离散数学结构 第01部分 数理逻辑
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第一章数理逻辑PPT精品文档123页
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
19
中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
21
中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
6
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/20
7
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
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1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
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七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
2
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学第一部分 第一章 数理逻辑
数理逻辑的发展
• 1847年，布尔（George Boole 18151864）创立了布尔代数 • 数理逻辑的第三位奠基人是德国数学家 弗雷格（ Gottlob Frege， 1848－ 1925） • 大数学家罗素（ Bertrand Russell， 1872－1970），提出逻辑主义
数理逻辑的快速发展
定义1.2 • 设p和q均为命题，则p和q的合取式是一 个复合命题，记作p∧q，读作“p与q” 或“p合取q”。 • 当且仅当p和q均为1时，p∧q的才为1。 • 联结词“∧”也是逻辑运算，它是二元 逻辑运算。
p 0 0 1 1
表1.2 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1
合取联结词与自然语言的对应
Discrete Mathematics and Its Application
教材与参考书
• 《离散数学》
屈婉玲、耿素云、张立昂编著 高等教育出版社，2008年
教材与参考书
• 《离散数学学习指导与习题解析》
屈婉玲、耿素云、张立昂 高等教育出版社
这门课的作用
• 计算机相关的专业基础课 • 培养逻辑思维和分析、解决 问题能力 • 后续课程的基础 • 培养数学素养
定义1.4 • 设p和q均为命题，则p和q的蕴涵式是一个复合 命题，记作p→q ，读作“如果p，则q”。 • p为前件（antecedent）； • q为后件（consequent）。 • 当且仅当p为1和q为0时， p→q的才为0。 • p为q的充分条件，q为p的必要条件。
蕴涵定义的合理性
【例1.5A】 • 商家承诺：7日内，包退保换
——
第一章 命题逻辑 基本概念
1.1 1.2 命题与联结词 命题公式及其赋值
离散数学第一部分 数理逻辑
第一节 平面图的基本概念 第二节 欧拉公式 第三节 平面图的判断 第四节 平面图的对偶图 第五节 图中顶点的着色 第六节 地图的着色与平面图的点着色 第七节 边着色 习题课
第一节 支配集、点覆盖集与点独立集 第二节 边覆盖集与匹配 第三节 二部图中的匹配 习题课
第一部分 数理逻辑
一、 主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理理论
2. 命题的分类 （1）简单命题（也称原子命题） （2）复合命题 3. 简单命题符号化 （1）用小写英文字母 p，q，r，…，pi，qi，ri （i≥1）
表示简单命题 （2）用“1”表示真，用“0”表示假
例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为 0，
q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1 在本小节要弄清命题、命题的真值、真命题、假 命题、简单（原子）命题、复合命题等概念
例 将下列命题符号化. （1） 吴颖既用功又聪明. （2） 吴颖不仅用功而且聪明. （3） 吴颖虽然聪明，但不用功. （4） 张辉与王丽都是三好生. （5） 张辉与王丽是同学.
