离散数学第5章作业答案
离散数学第五章作业答案
t
b
a
c
d
e
f
g
1
2
引入b
3
引入c
4
引入a
5
引入f
6
引入e
7
引入g
故b到其余各顶点的最短路径和距离为
b→a：ba，长度为4
b→c：bc，长度为1
b→d：bcegd，长度为9
b→e：bce，长度为5
b→f：bcf，长度为4
b→g：bceg，长度为7
5.20 解：
（1）画出项目网络图
5.1 设有向图D的度数列是2,2,3,3, 度列为0,0,2,3，试求D的出读列。
解：由于 ,故出度列为2,2,1,0.如图
5.5下面各无向图中有几个顶点？
（1）16条边，每个顶点都有2度顶点
（2）21条边，3个4度顶点，其余是3度顶点
（3）24条边，各顶点的度数相同的
解：设顶点个数为n，则有握手定理知：
(1)
(2)
(3)设顶点的度数为K，则nk=2*4=48且n,k均为正整数，
则① n=1,k=48 ⑥ n=8,k=6
② n=2,k=24 ⑦ n=12,k=4
③ n=3,k=16 ⑧ n=16,k=3
④ n=4,k=12⑨ n=24,k=2
⑤ n=6,k=8⑩n=48,k=1
5.11K4的生成子图中有几个非同构的自补图
解：由握手定理知2m=3n，又知2n-3=m则m=9,n=6
G不是唯一的，即使简单图也不唯一的如
5.18 有向图D在定义意义下长度为4的通路总数，并指出有多少条是回路，又有 到 通路。
解：由图 V4得D的邻接矩阵为
V1 则，
离散数学(刘任任版)第5章答案.ppt
证明：设 e v1v2 ，G中含e的闭链为 。 v v v v 若E E不是回路，则必有 。 1 2 l 1 v v ij l i j 2 （因为回路定义是 ：没有重复点） 从E中去掉 ，得到 v vj i 1 v v v v v v 仍为闭链。如此下去，就可得到含 的回路。 1 2 i j 1 l 1
e v1v2
) 2,则G中必 18、求证:对于图G(p,q),若 (G 含回路.
) 2 证明：．∵ (G v(G )，设v1与v0邻接。 ∴ G中无悬挂点。任取 v 0 v v v v 如此下去，可得G中的一条链 0 1 2 p 又因G是有限图,由此可得一条闭链，由第１７题的 证明过程可知，故此链上必有回路。
证明：令
p 3 ,q C 1
2 2
。作如下 G( p, q)，故G不连通。
21、（1）证明：若 Ｇ(p,q) 是简单图， 且 ,则G 连通. ( G ) p / 2 1
证明：（1）设 。 ( G ) p / 2 1 若G不连通，则G的顶点可划分成两个集合V1 , V 2 ，使得V1与 V2中的顶点互不邻接。 p | V | | V | 不妨设 。 由G是简单图知， 1 2，则| V1 |
vi
d(v) 0
v v V ( G ), i j i, j
d ( v d ( vj ) i )
。
10、求证:在图G（p,p+1）中,至少有一个顶 点v,满足d(v) ≥3.
)，均有d(v) 2 证明：若对任意vv(G ，则有
2 (p 1 ) 2 q d ( v 2 p i)
从而G-v至少有(P-1)-k条边。故G至少有P-1条边。
16.(2)设G（p,q）是连通图，求证:若q > p – 1,则G 中必含回路;
20春国家开放大学离散数学形考任务5资料参考答案
20春国家开放⼤学离散数学形考任务5资料参考答案离散数学形考任务5单项选择题
题⽬1
下列公式( A )为重⾔式．
选择⼀项：
A.
B.
C.
D.
题⽬2
下列等价公式成⽴的为( A )．
选择⼀项：
A. ┐P∧P┐Q∧Q
B. ┐P∨P Q
C. P∧Q P∨Q
D. ┐Q→P P→Q
题⽬3
下列等价公式成⽴的为( D )．
选择⼀项：
A. Q→(P∨Q)┐Q∧(P∨Q)
B. ┐P∧┐Q P∨Q
C. ┐P∨(P∧Q)Q
D. P→(┐Q→P)┐P→(P→Q)
题⽬4
下列公式中( C )为永真式．
选择⼀项：
A.
