离散数学结构
离散数学结构 习题A
习题101、列出以下运算的运算表：(1) A={1,2,}，x∈A，x是x的倒数，即x=.(2) A={1,2,3,4},x,y∈A有x y=max(x,y),max(x,y)是x和y之中较大的数。
答案2、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：(1) 整数集合Z和普通的减法运算(2) 非零整数集合Z*和普通的除法运算(3) 全体n×n实矩阵集合M n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2(4) 全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2(5) 正实数集合R+和运算，其中运算定义为：ａ,ｂ∈R+,a b=ab-a-b(6) n∈Z+,nZ={nz|z∈Z}.nZ关于普通的加法和乘法运算。
(7) A={a1,a2,...,a n},n≥2.运算定义如下：a i,a j∈A,a i a j=a i.(8) S={2x-1|x∈Z+}关于普通的加法和乘法运算。
(9) S={0,1},S关于普通的加法和乘法运算。
(10)S={x|x=2n,n∈Z+}，S关于普通的加法和乘法运算。
答案3、对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律、结合律和分配律。
答案4、对习题2中封闭的二元运算找出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元。
答案5、S=Q×Q,Q为有理数集，*为S上的二元运算，<a,b>,<x,y>∈S有<a,b>*<x,y>=<ax,ay+b>(1) *运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？(2) *运算是否有单位元，零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
答案6、R为实数集，定义以下六个函数f1,...,f6.x,y∈R有f1(<x,y>)=x+y,f2(<x,y>)=x-y,f3(<x,y>)=x·y,f4(<x,y>)=max(x,y),f5(<x,y>)=min(x,y), f6(<x,y>)=|x-y|(1) 指出哪些函数是R上的二元运算。
离散数学结构 第9章 集合基数复习
第九章集合基数主要内容1. 集合的等势与优势2. 集合的基数学习要求1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法3. 掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质4. 掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质9.1 集合的等势与优势一．集合的等势通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。
集合的势越大，所含的元素越多。
定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。
如果A不与B等势，则记作A B。
下面给出一些集合等势的例子。
例9.1 (1) Z≈N。
回顾上一章例8.6(3)，令f：Z→N，则f是Z到N的双射函数。
从而证明了Z≈N。
(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。
N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。
如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。
按照图中箭头所标明的顺序，从<0，0>开始数起，依次得到下面的序列：<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…↓↓↓↓↓↓0123 4 5设<m，n>是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。
考察m，n，k之间的关系。
首先计数<m，n>点所在斜线下方的平面上所有的点数，是1+2+…+(m+n)=然后计数<m，n>所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于<m，n>点之前的点数，是m.因此<m，n>点是第+m+1个点。
这就得到k=+m根据上面的分析，不难给出N×N到N的双射函数f，即f：N×N→Nf(<m，n>)=+m(3) N≈Q。
离散数学《离散结构R》教学大纲
《离散结构R》教学大纲课程编号：（00007732）课程中文名称：（离散结构R）注:此时为（离散结构R）课程英文名称：Discrete Mathematical Structures R总学时：（56）实验学时：（0）上机学时：（0）学分：（3.5）适用专业：计算机与软件学院——软件工程专业、计算机应用技术、物联网工程、信息安全专业一、课程性质、目的和任务（300字内）离散结构是现代数学的一个重要分支和计算机科学基础理论的核心学科，它充分描述了计算机科学离散性的特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴基础学科。
离散结构是《离散的数学结构》的缩写。
研究对象是世间一切事物之间的关系。
所采用的研究方法有集合、代数、图、数理逻辑等。
与计算机的关系：第一部分集合论.。
集合：一种重要的数据结构；关系：关系数据库的理论基础；函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分。
第二部分代数系统。
计算机编码和纠错码理论；数字逻辑设计基础；计算机使用的各种运算。
第三部分图论。
数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础。
第四部分数理逻辑。
计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物。
二、课程教学内容及学时分配（每章均包括以下三项内容）离散数学的其基本内容为：离散数学的内容分为四部分：第一部分数理逻辑：命题演算、谓词演算。
第二部分集合论：集合、关系、函数。
第三部分代数系统：运算、代数系统、半群、群、环、域、格、布尔代数。
第四部分图论：点与边、路与圈、最短路、Euler图、Hamilton图、二分图、平面图、树。
第一部分：数理逻辑(18 学时)(一)、命题符号化及联结词［教学要求］掌握命题、原子命题、命题常项、命题变项、复合命题的概念、五种常用的命题联结词和对命题进行符号化。
［教学内容］命题逻辑的基本概念(二)、命题公式及分类［教学要求］1 、掌握命题公式的概念、命题公式的解释及公式的分类；2 、了解利用真值表及利用真值表判断公式的类型。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离 散 的 数 学 结 构.
