离散数学结构 习题5
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学 (5)
15
一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 注意: 题目中没给个体域, 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数 G(y): y为负数 L(x,y): x>y 为正数, 为负数, 为正数 为负数 →y(G(y)→L(x,y))) 或 x(F(x)→ → → xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)) ∧ → 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数 G(y): y是有理数 是无理数, 是有理数, 是无理数 是有理数 L(x,y):x>y : ∧y(G(y)∧L(x,y))) x(F(x)∧ ∧ ∧ 或 xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) ∧ ∧ 两者等值
6
谓词: 谓词 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项: 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: …是人,F(a):a是人 是人, 是人 : 是人 是自然数, G: …是自然数, F(2):2是自然数 是自然数 : 是自然数 谓词变项: 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: …具有性质 ,F(x):x具有性质 具有性质F, 具有性质具有性质 : 具有性质 元数: 元数:谓词中所包含的个体变项个数 一元谓词: 一元谓词 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词 ≥ 元谓词, 多元谓词 元谓词 n≥2): 表示个体词之间的关系 有关系L, 如 L(x,y): x与y有关系 , L(x,y): x比y高2厘米 : 与 有关系 : 比 高 厘米 注意:多元谓词中, 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动
9
例1(续) 续
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 在命题逻辑中, 是有理数. 在命题逻辑中 设 p: 2 是无理数,q: 33 : 2是无理数, : 是有理数 符号化为 q→p, 这是假命题 → 在一阶逻辑中, x是无理数 是无理数, x是有理 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 F ( ( 22 ) → G (3 )3 ) F ) → G( (3) 如果 如果2>3,则3<4 , 在命题逻辑中, 在命题逻辑中 设 p:2>3,q:3<4. : , : 符号化为 p→q, 这是真命题 → 在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y):x>y,G(x,y):x<y, : , : 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
离散数学（1-4-5章）自测题
离散数学（1-4-5章）自测题《离散数学1-4-5章》练习题第1章集合1、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) = (2) ?(3) ∈(4) ?2、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
3、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（） (1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q4、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A=Ф (2) B=Ф(3) A?B (4) B?A5、判断下列命题哪几个为正确？( )(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}(4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A? (B－C)＝(A?B)－(A?C)b、(A－B)?(A－C)=A－(B?C)第4章关系1、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R 和R-1的集合表示和关系矩阵表示。
2、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R R (2) R-1。
3、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}。
4、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：5、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，R=I{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>}A求R诱导的划分。
6．画出下列集合关于整除关系的哈斯图.(1){1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.(2){1,2,…..,9}.并指出它的极小元，最小元，极大元，最大元。
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
16312486312411倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B，故此S ⊆2B；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A)，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。
对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。
《离散的数学结构》课后习题答案
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
离散数学课后习题答案五
第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3,问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、厶(G)、.(G)。
解：由握手定理图G的度数之和为：2 10=203度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3,欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2,所以，G至少有7个顶点,出度数列为3,3,4,4,2,22 .1(G) = 4「(G) = 2 .7、设有向图D的度数列为2, 3, 2, 3,出度列为1, 2，1，1，求D的入度列，并求厶(D),、：(D)，：(D)「.(D),.厂(D),解：D的度数列为2, 3, 2, 3,出度列为1, 2, 1, 1, D的入度列为1,1,1,2..：(D) =3,、(D) =2, ：(D) =2,、• (D) = 1,.厂(D) = 2,、_(D) = 18设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？解：由握手定理图G的度数之和为：2 6=12设2度点x个，则3 1 5 1 2x =12 , x=2，该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。
(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；⑵2 + 2+2+2+3+3+4+4=16,是偶数，可图化；18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3,证明它们至少有两个是同构的。
证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2, 2, 2, 2;3, 2, 2, 1; 3, 3, 1, 1。
但3, 3, 1, 1对应的图不是简单图。
所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：所以，G i 、G 2、G 3至少有两个是同构的。
离散数学(刘任任版)习题5
从而 1 ≤ 0 ，矛盾。故存在 v ∈ v(G) ， 使 d (v) ≥ 3 。
11、求证:在任何有n(n≥2)个人的人群中,至 少有两个人在其中恰有相同个数的朋友.