B.
C.
D.
题⽬5
前提条件的有效结论是( C )．
选择⼀项：
A. ┐P
B. P
C. ┐Q
D. Q
题⽬6
设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是( B )．选择⼀项：
A. 0, 0, 0
B. 1, 0, 0
C. 0, 1, 0
D. 0, 0, 1
题⽬7
设个体域D是整数集合，则命题的真值是（ C ）．选择⼀项：
A. F
B. 不确定
C. T
D. 以上说法都不是
题⽬8
设个体域为整数集，则公式的解释可为( A )．选择⼀项：
A. 对任⼀整数x存在整数y满⾜x+y=0
B. 存在⼀整数x对任意整数y满⾜x+y=0
C. 存在⼀整数x有整数y满⾜x+y=0
D. 任⼀整数x对任意整数y满⾜x+y=0
题⽬9。
离散数学 第5章 习题解答
第5章 习题解答5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数S S ⨯2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个.S S S f →⨯:2n n },{b a 162=n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.1 °交换律 若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.2 °幂等律 设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为 则该运算满足幂等律.,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元.,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰 为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素.θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,321,,f f f而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角4f b a ,线元素排列为的只有,所以, 遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所b a ,4f 4f 在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a 满足这b a ,2f 一要求,因此,a 是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a 2f 所在的行和列元素都是a,那么a 就是零元;同样的,若b 所在的行和列元素都是b,那么b 就是零元.检查这四个运算表,中的a 满足要求,是零元,其他运算都没1f 有零元.在的运算表中,尽管a 和b 的列都满足要求,但行不满足要求.因而4f 4f 中也没有零元.5.2 A:①; B:③; C:⑤; D:⑦; E:⑩分析 对于用解析表达式定义的二元运算 °和 *,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:任取,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成y x ,x y y =x 立 °运算就满足交换律.2 ° °运算的地合律任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立. z y x ,,)y (z y)(z x x =如果成立, °运算就是可结合的.3 ° °运算的幂等律任取x,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立, °x x x = 运算满足幂等律.4 ° °运算对*运算的分配律任取,根据 °和*运算的解析表达式验证等式z y x ,,和是否成立。
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
赵洪銮《离散数学》第五章3-4节
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
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第5章作业答案
1. 用枚举法给出下列集合
解(2) {-3，2}
(4) {5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}
2. 用抽象法说明下列集合
解(6) {x|∃k (k∈I∧x = 2k + 1)}
6．写出下列集合的幂集
解(2) ρ({1, ∅}) = {∅, {1}, {∅}, {1, ∅}}
