离散数学12格和布尔代数
离散数学中的布尔函数和布尔代数
离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它在计算机科学等领域扮演着重要的角色。
布尔函数和布尔代数是离散数学中的重要概念之一，它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。
布尔函数是一种将布尔域上的值映射为布尔域上的值的函数。
布尔域上的值只有两个：真和假。
布尔函数的输入和输出都是布尔值。
布尔函数可以通过真值表、函数表达式或者逻辑电路图表示。
常见的布尔运算有与运算、或运算、非运算等。
布尔函数可以定义在不同的布尔变量上，而布尔变量可以取真或假两个值。
通过组合不同的布尔运算，可以构造出复杂的布尔函数。
布尔代数是研究布尔函数性质和运算规则的代数系统。
布尔代数的基本操作有与运算、或运算、非运算等。
与运算、或运算和非运算是布尔函数的基本运算，在布尔代数中具有特殊的性质。
例如，与运算满足交换律、结合律和分配律；或运算满足交换律、结合律和分配律；非运算满足德摩根定律。
布尔代数还有很多其他的运算规则，如吸收律、零元律、幂等律等。
这些运算规则可以用来简化布尔函数，使其更加简洁明了。
布尔函数和布尔代数在逻辑电路设计中起着重要的作用。
逻辑电路是一种基础的电子电路，用来完成逻辑运算。
布尔函数可以用来描述逻辑电路的功能，布尔代数可以用来简化逻辑电路。
通过布尔函数和布尔代数可以设计出各种复杂的逻辑电路，如逻辑门、多路选择器、时序电路等。
逻辑电路在计算机硬件中广泛应用，是计算机工作的基础。
因此，研究布尔函数和布尔代数不仅有助于理解离散数学的基本概念，也对计算机科学和工程领域有着重要的实际意义。
此外，布尔函数和布尔代数在计算机编程中也具有重要的应用。
计算机程序是一系列指令的集合，通过执行这些指令实现特定的功能。
布尔函数可以用来描述程序中的条件和逻辑关系，判断某个条件是否成立，从而确定程序的执行路径。
布尔代数可以用来简化程序的逻辑表达式，使程序更加高效和可读。
在编程语言中，布尔变量和布尔运算是基础数据类型和基本运算符之一，它们与布尔函数和布尔代数密切相关。
离散数学中的代数系统和布尔代数
离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。
代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。
代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。
它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。
代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。
其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。
布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。
布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。
布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。
与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。
这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。
布尔代数的运算有很多有趣的性质。
比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。
这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。
布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。
在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。
布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。
总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。
代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。
离散数学第五章格与布尔代数2
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
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离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里：S={0,1}，00, 01, 11,其运算表如下：
2021/5/22
3
x
离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
1
xx
01 10
表2
通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。即，令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里：X={a})
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离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运 算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、 分配律的对称性，半序关系≼和其逆关系≽的对称性； 最小元0和最大元1的对称性；以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注：•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上，它们互为对偶；
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定 义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证：
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里：X={a1, a2, , an}，即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
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❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
离散数学格的概念
∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大下界等于a、b的最大公约数。
❖ 基本概念
< B2 , D >是否 < S30 , D >的子格?
30
6
30
10
6 15
2
3
10
15
1 ∨1 2 3 6 11236 22266
2
53
5
∧1 2 3 6
1
11111
21212
说明：
33636 66666
31133 61236
(1) 子格必是格。
运算∨和∧在B1上封闭，B1 S30 且B1 ≠Ø, ∴ < B1, D >是 < S30 , D >的子格； 同理可证< B2 , D >是 < S30 , D >的子格
例：A={a, b, c }, < P(A) , > 所诱导的代数系统为？
< P(A),∪,∩>
❖ 基本概念