z 证明：作一个n阶简单图，n个顶点分别表示n个 人。两个人是朋友当且仅当表示这两个人的顶点 邻接。这样，问题就转化成中至少有两个顶点的 度数相等。此结论题9已证。
离散数学习题集
第五章 图与子图
2、设G（p,q）是简单二分图 求证：q ≤ p 2 / 4 。
证明：设G( p, q) = G(V1,V2 ), V1 = m, V2 = p − m
则q ≤ m ⋅ ( p − m)
= pm − m 2
= p2 − ( p − m)2 42
因为 ( p − m ) 2 ≥ 0， 所以q ≤ p 2 / 4 2
16.(2)设G（p,q）是连通图，求证:若q > p – 1,则G 中必含回路;
证明：设 q > p − 1。
若G不含回路，则必有v1 ∈V (G) 满足d (v1) = 1。于是 G1 =G−v1 仍连通且无回路，而 G − v1恰有 q −1条
边。如此下去，G p−1 = G − {v1, v2 ,Λ , v p−1}
正则简单图,其中
k
=
⎢ p⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
− 1,
z 取p=6。则 k = ⎣6 / 2⎦ −1 = 2 。
z 作非连通图G如下：
22、证明:若e∈E(G),则
w(G) ≤ w(G − e) ≤ w(G) + 1
证明：因G的任意一条边e最多联结G-e的两个分支。
故 w(G) ≤ w(G − e) ≤ w(G) + 1
离散数学-第五章习题答案
习题答案（P151~P153）1．用枚举法给出下列集合解：（2）{-3，2}（4）{5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}2．用抽象法说明下列集合解：（2）{x|x为素数，10<x<20}（4）{x|x为中国的省会}（6）{x|x=2k+1，k∈I}3．判断下列哪些∈关系成立，为什麽？解：根据只有集合中的元素才与该集合有∈关系，故（1）、（4）、（6）、（7）成立，（2）、（3）、（5）、（8）不成立。
4．判断下列哪些集合相等（全集是整数集合I）解：A=G，B=E，C=F6．写出下列集合的幂集解：（2）ρ（{1，∅}）={∅，{1}，{∅}，{1，∅}}（4）ρ（{∅，{a}，{∅}}）={∅，{∅}，{{a}}，{{∅}}，{∅，{a}}，{∅，{∅}}，{{a}，{∅}}，{∅，{a}，{∅}}}7．当把“⊆”插入空位时哪一个为真？解：（1）、（2）、（3）、（6）为真，（4）、（5）为假。
8．设A、B、C分别是集合，若A∈B，B∈C，哪麽A∈C一定成立吗？解：不一定，例如，A={a}，B={{a}}，C={{{a}}}，虽然A∈B，B∈C，但A∈C不成立。
10．设U={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={1，2，5}和C={2，4}试写出下列集合（8）ρ（A）-ρ（C）解：ρ（A）-ρ（C）={∅，{1}，{4}，{1，4}}-{∅，{2}，{4}，{2，4}}={{1}，{1，4}}11．证明下列恒等式（1）A-（B⋂C）=（A-B）⋃（A-C）（2）（A-B）⋂B=∅解：（1）A-（B⋂C）= A⋂~（B⋂C）= A⋂（~B⋃~C）=（A⋂~B）⋃（A⋂~C）=（A-B）⋃（A-C）（2）（A-B）⋂B=（A⋂~B）⋂B= A⋂（~B⋂B）= ∅12．设A、B、C是集合，下列等式成立的条件是什么？（1）（A-B）⋃（A-C）=A（2）（A-B）⋃（A-C）= ∅解：（1）因为（A-B）⋃（A-C）= （A⋂~B）⋃（A⋂~C）= A⋂（~B⋃~C）= A⋂~（B⋂C）= A-（B⋂C）所以（A-B）⋃（A-C）=A 当且仅当A-（B⋂C）=A 由-的定义可知A⋂（B⋂C）=∅（2）由（1）可知，（A-B）⋃（A-C）=A-（B⋂C）所以（A-B）⋃（A-C）=∅当且仅当A-（B⋂C）=∅由定理5.11可知A⊆（B⋂C）13. 设A，B是集合（1）A-B=B，问A和B有何关系？（2）A-B=B-A, 问A和B有何关系？解：（1）A=B=φ。
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习题5
1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：
(1) x y(F(x)∧G(y))
(2) x y(F(x)∨G(y))
(3) xF(x)→yG(y)
(4) x(F(x,y)→yG(y))
答案
(1) x y(F(x)∧G(y))
xF(x)∧yG(y)
(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))
(2) x y(F(x)∨G(y))
xF(x)∨yG(y)
(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))
(3) xF(x)→yG(y)
(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c))
(4) x(F(x,y)→yG(y))
xF(x,y)→yG(y)
(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))
2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。
(1) x(F(x)→G(x))
(2) x(F(x)∧G(x))
.(1)
答案
I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3