（1）—（3）说明描述合取式的灵活性与多样性 （4）—（5）要求分清联结词“与”联结的复合命题与简单命题
将各命题符号化
3. 析取式与析取联结词“∨” 定义 1.3 设 p, q 为二命题，复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析 取式，记作 p∨q，∨称作析取联结词，并规定 p∨q 为假当且仅 当 p 与 q 同时为假. 例 将下列命题符号化 （1）2 或 4 是素数. （2）2 或 3 是素数. （3）4 或 6 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. （5）王小红生于 1975 年或 1976 年. （1）—（3）为相容或 （4）—（5）为排斥或 在符号化时（5）可有两种形式，而（4）则不能
离散数学 数理逻辑__命题逻辑_(1)
EX9：“如果张三能考90分，
那么李四也能考90分。”
P ：“张三能考90分”。
Q ：“李四能考90分”。
P
Q
T
T
•P→Q： “如果张三能考90分，
T
F
那么李四也能考90分。”
F
T
F
F
P→Q T F T T
17
EX10：如果你今年离散数学考100分，那么就奖励你100元。 P：你今年离散数学考100分。 Q：奖励你100元。
8
1、否定联结词
EX3：求“我们班上所有的同学都大于18岁”的否定。 P：我们班上所有的同学都大于18岁。 ① P：我们班上所有的同学不都大于18岁。 ② P：我们班上所有的同学都不大于18岁。
9
2、合取联结词
设P、Q为两个命题，复合命题“P而且Q”称为P、Q的合取式， 记为P∧Q，“∧”称为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P 与 Q 为同时为真。一般地“既P又Q”，“不仅P而且Q”， “虽 然P但是Q”都可以符号化的含义去理解。
11
EX5：求“今天下雪且今天下雨”的否定。 P：今天下雪。 Q：今天下雨。
P Q (P∧Q)
TT
F
TF
T
FT
T
FF
T
12
思考：将“小王和小李是夫妻俩，他们都很贪婪。” 符号化。 令p:小王和小李是夫妻俩; q:小王很贪婪; r:小李很贪婪; 则可符号化为： p∧q∧r 。
5
4、联结词和复合命题
➢ 联结词： 通常“并非”, “并且”, “或”,“如果…那 么…”,“只要…就…”, “当且仅当”等词称为联结词。
在命题逻辑中主要研究由简单命题用联结词连接而成的 命题称为复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的 命题称为简单命题。（命题的分类） 注：简单命题和复合命题的划分具有相对性。 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。
(完整版)离散数学-数学逻辑(课件模板)
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
离散数学--第一篇 数理逻辑
Dr Chen Guangxi
1.2 命题公式及其真值表
【定义1.2.2】赋值 定义 赋值 设p1,p2,…,pn是出现在公式中的全部的命 题变项， 给p1,p2,…,pn各指定一个真值， 称为A的一个赋值或解释。 若指定的一组真值使A的真值为1，则称 这组真值为A的成真赋值（或成真解释）。 若指定的一组真值使A的真值为0，则称 这组真值为A的成假赋值（或成假解释）。
Dr Chen Guangxi
第一章 命题逻辑基本概念
【定义1.1.4】析取联结词 定义 】 例 （1）李军到过桂林或云南。 ）李军到过桂林或云南。 （2）数列收敛或发散。 ）数列收敛或发散。 （3）你选一楼的一间房或选二楼的一间 ） 不能既选一楼又选二楼）。 房（不能既选一楼又选二楼）。
Dr Chen Guangxi
Dr Chen Guangxi
第一章 命题逻辑基本概念
5种联结词组成一个联结词集 合 。 联结词也可以看做是命题间的运算。 出现在复合命题中的运算符号（联结词 ¬ 符）的优先顺序规定为： 在先，其次 ∨ 与 ∧ ，再其次是→与 ↔ 。此外还可以加 括号，括号内的最优先。
Dr Chen Guangxi
Dr Chen Guangxi
第一章 命题逻辑基本概念
表示命题。 一般用 p, q, rL 或 pi , qi , ri L表示命题。命题的真 值也用符号表示， 表示真， 值也用符号表示，用“1”或“T”表示真，用 或 表示真 表示假。 ，（1），（ “0”或“F”表示假。那么，（ ），（ ）的 或 表示假 那么，（ ），（2） 符号化形式为： 符号化形式为： π 的真值为1（ （1）p： 是无理数。p的真值为 （或T）。 ） ： 是无理数。 的真值为 ）。 的真值为（ （2）q：桂林属于广东省。q的真值为（或F）。 ） ：桂林属于广东省。 的真值为 ）。 由简单陈述句确定的命题称为简单命题或原子 命题。 命题。由若干个简单命题用联结词联结起来的 命题称为复合命题。 命题称为复合命题。
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第一部分数理逻辑
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。
”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。
这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。
”
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。
这又需要经历如下过程：
(1) 什么是前提？有哪些前提？
(2) 结论是什么？
(3) 根据什么进行推理？
(4) 怎么进行推理？
下面的第一章，第二章回答第一个问题。
第三章回答第二、三个问题。
下图给出了逻辑部分的知识体系。