离散数学-近世代数-代数结构

那么，(N，*)有没有单位元？左幺元？右幺元？
解：对任何 因此 1 是右幺a元 N。, a *1 a1 a
但 1 不是左幺元，因为 所以(N，*)没有左幺元，1*当2 然12也1就没2 有幺元。
定理
代数系统(U,)的单位元若存在，则唯一。 证：设 e 为运算“ ”的幺元，另有一单位
元 e，
例题
设集合S={α，β，γ，δ，ζ} ，定义在S上的一个二 元运算如下表所示，试指出代数系统(S，)中各 个元素的左、右逆元情况。
解：是幺元， 是 的左逆元 ， 是 的右逆元 ； 是 、 的左 逆元， 、是 右逆元 ； 是 的左逆元 , 是 的右逆元； 是 的左逆元, 是 的右逆元。
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对 于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算 是等幂的。
例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算， ∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合 的“交”运算，∩，∪是等幂的？
解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
代数结构的概念 半群与群 环和域 格与布尔代数
第12章 代数结构的概念
第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构
难点：
同态基本定理
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有 a*b = b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满 足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ： 对任何 a,b I , a ob a b (a b) 其中的 +， 分别是通常数的加法和乘法。 可以满足交换律吗？
分配律(左分配，右分配)
设有代数系统(S，*)，对a，b，cS，如果有 (a*b)*c= a*(b*c), 则称此代数系统的运算满足结合律。 例：设A是一个非空集合， ★是A上的二元运算，对于任意a，
bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。 证：∵ 对于任意的a，b ，c A，
(a ★b)★c= b ★c= c 而a★(b★c)=a★ c= c， ∴(a★b)★c= a★(b★c) ∴★是满足结合律的.
逆元。
例子
对代数系统(R，*)，* 为二元运算，定义为通 常数的乘法。R为实数集合。
aR，a 0，a 的逆元是什么?
对代数系统(I，*)， * 为二元运算，定义为通 常数的乘法。I 为整数集合。
哪些元素有逆元？
(R{1}，*)， * 为二元运算，定义为通常数的 乘法。 R{1}为除了 1 之外的实数集合。
代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相 对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代 数系统是同类型的。
定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足 下列条件：
① U U；
② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*) 是(U，)的子系统或子代数 。
代数运算及其性质
例:
代数系统(I，×)的零元是什么？ 在所有n阶方阵集合M上的代数系统(M，×)，零
元是什么？
在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，( I+， Min)的零元是什么？
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大
于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有
设有代数系统(S，，*)，对a,b,cS，如果有 a(b*c)=(ab)*(ac)，则称 “”运算对“*”运算满足左分配律。 若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)，则称 “*”对 “”满足
左分配律 若有(a* b)c=(a* c)(b* c)，则称“” 对“*” 满足右分配律。 若(ab)*c=(a* c)(b* c)，则称“*”运算对“”运算满足右分配律。
* 1234
abcd
1 4124 a bbbd
2 4234 b a adb
3 1433
c cbca
4 1211 解：
d aacd
作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
例
代数结构〈R+; *〉,〈R;+〉同构吗？
证明：<R+,*>与<R,+>同构
下面证明二者之间存在双射关系且满足同态方程。 i)建立双射关系： 令f:R+R, f(x)=lnx 显然，f是单射
离散数学
Discrete Mathematics
School of Mathematics and Computing Science
第四篇 代数系统
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）.
代数结构是抽象代数的一个主要内容.
研究的中心问题： 集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
是否代数系统？ 需要满足的条件？
对于集合A，称运算f: A B 是封闭的, 如果BA。
代ห้องสมุดไป่ตู้系统的基本概念
一个代数系统需要满足以下三个条件： 有一个非空集合S； 有一些建立在集合S上的运算； 这些运算在S上是封闭的。
例 在整数集合 I 上定义 如下：
对任何 a,b I , a ob a b a b 其中的+， 分别是通常数的加法和乘法。 那么 是一个从 I 2 到 I 的函数， 易知 在集合 I 上是封闭的，<I， > 是 一个代数系统。
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的 加法和乘法。
是否满足交换律？
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU， 使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。
注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运 算可能单位元是不一样的。
列与表头的列完全相同。 元素x为左逆元x对应的行中至少有一个单位元。 元素x为右逆元x对应的列中至少有一个单位元。 元素x与元素y互为逆元x所在行与y所在列交叉位置元素为
单位元且x所在列与y所在行交叉位置元素为单位元。
代数结构之间的关系
为什么需要研究代数结构之间的关系？ 在研究代数结构的过程中，所关心的常常是代 数结过中运算所满足的性质，不关心具体的运 算，而对于遵循相同运算规律的系统只需要研 究其中一个就可以了解其它的系统.
法和乘法，都是在集合R上的二元运算。
由集合S及S上的封闭运算f1，f2，…，fk所组成的系统 就称为一个代数系统，记作<S，f1，f2 ,…，fk>, 或 （S，f1，f2 ,…，fk）.
例1 〈Z; +,＊〉, 〈Z; -, ＊〉,〈N, - 〉, 〈{T,F}; ┐,∧,∨〉, 〈P(A); ∪,∩〉
有限集合上运算的性质
*是封闭的表上每个元素都属于S。 *满足交换律表中元素关于主对角线对称。 元素x为左零元x对应的行中每个元素都是x。 元素x为右零元x对应的列中每个元素都是x。 元素x为零元x对应的行中每个元素都是x且x对应的列中每
个元素都是x。 元素x为左单位元x对应的行与表头的行完全相同。 * 元素x为右单位元x对应的列与表头的列完全相同。 元素x为单位元x对应的行与表头的行完全相同且x对应的
① 若f是满射，则称f是(U，)到(V，*)的满同态映射， (U，) 与(V，*)是满同态。
② 若f是单射，则称f是(U，)到(V，*)的单同态映射， (U，) 与(V，*)是单同态。
③ 若f是双射，则称f是(U，)到(V，*)的同构映射， (U，) 与(V，*)是同构的。
例
1. 设集合A={a，b，c}，在A上定义运算。如下表， 那么， V1=(I，+)， V1=(A，º)，其中 I 是正整数集合， + 运算是普通的加法。V1 和V1是否同态？
∵e是幺元，∴对xU，有ex =x，取x= e ，
则e e = e
①
又∵ e是幺元，∴对xU，有x e =x，取
x=e，则e e =e
②
由 ① ② 式可得： e =e，即幺元唯一。
零元
代数系统(S，)，如果存在一个元素θS，使得对 xS有：θx =xθ=θ，则称θ为对于运算“ ” 的零元。
若只满足θx =θ，则θ称为左零元。 若只满足 xθ=θ，则θ称为右零元。
哪些元素有逆元？
注意
因此，关于逆元，下述结论是正确的：
① 当幺元存在时，才考虑逆元。
② 逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有 逆元，有些元素则可能没有逆元。如果 a 和 b 都有逆元且 a b，则 a-1 和 b-1 也不相同。
③ 一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。
④ 设 e 幺元，只有当 a ºb = e 和 b ºa = e 同时成 立时，b才能是 a 的逆元，如果只有一个成立， b 也不是 a 的逆元。
yR, x=ey 使y=lney =lnx=f(x)
f 是满射 f是从R+到R的双射 ii)f 满足同态方程：
f(a*b)= ln（a*b）=lna+ lnb = f(a) + f(b)
综上，<R+,*>同构于<R,+>
定理
设代数系统 V1 S1,*,o 和 V2 S2,*,o
abc a abc b bab c acb
解：作映射 f ：IA，
a, f ( x) b,