F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以
x(F(x)→G(x))
(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。
I2: F(x)同I1,G(x):x≤0
则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假，
x(F(x)→G(x))为假。
(2)留给读者自己做。
3．给定解释I如下：
(a) 个体域D={3,4}。
(b) (x)为(3)=4，(4)=3。
(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。
答案
试求下列公式在I下的真值：
(1) x yF(x,y)
(2) x yF(x,y)
(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))
(1) x yF(x,y)
(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))
(0∨1)∧(1∨0) 1
(2) x yF(x,y)
(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))
(0∧1)∨(1∧0)0
(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))
(F(3,3)→F(f(3),f(3)))
∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))
∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))
∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))
(0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) 1
4．在自然推理系统F中构造下面推理的证明：
(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x))
(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)
结论：xF(x)
(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)
结论：xF(x)
答案
.(1)
证明:①xF(x)前提引入
② F(c)①EI
③x(F(x)→(G(a)∧(R(x)))前提引入
④ F(c)→(G(a)∧R(c))④UI
⑤ G(a)∧R(c)②④假言推理
⑥ R(c)⑤化简
⑦ F(c)∧R(c)②⑥合取
⑧x(F(x)∧R(x))⑥EG
(2)
证明：① ┐xG(x)前提引入
②x┐G(x)①置换
③ ┐G(c)②UI
④x(F(x)∨G(x)前提引入
⑤ F(c)∨G(c)④UI
⑥ F(c)③⑤析取三段论
⑦xF(x)⑥EG
(3)
证明：①x(F(x)∨G(x))前提引入
② F(y)∨G(y)①UI
③x(┐G(x)∨┐R(x))前提引入
④ ┐G(y)∨┐R(y)③UI
⑤xR(x)前提引入
⑥ R(y)⑤UI
⑦ ┐G(y)④⑥析取三段论
⑧ F(y)②⑦析取三段论
⑨xF(x)UG
5．在自然推理系统F中，证明下面推理：
(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。
(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。
答案
(1)
设F(x):x为有理数，R(x):x为实数，G(x):x是整数。
前提：x(F(x)→R(x))，x(F(x)∧G(x))
结论：x(R(x)∧G(x))
证明：①x(F(x)∧G(x))前提引入
② F(c)∧G(c)①EI
③ F(c)②化简
④ G(c)②化简
⑤x(F(x)→R(x))前提引入
⑥ F(c)→R(c)⑤UI
⑦ R(c)③⑥假言推理
⑧ R(c)∧G(c)④⑦合取
⑨x(R(x)∧G(x))⑧EG
(2)
设：F(x):x为有理数，G(x):x为无理数，R(x)为实数，H(x)为虚数
前提：x((F(x)∨G(x))→R(x)),x(H(x)→┐R(x))
结论：x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
证明：①x((F(x)∨G(x)→R(x))前提引入
② F(y)∨G(y))→R(y)①UI
③x(H(x)→┐R(x))前提引入
④ H(y)→┐R(y)③UI
⑤ ┐R(y)→┐(F(y)∨G(y))②置换
⑥ H(y)→┐(F(y)∨G(y))④⑤假言三段论
⑦ H(y)→(┐F(y)∧┐G(y))⑥置换
⑧x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))⑦UG
(3)
设：F(x):x能表示成分数，G(x):x为无理数，H(x)为有理数
前提：x(G(x)→┐F(x)),x(H(x)→F(x))
结论：x(H(x)→┐G(x))
证明：①x(H(x)→F(x))前提引入
② H(y)→F(y)①UI
③x(G(x)→┐F(x))前提引入
④ G(y)→┐F(y)③UI
⑤ F(y)→┐G(y)④置换
⑥ H(y)→┐G(y)②⑤假言三段论
⑦x(H(x)→┐G(x))⑥UG。