Discrete Mathematical Structures
《离散数学》参考书目
• 《离散数学》 祝颂和等编 西安交通大学出版社 • 《DICRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》 BERNARD KOLMAN PRENTICE HALL • 《Discrete Mathematics and Its Applications》 Kenneth H.Rosen McGraw-Hill • 《离散数学结构及其在计算机科学中的应用》 J.P.Tremblay，R.manohar 著 罗远诠等译 • 《离散数学》S.Lipschutz 著 杜玮译 • 《离散数学基础》C.L.liu 著 刘振宏译 • 《离散数学结构导论》王遇科著 北京工业学院 • 《离散数学》王湘浩等编 吉林大学 • 《离散数学》左孝凌等编 上海交通大学 • 《离散数学导论》徐洁磐编 南京大学 • 《离散数学基础》洪帆编 华中工学院
人体由大脑、五官、四肢、心、肝、肺等器官所组成。 基本元素是各种细胞。
2. 房屋的结构
房屋由地基、墙、门、窗、地板、房顶等建筑物所组成。 基本材料是砖、瓦、钢筋、水泥、石灰等。
3. 学校的结构
学校由若干院、系、所、处、科室、班级等单位所组成。 基本成员是教师、学生、管理人员、实验人员等。
4. 计算机的结构
计算机由主板、CPU、内存条、硬盘、软驱、电源、机箱、 显示器、键盘、鼠标等部件所组成。 基本成员是各种超大规模集成电路芯片。
各个学科的结构
• 化学的结构 化学主要由无机化学和有机化学所组成。 基本成员是各种化学元素。 • 物理的结构 物理主要由力学、电学、光学、热学所组成。 基本成员是各种场。
• 数学的结构 数学主要由连续数学和离散数学所组成。 基本成员是各种集合的元素。
离散结构与离散数学
离散结构与离散数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散结构与离散数学是计算机科学中非常重要的两门课程。
它们为计算机科学学生提供了严密的思维训练和逻辑分析的能力。
本文将详细介绍离散结构与离散数学的概念、内容以及在计算机科学中的重要性。
离散结构是数学中的一个分支，研究的是离散（不连续）的数学结构。
离散结构的研究对象包括集合论、图论、离散函数、离散关系、离散逻辑等等。
离散数学是指集合、逻辑、代数、图论、关系、函数等各种数学概念的离散性质的研究。
它主要关注那些离散的、离散的、具体的或者是不连续的数学结构。
离散结构与离散数学在计算机科学中扮演着至关重要的角色。
离散结构可以用来描述计算机算法和数据结构中的许多问题，如图论可以用来描述计算机网络拓扑结构，逻辑可以用来描述计算机程序的正确性等等。
离散结构与离散数学提供了计算机科学学生严密的思维训练和逻辑分析的能力，这对他们未来的研究和工作都是非常重要的。
离散结构与离散数学也为计算机科学研究提供了丰富的理论基础，帮助科研人员探索计算机领域的未知领域。
离散结构与离散数学常见的概念包括集合、关系、函数、图论、逻辑、代数等等。
集合是数学中最基本的概念之一，用来描述一组对象的概念。
关系用来描述两个对象之间的联系，函数则可以看作是一种特殊的关系，描述输入和输出之间的对应关系。
图论是研究由节点和边构成的图结构的数学理论。
逻辑是研究命题之间的逻辑推理规律的学科。
代数则是研究代数结构及其上的变换的数学分支。
第二篇示例：离散结构与离散数学是计算机科学和数学领域中非常重要的概念。
它们涉及到一系列离散事件和对象的研究，与连续结构和数学在某种程度上相反。
在计算机科学领域，离散结构和离散数学通常用于解决各种问题，例如算法设计、数据结构、编程语言、计算理论等。
在数学领域，离散结构和离散数学则用于研究离散性的结构和性质，对组合数学、图论、离散数论、离散概率论等有着重要的应用。
离散结构包括一系列离散的基本概念，例如集合、函数、关系、图、树等。
离散数学结构第6章集合代数
离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。
例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。
谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。
许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。
但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。
集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的⽅法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在⾃然推理系统P中构造证明4. ①⾃然推理系统P的定义②⾃然推理系统P的推理规则：前提引⼊规则、结论引⼊规则、置换规则、假⾔推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假⾔三段式规则、构造性⼆难规则、合取引⼊规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，⽤②；在P系统中构造证明时⽤③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种⽅法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会⽤附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意⼀组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