(4) ρ({∅, {a}, {∅}}) = {∅, {∅}, {{a}}, {{∅}}, {∅, {a}},
{∅, {∅}}, {{a}, {∅}}, {∅, {a}, {∅}}}
9. 证明：如果B⊆C，则ρ(B) ⊆ρ(C)。
证明任取x∈ρ(B)，则x⊆B，又因为B⊆C，所以x⊆C，x∈ρ(C)。
10．设U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 4}，B = {1, 2, 5}和C = {2, 4}，试写出下列集合。
解(8) ρ(A) -ρ(C)
= {∅, {1}, {4}, {1, 4}} - {∅, {2}, {4}, {2, 4}}
= {{1}, {1, 4}}
11．证明下列恒等式
(7) (A-B) -C = (A-C) - (B-C)
证法1 对于任意x，
x∈ (A-C) - (B-C)
⇔x∈A-C ∧x∉ B-C
⇔x∈A∧x∉C ∧⌝(x∈ B∧x∉C)
⇔ x∈A∧x∉C ∧ ( x∉B ∨ x∈C)
⇔( x∈A∧x∉C ∧ x∉B)∨( x∈A∧x∉C ∧ x∈C)
⇔ x∈A∧x∉C ∧ x∉B
⇔ x∈A∧ x∉B∧x∉C
⇔ x∈A-B ∧ x∉C
⇔ x∈(A-B) -C
证法2
(A-C) - (B-C) = A⋂~C⋂~( B⋂~C)
= A⋂~C⋂ (~ B⋃ C)
= ( A⋂~C⋂~ B) ⋃( A⋂~C⋂ C)
=(A⋂~C⋂~ B) ⋃∅
= A⋂~B⋂~ C
= (A-B) ⋂~ C = (A-B) -C
12．设A, B, C是集合，下列等式成立的条件是什么？
(3) (A-B ) ⋂ (A-C) = ∅
解因为(A- B) ⋂( A-C)
= (A⋂~B) ⋂ ( A⋂~C)
= A⋂ (~B⋂~C)
= A⋂~(B ⋃C)
= A- (B ⋃C)
所以(A-B)⋂(A-C) = ∅iff A- (B⋃C) = ∅iff A⊆ (B⋃C)
15. 设A = {{∅}, {{∅}}}，试计算
(1) ρ(A ) = {∅, {{∅}}, {{{∅}}}, {{∅}, {{∅}}}}
(2) ⋃A = {∅}⋃{{∅}} = {∅, {∅}}
(3) ρ(⋃A ) = ρ({∅, {∅}})
= {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
(4) ⋃(ρ(A )) = A
17. 证明：设 ρ(A ) = ρ(B )，则A = B 。
证法1 任取x ∈A ，{x }⊆ A ，{x }∈ρ(A )，{x }∈ρ(B )，x ∈B 。
所以A ⊆ B 。
同样可证B ⊆ A 。
因此，A = B 。
证法2 A ∈ρ(A )，A ∈ρ(B )，A ⊆ B 。
B ∈ρ(B )，B ∈ρ(A )，B ⊆ A 。
所以，
A =
B 。
证法3 A = ⋃(ρ(A )) = ⋃(ρ(B )) = B 。
19. 在整数1到300之间有多少个数不能被3, 5, 7整除？有多少个数能被3整除而不能被5, 7整除？
解 设全集U 为从1到300的整数构成的集合。
文氏图
如图所示。
用x 表示小于等于x 的最大整数，[x 1, x 2,…, x n ]
表示x 1, x 2,…, x n 的最小公倍数。
设A , B , C 分别为U 中能
被3, 5, 7整除的数的集合。
#A = 3003/＝100，#B = 3005/＝60，#C =
3007/＝42，
#(A ⋂ B ) = 30035/[,]＝30015/＝20，
#(A ⋂ C ) = 30037/[,]＝30021/＝14，
#(B ⋂ C ) =30057/[,]＝30035/＝8，
#(A ⋂ B ⋂ C ) = 300357/[,,]
= 300105/ = 2
不能被3, 5, 7整除的数的个数是
#(~A ⋂ ~B ⋂ ~C ) = #(~(A ⋃ B ⋃ C ))
= 300 - #(A ⋃ B ⋃ C )
= 300 - 100 - 60 - 42 +20 + 14 + 8 - 2
= 138，
能被3整除而不能被5, 7整除的数的个数是
#(A ⋂ ~B ⋂ ~C ) = 100 - 18 -12 - 2 = 68。
21. 令A = {ε, a }，B = {ab }，试列出下列集合的元素。
(1) A 2 = {ε, a , aa }
(3) AB ={ab , aab }
24. 如果A ={0, 1}，B = {1, 2}，试确定下列集合
(2) A⨯B
= {< 0, 1 >,< 0, 2 >,< 1, 1 >,< 1, 2 >}
26. 设A, B, C, D是任意四个集合，证明下列等式成立。
(1) ( A ⋂B )⨯(C⋂D) = (A⨯C)⋂(B⨯D)
< x, y > ∈ ( A ⋂B )⨯(C⋂D)
⇔ x∈A ⋂B ∧ y∈ C⋂D
⇔ x∈A∧ x∈ B∧ y∈ C∧ y∈ D
⇔ (x∈A∧ y∈ C ) ∧ (x∈ B∧ y∈ D)
⇔ < x, y > ∈ A⨯C∧ < x, y > ∈ B⨯D
⇔ < x, y > ∈(A⨯C)⋂(B⨯D)。