ，则αβ⊥，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．p ⌝或q D ．p 且q ⌝8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）A ．34cm B ．36cmC ．3163cmD ．3203cm9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 10．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足AM =34AB+14AC ，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ） A ．3B ．1C ．1D ．1A ．B ．C ．D ．12. 已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a=++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞B ．(-∞C ．(D ．( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 幂函数()f x x α=过点(2,4)，则定积分1()1f x dx -⎰＝ ．14.已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b，则tan α等于15. 变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z xy =+得最小值为6-，则k = .16.等差数列{}na 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且2(2)f a -=2014(2)f a -=则2015S =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)已知向量(sin ,cos )a x x = , (sin ,sin )b x x = ， (1,0)c =-.（Ⅰ）若3x π=，求向量，的夹角θ；（II ）求函数()f x a b =⋅的最大值．18．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若5S =70，且2272,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ．19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且BD=2，sin 8B =． （Ⅰ）求sin∠BAD 的值；（Ⅱ）求cos ADC ∠及AC 边的长．20．(本小题满分12分)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （Ⅰ）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（Ⅱ）求平面B 1AD 1与平面CAD 1夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）当3b =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求b 的值.请考生从22、23、24题中任选一题作答． 选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH=DG ．选修4-4：坐标系与参数方程23． 已知曲线C 1的参数方程为x a ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线C 1、C 2的普通方程；（Ⅱ）若曲线C 1、C 2有公共点，求a 的取值范围．选修4-5：不等式选讲24． 已知定义在R 上的函数()12f x x x =-++的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若m ，n 是正实数，且m n a +=，求12m n+的最小值．参考答案及评分标准 一、选择题1--5． BDCBD 6--10．ACCA D 11--12．AB 二、填空题 13..32 14. 12-. 15. π. 16. 4030 三、解答题：17.解：（1）当3x π=时，122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，2cos 11||||a c a c θ⋅===⨯⋅ 56πθ=；…………….6分（2）2()(sin sin cos )(1cos2sin 2)f x x x x x x =+=-+，1)14x π=-≤+所以函数()f x的最大值是118．解：（Ⅰ）由题知⎩⎨⎧⋅==22227570a a a S ，即⎩⎨⎧++=+=+)21)(()6(7010511211d a d a d a d a ， ------2分 解得4,61==d a 或0,141==d a （舍去）， -----------4分 所以数列的通项公式为24+=n a n ． -------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S n 422+= ， 则)211(21)2(211+-=+=n n n n S n -----9分 则1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 11113111(1)()22128412n n n n =+--=-+++++ - ---12分19.考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由BD ，sinB ，AD 的值，利用正弦定理求出sin∠BAD 的值即可；（2）由sinB 的值求出cosB 的值，由sin∠BAD 的值求出cos∠BAD 的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠ADC 的值，在三角形ACD 中，利用余弦定理即可求出AC 的长． 解答： 解：（1）在△ABD 中，BD=2，sinB=，AD=3，∴由正弦定理=，得sin∠BAD===；…………….5分（2）∵sinB=，∴cosB=，∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=，∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣，…………….9分∵D为BC中点，∴DC=BD=2，∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16，∴AC=4．…………….12分点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．20.考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，可得B1B∥D1E，利用线面平行的判定，可得B1B∥平面D1AC；（II）求得平面B1AD1、平面D1AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）设AC∩BD=E，连接D1E，则有E（1，1，0），=（1，1，﹣2），所以B1B∥D1E，∵B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC∴B1B∥平面D1AC；…（6分）（II）解：设为平面B1AD1的法向量，则，即，于是可取…（8分）同理可以求得平面D1AC的一个法向量，…（10分）∴cos＜＞==∴平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值为．…（12分）点评： 本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．21.解：（1）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x '=++………………2分因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处切线与x 轴平行(1)120f a b '=++=………………3分 当3b =-时，1a =,2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(2)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………6分 102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-,所以3b =………………8分 当0a >，2102x a=>当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-，2eb e -=-……………10分 当11e 2a≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a 上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………11分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，. 3b = 或2e b e -=- ………………12分 请考生从22、23、24题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC的外接圆于点G ．求证：DH=DG ．考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 连结CG ，利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC．根据同弧所对 的圆周角相等，证出∠GCB=∠FCB，从而得出∠GCB=∠FCB，得△CHG 是以HG 为底边的等腰三角形，利用“三线合一”证出DH=DG ． 解答： 解：连结CG ，∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC 又∵∠GAB 与∠GCB 同对弧BG ，∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高线∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形，可得DH=DG．点评：本题给出圆内接三角形的垂心，求证线段相等．着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（1）求曲线C1、C2的普通方程；（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴消去参数t可得x+y﹣a=0，又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，∴=2，平方可得x2+y2=4，∴曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；（2）若曲线C1、C2有公共点，则圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，∴≤2，解得﹣≤a≤∴a的取值范围为：[﹣，]点评：本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；（2）+=+=1++≥1+2=1+．利用基本不等式．解答：解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，如图：则x在[﹣2，1]上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．说明:字母有误,请老师们注意看（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．点评：本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．。