定义3:设<A,≤ >是一个格，由其所诱导的代数系统为 <A,∨,∧>。设BA且B ≠Ø ，如果运算∨和∧在B上封闭， 则称<B,≤ > 是<A,≤ >的子格。
❖ 基本概念
例2：B1 = {1,2,3,6} ， B2 = {5,10,15,30} ，< B1, D >和
离散数学
❖ 格与布尔代数 1 格的概念
离散数学中的布尔代数知识点介绍
离散数学中的布尔代数知识点介绍离散数学是计算机科学和数学中的一个重要分支，而布尔代数则是离散数学中的一个基础概念。
布尔代数是一种逻辑推理和计算的数学体系，其基本概念和运算规则直接应用于计算机计算和逻辑设计中。
一、布尔代数的基本概念布尔代数有两个基本元素：命题和逻辑操作符。
命题是关于真（True）和假（False）的陈述，可以用字母或其他符号表示。
逻辑操作符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本运算符，用于对命题进行逻辑运算。
二、布尔代数的基本运算规则1. 与运算（AND）：只有当两个命题都为真时，与运算的结果才为真。
用符号“∧”表示，例如命题A∧B表示“命题A和命题B都为真”。
2. 或运算（OR）：只要两个命题中有一个为真，或运算的结果就为真。
用符号“∨”表示，例如命题A∨B表示“命题A或命题B为真”。
3. 非运算（NOT）：将命题的真值取反，即将真变为假，将假变为真。
用符号“¬”表示，例如¬A表示“命题A的取反”。
三、布尔代数的重要性布尔代数在计算机科学和逻辑设计中具有重要的应用。
布尔代数提供了一种形式化的工具，可以对逻辑关系和计算过程进行精确的描述和处理。
利用布尔代数的运算规则，可以进行逻辑推理、逻辑运算和逻辑设计。
布尔代数为计算机的基本运算提供了理论基础，是计算机科学不可或缺的一部分。
四、布尔代数的应用领域1. 逻辑电路设计：布尔代数的基本运算规则可以用于逻辑门电路的设计与分析。
逻辑门电路由与门、或门、非门等基本门电路组成，通过布尔代数的运算规则可以进行电路的优化和逻辑设计。
2. 程序设计与算法分析：布尔代数在程序设计和算法分析中具有重要地位。
利用布尔代数的运算规则，可以对程序的逻辑关系进行抽象和分析，确保程序的正确性和可靠性。
3. 数据库查询与管理：布尔代数可用于数据库查询和管理中的条件表达式构建。
通过布尔代数的运算规则，可以对数据库数据进行选择、过滤和计算，实现对数据的高效管理与查询。
离散数学中的布尔代数与逻辑运算
离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散、离散结构及其性质。
其中，布尔代数和逻辑运算是离散数学中的重要内容。
布尔代数是离散数学中的一个分支，它是建立在两个元素的集合上的一种数学结构。
布尔代数的基本元素是0和1，分别表示假和真。
在布尔代数中，有四种基本运算：与（AND）、或（OR）、非（NOT）和异或（XOR）。
这些运算在逻辑中起着至关重要的作用。
布尔代数可以应用于计算机科学、电路分析和逻辑推理等领域。
逻辑运算是根据一定的规则对命题进行运算的过程。
逻辑运算包括命题的合取（AND）、析取（OR）、否定（NOT）和条件（IF-THEN）等。
布尔代数是逻辑运算的数学基础，在逻辑运算中起着重要的作用。
通过布尔代数的运算规则，可以对逻辑表达式进行简化，并得出正确的逻辑推理结果。
布尔代数和逻辑运算在计算机科学中有广泛的应用。
在计算机中，所有的数据都是以二进制形式存储和运算的。
布尔代数的基本元素0和1对应于计算机中的假和真。
通过布尔代数的运算规则，可以实现复杂的逻辑运算，如逻辑与、逻辑或、逻辑非等。
这些逻辑运算在编程中经常使用，可以实现条件判断、循环控制等逻辑功能。
布尔代数的运算规则也被应用于逻辑电路的设计和分析，如与门、或门和非门等。
此外，布尔代数和逻辑运算还广泛应用于电路分析和数字电子技术中。
在电路分析中，逻辑门是一个重要的电路元件，用于实现布尔运算。
通过逻辑门的组合，可以实现不同逻辑函数的实现。
逻辑门通过电平的输入和输出来进行逻辑运算，具有高可靠性和稳定性。
逻辑门的组合可以实现各种电路和系统的设计和实现，如计算机的中央处理器、存储器和输入输出接口等。
总而言之，离散数学中的布尔代数和逻辑运算在计算机科学、电路分析和逻辑推理等领域起着重要的作用。
通过对布尔代数和逻辑运算的理解和应用，可以优化电路设计、简化逻辑运算和提高计算机编程的效率。
布尔代数和逻辑运算是离散数学中的重要内容，深入研究和应用布尔代数和逻辑运算对于理解计算机科学和电子技术具有重要意义。
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第十二章 格和布尔代数12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨证明因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。
又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。
即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。
12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。
又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。
即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。
所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。
（2）证明因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。
又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。
从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。
即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。
因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。
10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。
证明因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。
于是有：)((b a a a a a ∧∨∧=∧)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =同理可证，a a a =∨。
故∨和∧也满足等幂律。
10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨证明（1）必要性因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。
又因为格为分配格，所以)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨。
因此，)()(c b a c b a ∧∨∧∨ 。
（2）充分性因为对于c b a ,,∀，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨ ，则)()()(c c b a c b a ∧∧∨=∧∨ （等幂律）c c b a ∧∧∨=))(( （结合律） c c b a ∧∧∨))(( （假设） c a c b ∧∨∧=))(( （交换律） )()(c a c b ∧∨∧ （假设）又因为b a a ∨ ，c c ，所以c b a c a ∧∨∧)( ；同理，c b a c b ∧∨∧)( 因此，c b a c b c a ∧∨∧∨∧)()()( 综上所述，)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨ 故该格是可分配的。
