最新离散数学第十五章格与布尔代数简
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离散数学中的代数系统和布尔代数
离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。
代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。
代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。
它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。
代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。
其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。
布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。
布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。
布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。
与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。
这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。
布尔代数的运算有很多有趣的性质。
比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。
这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。
布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。
在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。
布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。
总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。
代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。
格与布尔代数课件2
= {y | y≤x1} ∩{y | y≤x2} = f(x1) ∧2 f(x2) f (x1∨1x2) = f (max{x1,x2}) = {y | y≤max{x1,x2}}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f，使得对 x1,x2 A， 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2)，f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律：a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明：幂等律 ∵ a≤a，∴ a是a的上界，而a∨a是a的最小上界， ∴a∨a≤a ，又 ∵ a≤a ∨a，
由反对称性得：a∨a = a 由对偶原理得，a∧a = a
第15页，共28页。
证明：吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a， a∨(a ∧ b)≤a
解：< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页，共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系，对a,b P(S)，
a、b的最小上界等于a∪b，
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2，>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1：,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f，使得对 x1,x2 A， 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2)，f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律：a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明：幂等律 ∵ a≤a，∴ a是a的上界，而a∨a是a的最小上界， ∴a∨a≤a ，又 ∵ a≤a ∨a，
由反对称性得：a∨a = a 由对偶原理得，a∧a = a
第15页，共28页。
证明：吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a， a∨(a ∧ b)≤a
解：< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页，共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系，对a,b P(S)，
a、b的最小上界等于a∪b，
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2，>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1：,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
离散数学课件13.4布尔代数
有限布尔代数的表示定理
定理13.11 若B是有限布尔代数,则 B含有2n个元(n∈N), 并且B与<P(S),∩,∪,~,,S>同构, 其中S是一个n元集合.
举例
格S12,gcd.lcm是布尔代数吗? 解: S12={1,2,3,4,6,12}的元素个数6, 不是2的整数幂, 故不是布尔代数. 不难看出2没有补元,因为 2∨x=lcm(2,x)=12当且仅当 x=12, 而12的补元是1而不是2.
例
集合代数<P(S),∩,∪,~,,S>是 布尔代数.
开关代数<{0,1},∧,∨,￢,0,1>是 布尔代数,其中∧为与运算,∨为或 运算, ￢为非运算.
布尔代数有以下性质.
定埋13.10 设<B,∧,∨,',0,1>是布尔代数, 则有:
a∈B,(a’)’＝a(双重否定律), a,b∈B, (a∨b)'=a'∧b'
布尔格、布尔代数
定义13.12 如果格<L,∧,∨,0,1>是有 补分配格,则称L为布尔格,也叫做布 尔代数. 由于布尔代数L中的每个元都有唯一 的补元,求补运算也可以看成是L中的 一元运算. 因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,1>, 其中'表示求补运算.
