离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。

问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。

a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

例如：812=LUB{8，12}不存在。

c) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

16312486312411倒例如：46=LUB{4，6}不存在。

2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。

证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。

其中S={y|y=f (x)，x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B，故此S ⊆2B；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A)，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。

对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。

由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。

故此x ∈A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊆f (A 1∩A 2)9731这说明 GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)=f (A1∩A2)于是从A1∩A2∈2A可知f (A1∩A2)∈S，即下确界GLB{B1，B2}存在。

因此，〈S，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。

3．设〈L，≼〉是格，任取a，b∈L且a≼b。

证明〈B，≼〉是格。

其中B={x|x∈L 且 a≼x≼b}[证] 显然B⊆L；根据自反性及a≼b≼b所以a，b∈B，故此B非空；对于任何x，y∈B，则有a≼x≼b及a≼y≼b，由于x，y∈L，故有z1=x y 为下确界∈L存在。

我们只需证明z1，z2∈B即可，证明方法有二，方法一为：由于a≼x，所以a x=x，于是z1=x y=(a x) y （利用a x=x）=a (x y) （由运算结合律）因此a≼z1；另一方面，由y≼b可知y b=b，由x≼b可知x b=b，于是z1b=(x y) b=x(y b) （由运算结合律）=x b （利用y b=b）=b （利用x b=b）因此 z1≼b，即 a≼z1≼b 所以z1∈B由于a≼x及a≼y，所以a*x=a，a*y=a，因而a*z2=a* (x*y)=(a*x) *y （由*运算结合律）=a*y （利用a*x=a）=a （利用a*y=a）因而a≼z2；又由于y≼b，所以y*b=y 于是z2=x*y=x* (y*b)=(x*y) *b （利用*运算结合律）=z2*b从而z2≼b，即a≼z2≼ b 所以z2∈B因此〈B，≼〉是格（是格〈L，≼〉的子格）。

方法二：根据上、下确界性质，由a≼x，a≼y，可得a≼x*y，（见附页数）4．设〈L，≼，*，〉是格。

a，b∈L，证明：（附页）a≼x≼y，即a≼z2，a≼又由x≼b，y≼b，可得x y≼b，x*y≼y≼b，即z1≼b，z2≼b所以a≼z1≼b，a≼z2≼b，故此z1，z2∈Ba*b≺a且a*b≺b a与b是不可比较的。

[证] 先证用反证法，假设a与b是可比较的，于是有a≼b或者b≼a。

当a≼b时，a*b=a与a*b≺a（得a*b≠a）矛盾；当b≼a时，a*b=b与a*b≺b（得a*b≠b）矛盾；因此假设错误，a与b是不可比较的。

次证由于a*b≼a，a*b≼b。

如果a*b≼a，则a≼b，与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠a，故此a*b≺a；如果a*b=b，则b≼a，也与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠b，故此可得a*b≺b。

5．设〈L，≼，*，〉是格。

证明：a) (a*b) (c*d)≼(a c) * (b d)b) (a*b) (b*c)≼(c a)≼(a b) * (b c) * (c a)[证] a) 方法一，根据上、下确界的性质，由a*b≼a≼a c及a*b≼b≼b d 所以得到a*b≼(a c) * (b d)又由 c*d≼c≼a c及c*d≼d≼b d，所以得到c*d≼(a c) * (b d)因此(a*b) (c*d) ≼ (a c) * (b d)方法二 (a*b) (c*d)≼[(a c) * (a d)] * [(a c) * (b d)]（分配不等式，交换律，结合律，保序性）≼(a c) * (b d) （保序性）b) 方法一，根据上、下确界的性质由a*b≼a≼a b，a*b≼b≼b c，a*b≼a≼c a可得a*b≼(a b) * (b c) * (c a)同理可得b*c≼(a b) * (b c) * (c a)及 c*a≼(a b) * (b c) * (c a)所以(a b) (b c) (c a)≼(a b) * (b c) * (c a)方法二：(a b) (b c) (c a)≼[b* (a c)] (c*a) （交换律，结合律，分配不等式，保序性）≼[b (c*a)] * [(a c) (c*a)]（分配不等式，交换律，）≼[(a b) * (b c)] * (a c)（分配不等式，结合律，交换律，吸收律，保序性）≼(a b) * (b c) * (c a) （结合律）6．设I是整数集合。