10.5 证明一个格),( A 是分配的，当且仅当对A 中的任意元素a ，b 和c ，有)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧证明（1）必要性因为格),( A 是分配的，所以对于任意的A c b a ∈,,，我们有：)()()()()()()())(())(())()(())()(()()()(a c c b b a a c a b c b c a a c b c b a a c b b a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∨∧∨∧∨∧∨=∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∧∨∧∨∧=∧∨∧∨∧（2）充分性因为对于任意的A c b a ∈,,，我们有：)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧从而把上式中的c b a ,,分别代以)(,),()(c b a c a b a ∨∨∧∨得：)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨=因为，)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))(()((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨= )))()(()(())(())((c a b a c b c b a a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨= ))()()(()))(((c a b a c b c b a a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨=))()())((c a b a c b a ∨∧∨∧∨∨= ))()()((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()())((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()(a c c b a ∧∨∧∨= )())((c b a c a ∧∨∧∨= )(c b a ∧∨=又因为)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨ )()()()()()(c b a c b a c b a c b a c a b a ∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∧∨=)()()(c b a c a b a ∨∨∧∨∧∨= )))(()(()(b c a c a b a ∨∨∧∨∧∨= )()(c a b a ∨∧∨=因此，)()()(c a b a c b a ∨∧∨=∧∨。
由对偶定理知，)()()(c a b a c b a ∧∨∧=∨∧。
故),( A 是分配格。
12.6 一个格),( A 称为模格，如果对A 中任意的a ，b 和c ，有c b a c b a ∧∨=∧∨)()(，其中c a 。
证明一个格是模格，当且仅当下述条件成立)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨证明（1）必要性由于),( A 是一个格，且对于A c b a ∈∀,,，都有)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨。
因为c a 时，有c c a =∨，所以c b a c b a ∧∨=∧∨)()(。
故),( A 是模格。
（2）充分性若),( A 是模格，则对于A c b a ∈∀,,，当c a 时，有c b a c b a ∧∨=∧∨)()(。
因为c a a ∨ ，所以，在上式中将c 代以c a ∨得：)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨。
12.7 证明，在一个布尔代数中，有b a b a a ∨=∧∨)(和b a b a a ∧=∨∧)(。
证明b a b a b a a a b a a ∨=∨∧=∨∧∨=∧∨)(0)()()( b a b a b a a a b a a ∧=∧∨=∧∨∧=∨∧)(0)()()(12.8 设),,,(∧∨A 是一个布尔代数，证明),(⊕A 是一个交换群。
其中⊕定义为：对于A b a ∈,有)()(b a b a b a ∧∨∧=⊕证明（1）封闭性对于A b a ∈∀,，由于,,∧∨这三个运算在A 上是封闭的，所以，A b a b a b a ∈∧∨∧=⊕)()(。
（2）结合律对于任意的A c b a ∈,,，有c b a b a c b a ⊕∧∨∧=⊕⊕))()(()())()(()))()(((c b a b a c b a b a ∧∧∨∧∨∧∧∨∧= )))()((()()(c b a b a c b a c b a ∧∨∧∨∨∧∧∨∧∧= )))()((()()(c b a b a c b a c b a ∧∧∨∧∨∧∧∨∧∧= )()()()(c b a c b a c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧=同理可得：)()()()()(c b a c b a c b a c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧=⊕⊕ 因此，c b a c b a ⊕⊕=⊕⊕)()(。
（3）幺元对于任意的A a ∈，我们有：a a a a a a =∨=∧∨=∧∨∧=⊕0)1(0)0()0(0 a a a a a a =∧=∨∧=∧∨∧=⊕10)1()0()0(0因此，0是A 中关于运算⊕的幺元。
（4）逆元对于任意的A a ∈，有000)()(=∨=∧∨∧=⊕a a a a a a 因此，a 的逆元为a 。
（5）交换律对于A b a ∈,，我们有a b a b a b b a b a b a ⊕=∧∨∧=∧∨∧=⊕)()()()(。
综上所述，),(⊕A 是一个交换群。
12.9 用哈斯图给出一个四个元的格，它是分配格，但不是有补格。
解哈斯图如图12.1)(a 所示：图12.1 习题9-10答图12.10 画两个五个元的格，一个是分配格，一个不是分配格，用哈斯图表示。
解图12.1)(b 所示为分配格； 图12.1)(c 所示不为分配格。
12.11 )1,0,,,(⋂⋃S 是一个分配格，令}|{'的补是x x S x A ∈=，证明A 是S 的子格。
证明由于0，1互为补元，所以A ∈1,0,故A 非空。
对于任意的A b a ∈,，存在S b a ∈','，使','b a 分别为b a ,的补元。
因为S 是一个有界分配格，有000)''()''()''()''()''()(=∨=∧∧∨∧∧=∧∧∨∧∧=∧∧∨b b a b a a b b a a b a b a b a111)''()''()''()''()''()(=∧=∨∨∧∨∨=∨∨∧∨∨=∧∨∧b b a b a a b b a a b a b a b a同理可证1)''()(=∧∨∨b a b a0)''()(=∨∧∧b a b a因此，b a b a ∧∨,均具有补元，从而A b a b a ∈∧∨,。
所以，A 是S 的子格。
12.12 }60,30,12,6,5,4,23,1{=A ，对于A y x ∈∀,，R y x ∈),(当且仅当y x |。
（1）画出),(R A 的哈斯图。