布尔代数的等价定义
定义13.13(公理化定义): 有两个二元运算的代 数B,*, 称为布尔代数,如果对任意元素 a,b,cB,成立
•此类布尔表达式可用带3个基本元件的电路来实 现.3个基本元件是:
①反相器
x
x’
②与门
x xy
y
③或门
x xy
y
实例之一
•实例1: 三人委员会表决某个提案,如有两张赞 成票即获通过,实现上述过程的表决机器的控制 电路如下图所示:
离散数学格与布尔代数
<L, > <L, , *>
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
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<S15,|>,
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§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
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<S15,|>,
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§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
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c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号：06082002 适用专业：计算机科学与技术学时数：60学分数：4 开课学期：第 2 学期先修课程：线性代数、高级语言程序设计(C语言)执笔者：傅彦、顾小丰、刘启和、王庆先、王丽杰编写日期：2011.03 审核人（教学副院长）：周世杰一、课程性质和目标（用小四号黑体字）授课对象：本科生课程类别：学科基础课教学目标（本课程对实现培养目标的作用；学生通过学习该课程后，在思想、知识、能力和素质等方面应达到的目标）：离散数学是一门理论兼实际应用的综合性学科，即具有严备的理论基础，又具备应用科学的特点。
它是计算机科学和其他应用科学的基础理论课。
在课堂教学中，不仅要求学生掌握离散数学具体内容，更重要的是强调离散数学课程的思想，特别是离散数学中逻辑的概念可以说是贯穿到整个教学中；通过课后实验，学生不仅能够加深对离散数学知识的进一步理解，而且还可以从实验中提高自己的实践动手能力和编程能力，最关键的是提高学生学习离散数学的兴趣和了解离散数学与其他课程之间的关系。
通过本课程学习，培养和训练学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理的能力，使学生了解离散数学在计算机学科和日常生活中的作用，为学生今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事物和科研项目，从事计算机科学和应用打下坚实基础，特别是对那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，更是一门必不可少的基础理论工具。
二、课程内容安排和要求（用小四号黑体字）（一）教学内容、要求及教学方法（用五号宋体加粗）第1章集合论 2学时掌握：集合的基本概念（集合的概念及表示、集合与元素的关系、集合与集合的关系、几个特殊的集合）、集合的运算。
理解：集合的应用。
了解：粗糙集简介（粗糙集合研究现状、知识与知识库、粗糙集的基本概念、成员关系，粗相等和粗包含）（本部分自学）。
教学方法：问题＋实例的讲授式教学方法第2章计数问题 2学时理解：基本原理（乘法原理、加法原理）、排列与组合（排列问题、组合问题）、容斥原理与鸽笼原理了解：递归关系、离散概率简介、计数问题的应用。
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
离散数学格与布尔代数
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<S15,|>,
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§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
Input A B Cin
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
Output S Cout
00 10 10 01 10 01 01 11
S A BCin A BCin A BCin A BCin
Cout A B Cin A B Cin A B Cin A B Cin
§7.2 格——代数系统
证〈L，≤〉为要求的格
a，b∈L，（a * b）* a ＝ a*（a * b）＝（a * a）*b＝a*b，
故a*b≤a，
L3
L1
同理a*b≤b，因此a*b是｛a，b｝的下界，
又设c是｛a，b｝的任一下界，即c≤a，c≤b，则a * c＝c，b * c＝c，于是（a * b）* c＝a *（b * c）＝a * c＝c，即c≤a * b， 所以a * b是｛a，b｝的最大下界，即a * b＝inf｛a，b｝，
离散数学近世代数代数结构
第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
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解： 在a)和c)中的哈斯图表示的偏序集是格。因为每个偏序
集中每对元素都有最小上界和最大下界。 b)所示的哈斯图的偏序集不是格，例如元素b和c没有最
小上界。只要注意到d,e,f中每一个都是上界，但这3个元素 的任何一个关于这个偏序集中的序都不小于其它两个。
格的对偶性原理是成立的：
令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序 集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。 这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中LUB{a,b} 等同于<L,≥>中GLB {a,b}，<L,≤>中GLB{a,b}等 同于<L,≥>中的LUB{a,b}。若L是有限集，这些性 质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
（结合律）
④ a(ab)=a, a(ab)=a （吸收律）
定理15.1.3 设<L,≤>是格，对任意a,b,cL， 有
①若a≤b和c≤d，则ac≤bd，ac≤bd。 ②若a≤b，则ac≤bc，ac≤bc。 ③c≤a和c≤b c≤ab ④a≤c和b≤c ab≤c
定理15.1.4 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