证明：〈I，min，max〉是分配格。

[证] 由于整数集合I是全序集，所以任何两个整数的最小者和最大者是存在的，因此〈I，min，max〉是格是格是显然的。

下面我们来证〈I，min，max〉满足分配律对于任何a，b，c∈I 有a* (b c)=min{a，max{b，c}}(a*b) (a*c)=min{min{a，b}，min{a，c}}（1）若b≤c时，当（a） a≤b，则a≤c ，故此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，a}=a（b）b≤a≤c ，则min{a，max{b，c}}=min{a，c}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=a（c）c≤a，则b≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，c}=cmax{min{a，b}，min{a，c}}=max{b，a}=c（2）若c≤b时，当（a）a≤c，则a≤b，故此min{a，max{b，c}}=min{a，b}max{min{a，b}，min{a，c}}=min{a，a}=a（b）c≤a≤b，则min{a，max{b，c}}=min{a，b}=amax{min{a，b}，min{a，c}}=max{a，c}=a（c）b≤a，则c≤a，因此min{a，max{b，c}}=min{a，b}=bmax{min{a，b}}，min{a，c}}=max{b，c}=b综合（1）（2）总有a* (b c)=(a b) * (a c)根据对偶原理，就还有a (b*c)=(a b) * (a c)因此〈I，min，max〉是分配格。

7．设〈A，*，，max〉是分配格，a，b∈A且a≼b。

证明：f (x)=(x a) *b是从A到B的同态函数。

其它B={x|x∈A且a≼x≼b}[证] 由于a≼x a，及已知a≼b，所以a≼(x a)*b；其次(x a)*b≼b，所以a≼ f (x) ≼b，因而f (x)是从A到B的函数。

对于任何x，y∈A，f(x y)=((x y)a)*b=((x a) (y a)) *b（幂等律，交换律，结合律）=((x*a)b)((y a) *b)（分配律）=f (x) f (y)f (x*y) =((x*y) a) *b=((x a) * (ya))*b （分配律）=((x a) *b)((y a) *b) （幂等律，交换律，结合律）=f (x) *f (y)所以，f满足同态公式，因而f 是从A到B的同态函数。

8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是a，b，c∈L，有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。

对于任何a，b，c∈L，(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) （交换律，分配律）=(b (c*a)) * ((a c) (c*a)) （分配律）=(b c) * (b a) * (a c) （分配律，吸收律）=(a b) * (b c) * (c a) （交换律）充分性，f满足同态公式，因而f是从A到B的同态函数。

8．证明：一个格是分配格的充分必要条件是a，b，c∈L，有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。

对于任何a，b，c∈L，(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) （交换，分配律）=(b (c*a))(( a c) (c*a)) （分配律）=(b c) * (b a) * (a c) （分配律，吸收律）=(a b) * (b c) * (c a) （交换律）充分性，对于任何a，b，c∈La (b*c)=(a (a*c)) (b*c) （吸收律）=((a (a*b)) (a*c)) (b*c) （吸收律）=(a*b) (b*c) (c*a) a （交换律，结合律）=((a b) * (b c) * (c a)) a （已知条件）=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) a （交换律，吸收律）=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) (a* (a b) * (a c)) （吸收律）=(((a b) * (a c)) (b c)) * ((b c) a) * (a((a b)) * (a c)))（已知条件）=(((a b) * (a c)) (b c)) * (a b c) *((a b)* (a c))（因为a ((a b) * (a c))= (a b) * (a c)=(((a b) * (a c)) (b c)) * (((a b)c) *(a b)* (a c) （结合律）=(((a b) * (a c)) (b c)) *((a b)* (a c)) （吸收律，结合律）=(a b)* (a c) （吸收律）根据对偶原理还有a* (b c)= (a b) * (a c)所以格L是分配格。