⼆、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重⾔式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重⾔式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从⽽推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同⼀样是⼀种元语⾔符号，⽤来表⽰蕴涵式为重⾔式。
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真值表 （P Q）
P T T F F Q T F下雨。
则：P Q：表示今天下雨当且仅当明天下雨。
真值表 （P Q）
P T T F F Q T F T F P Q T T T F
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示今天下雨或者明天下雨。
（4）条件（implication or conditional） 两个命题P和Q的条件是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P的真值为T时，Q的真值 为F时，PQ 的真值为F，否 则PQ的真值都是T。
离散数学结构
离散数学结构
DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURES
杭州应用工程技术学院
计算机系
叶 绿
副教授
第一章 命 题 逻 辑 1-1 命题及其表示法
命题： 所谓目标语言就是 表达判断的一些语言的汇集， 而判断就是对事物有肯定或 否定的一种思维形式，因此 能表达判断的语言是陈述句， 它称作为命题。
（8） 我正在说谎。 （9） 我学英语，或者我学日语。 （10） 如果天气好，那么我去散步。 （11） The earth is round. （12） 2 + 3 = 5 （13） 3 – x = 5 （14） Take two aspirins. （15） The temperature on the surface of the planet Venus is 800F.The sun will come out tomorrow.
真值表 （PQ）
P T T F F Q T F T F PQ T F T T
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示如果今天下雨，那么明天下雨。
（5） 双条件( equivalence or biconditional ) 两个命题P和Q的双条件是 一个复合命题，记作P Q。当 且仅当P、Q真值相同时， P Q为T，在其它情况下， P Q的真值都是F。
1-2 联结词
(1) 否定 （negation）: 设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记作¬P。 若P为T，¬P为F；若P 为F，¬P为T。
(2) 合取 （conjunction） 两个命题P和Q的合取是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P、Q同时为T时，PQ为 T，在其它情况下，PQ的真 值都是F。
真值： 一个命题，总是具 有一个“值”，称为真值。真 值只有“真”和“假”两种， 记作True（真）和False（假）， 分别用符号T和F表示。
原子命题：不能分解为更简 单的陈述语句，称作原子命题。
复合命题：由联结词，标点 符号和原子命题复合构成的命 题，称作复合命题。
Example 1. Which of the following are statements? （1）中国人民是伟大的。 （2）雪是黑的。 （3）1+101=110 （4）别的星球上有生物。 （5）全体立正！ （6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！
真值表 （PQ）
P T T F F Q T F T F PQ T F F F
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示今天下雨而且明天下雨。 PQ：表示今天与明天都下雨。 PQ：表示这两天都下雨。
(3) 析取 （disjunction） 两个命题P和Q的析取是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P、Q同时为F时， PQ为 F ，在其它情况下， PQ的真 值都是T 。