注意：并非每个偏序集都是格。如， 设A＝{2,3,6,8}, “整除”关系R={‹2,2›, ‹2,6›, ‹2,8›, ‹3,3›, ‹3,6›, ‹6,6›, ‹8,8›}是A上的一 个偏序关系，则<A，R>是一个偏序集，但不 是格。因为23不存在，68也不存在。
例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 不是格。
（2）如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上 界x'均有x≤x'，则称x是Y的最小上界（或上确界 LUB，least upper bound）；如果x∈X是Y的下 界且对每一个Y的下界x'均有x'≤x，则称x是Y的最 大下界（或下确界GLB，greatest lower bound ）
例：找出下图所示哈斯图的偏序集的子集 {a,b,c},{j,h}和{a,c,d f}的下界和上界。
a(bc)≤(ab)(ac) (ab)(ac)≤a(bc) 通常称上二式为格中分配不等式。
– 3．特殊的格
定义15.1.2 设<L,≤>是格，若L中有最大元和 最小元，则称<L,≤>为有界格。由于最大元存在必 唯一，故一般把格中最大元记为1，最小元记为0。
由定义可知，对任意aL，有 ① 0≤a≤1 ② a0=0, a0=a ③ a1=a, a1=1 由此可知，0是<L,≤>关于的零元，关于的 幺元；1是<L,≤>关于的幺元，关于的零元
15.1 格(lattice)
– 1．格作为偏序集
定义15.1.1 设<L,≤>是一个偏序集，若对任 意a,bL，存在 最大下界(GLB)和最小上界(LUB)， 则称<L,≤>为格。
用 ab 表 示 GLB{a,b} ， ab 表 示 LUB{a,b} ， 并称和分别为L上的交（或积）和并（或和） 运算。这样我们由偏序关系定义了两种二元运算。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合， ≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
因为x，y∈Sn， xy就是x，y的最小公 倍数，xy是x，y的最大公约数。
例 幂集P(A)上的包含关系定义了一个 偏序关系，P(A)中任意两个元素x，y，有
xy =x∪y xy =x∩y 因此，<P(A), >是一个格。
若L是有限集合，称<L,≤>为有限格。
显然，对于ab，有： ①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下界。 ②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和b 的最大下界。
对于ab，有： ①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。 ②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
离散数学第十五章格与布 尔代数简
在介绍格之前，对于我们在前面学过的偏序， 我们要补充两个内容：
1. 哈斯图 2. 最小上界与最大下界
2.最小上界与最大下界
定义 设集合X上有一个偏序关系“≤”且设Y 是X的一个子集。
（1）如果存在一个元素x∈X，对每个y'∈Y 都有y'≤x，则称x是Y的上界(upper bound)；如果 均有x≤y'，则称x是Y的下界(lower bound)。
ab=0，ab=1 称b为a的补元，记为a'。 由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 显然，0'=1和1'=0。 一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯 一，也可能无补元。
– 2．格的基本性质
定理15.1.1 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 ① ab=ba≤b ② ab=aa≤b ③ ab=aab=b
亦即 a≤bab=bab=a
定理15.1.2 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有
① aa=a, bb=b
（等幂律）
பைடு நூலகம்
② ab=ba, ab=ba
（交换律）
③ a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c
定理15.1.5 设<L,≤>是有限格，其中 L={a1,a2,···,an}，则<L,≤>是有界格。
定义15.1.3 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
① a(bc)=(ab)(ac) ② a(bc)=(ab)(ac) 则称<L,≤>为分配格，称①和②为格中分配 律。
定义15.1.4 设<L,≤>是有界格，对于aL，存 在bL，使得
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶 的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤> 中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格 <L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。 因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把 关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成 交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对 偶性原理。
解： {a,b,c}的上界是e,f,j,h，它唯 一的下界是a。 {j,h}没有上界，它的下界是 a,b,c,d,e,f。 {a,c,d f}的上界是f,h,j，它的 下界是a。
例 在上图所示偏序集中，如果{b,d,g}的最 大下界和最小上界存在，求出这个最大下界和最 小上界。
解： {b,d,g}的上界是g,h，故它的 最小上界是g。 {b,d,g}的下界是a,b，故它的 最大下界是b。
集中每对元素都有最小上界和最大下界。 b)所示的哈斯图的偏序集不是格，例如元素b和c没有最
小上界。只要注意到d,e,f中每一个都是上界，但这3个元素 的任何一个关于这个偏序集中的序都不小于其它两个。
格的对偶性原理是成立的：
令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序 集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。 这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中LUB{a,b} 等同于<L,≥>中GLB {a,b}，<L,≤>中GLB{a,b}等 同于<L,≥>中的LUB{a,b}。若L是有限集，这些性 质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
（结合律）
④ a(ab)=a, a(ab)=a （吸收律）
定理15.1.3 设<L,≤>是格，对任意a,b,cL， 有
①若a≤b和c≤d，则ac≤bd，ac≤bd。 ②若a≤b，则ac≤bc，ac≤bc。 ③c≤a和c≤b c≤ab ④a≤c和b≤c ab≤c
定理15.1.4 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
注意：并非每个偏序集都是格。如， 设A＝{2,3,6,8}, “整除”关系R={‹2,2›, ‹2,6›, ‹2,8›, ‹3,3›, ‹3,6›, ‹6,6›, ‹8,8›}是A上的一 个偏序关系，则<A，R>是一个偏序集，但不 是格。因为23不存在，68也不存在。
例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 不是格。
（2）如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上 界x'均有x≤x'，则称x是Y的最小上界（或上确界 LUB，least upper bound）；如果x∈X是Y的下 界且对每一个Y的下界x'均有x'≤x，则称x是Y的最 大下界（或下确界GLB，greatest lower bound ）
例：找出下图所示哈斯图的偏序集的子集 {a,b,c},{j,h}和{a,c,d f}的下界和上界。
a(bc)≤(ab)(ac) (ab)(ac)≤a(bc) 通常称上二式为格中分配不等式。
– 3．特殊的格
定义15.1.2 设<L,≤>是格，若L中有最大元和 最小元，则称<L,≤>为有界格。由于最大元存在必 唯一，故一般把格中最大元记为1，最小元记为0。
由定义可知，对任意aL，有 ① 0≤a≤1 ② a0=0, a0=a ③ a1=a, a1=1 由此可知，0是<L,≤>关于的零元，关于的 幺元；1是<L,≤>关于的幺元，关于的零元
15.1 格(lattice)
– 1．格作为偏序集
定义15.1.1 设<L,≤>是一个偏序集，若对任 意a,bL，存在 最大下界(GLB)和最小上界(LUB)， 则称<L,≤>为格。
用 ab 表 示 GLB{a,b} ， ab 表 示 LUB{a,b} ， 并称和分别为L上的交（或积）和并（或和） 运算。这样我们由偏序关系定义了两种二元运算。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合， ≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
因为x，y∈Sn， xy就是x，y的最小公 倍数，xy是x，y的最大公约数。
例 幂集P(A)上的包含关系定义了一个 偏序关系，P(A)中任意两个元素x，y，有
xy =x∪y xy =x∩y 因此，<P(A), >是一个格。
若L是有限集合，称<L,≤>为有限格。
显然，对于ab，有： ①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下界。 ②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和b 的最大下界。
对于ab，有： ①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。 ②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
离散数学第十五章格与布 尔代数简
在介绍格之前，对于我们在前面学过的偏序， 我们要补充两个内容：
1. 哈斯图 2. 最小上界与最大下界
2.最小上界与最大下界
定义 设集合X上有一个偏序关系“≤”且设Y 是X的一个子集。
（1）如果存在一个元素x∈X，对每个y'∈Y 都有y'≤x，则称x是Y的上界(upper bound)；如果 均有x≤y'，则称x是Y的下界(lower bound)。
ab=0，ab=1 称b为a的补元，记为a'。 由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 显然，0'=1和1'=0。 一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯 一，也可能无补元。
– 2．格的基本性质
定理15.1.1 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 ① ab=ba≤b ② ab=aa≤b ③ ab=aab=b
亦即 a≤bab=bab=a
定理15.1.2 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有
① aa=a, bb=b
（等幂律）
பைடு நூலகம்
② ab=ba, ab=ba
（交换律）
③ a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c
定理15.1.5 设<L,≤>是有限格，其中 L={a1,a2,···,an}，则<L,≤>是有界格。
定义15.1.3 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
① a(bc)=(ab)(ac) ② a(bc)=(ab)(ac) 则称<L,≤>为分配格，称①和②为格中分配 律。
定义15.1.4 设<L,≤>是有界格，对于aL，存 在bL，使得
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶 的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤> 中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格 <L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。 因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把 关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成 交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对 偶性原理。
解： {a,b,c}的上界是e,f,j,h，它唯 一的下界是a。 {j,h}没有上界，它的下界是 a,b,c,d,e,f。 {a,c,d f}的上界是f,h,j，它的 下界是a。
例 在上图所示偏序集中，如果{b,d,g}的最 大下界和最小上界存在，求出这个最大下界和最 小上界。
解： {b,d,g}的上界是g,h，故它的 最小上界是g。 {b,d,g}的下界是a,b，故它的 最大下界是b。