离散数学之数理逻辑(2)
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学II
c)：最外层括号可省。 如，(¬((P ∧ ¬Q) ∨R) →((R ∨P)∨Q))
¬(P ∧ ¬Q∨R) →R ∨P∨Q
21/73
1.1 命题与命题联结词
• 例1.3：符号化下列命题。
a)：他既有理论知识又有实践经验 b)：i. 如果明天不是雨夹雪则我去学校
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1.2 公式的解释与真值表
• 原子命题在不指派真值时称为命题变元，而
复合命题由原子命题和联结词构成，可以看 作是命题变元的函数，且该函数的值仍为 “真”或“假”，可以称为真值函数（True Value Function）或命题公式。但不是说原 子命题和联结词的一个随便的组合都可以为 命题公式，我们用递归的方法来定义命题公 式。
• 例，(¬ P∧Q)，(P→(¬P ∧Q)) ，(((P∧Q) ∧(R
∨Q)) ↔(P →R))是命题公式 (P →Q )∧¬ Q)， (P →Q， (¬ P∨Q ∨(R， P∨Q ∨不是命题公式
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1.2 公式的解释与真值表
• 注意：
– 如果G是含有n个命题变元 P1, P2, …,Pn的公式， 通常记为G（P1, …,Pn）或简记为G。
汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍
及现代科学技术的诸多领域。
–离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立
起来的一门新兴的工具性学科，形成于上上个
世纪七十年代。
2/73
引言
• 课程意义
–离散数学是计算机科学的数学基础，其基本概念、 理论、方法大量地应用在数字电路、编译原理、数 据结构、操作系统、数据库系统、算法设计、人工 智能、计算机网络等专业课程中，是这些课程的基 础课程。
离散数学之命题逻辑考试答案2
离散数学之命题逻辑考试1、分析下列语句那些是命题，哪些不是命题。
（每小题1分，正确 “T ”错误写 “F ”，共10分） (1)、北京是中国首都。
(2)、大连是多么美丽啊！ (3)、素数只有有限个。
(4)、请勿吸烟！ (5)、6+8≥14。
(6)、明天有离散数学课吗？ (7)、不存在最大素数。
(8)、9<+Y X 。
(9)、所有素数都是奇数。
(10)实践出真理。
2、设P 表示命题“我学习努力”。
Q 表示命题“我考试通过”。
R 表示命题“我很快乐”。
（每小题2分，共6分） 试用符号表示下列命题：1) 我考试没通过，但我很快乐。
2) 如果我努力学习，那么我考试通过。
3) 如果我学习努力并且考试通过，那么我很快乐。
3、将下列命题符号化：（每小题2分，共14分）1) 我美丽而又快乐。
2) 如果我快乐，那么天就下雨。
3) 电灯不亮，当且仅当灯泡或开关发生故障。
4) 仅当你去，我将留下。
5) 如果老张和老李都不去，他就去。
6) 你不能既吃饭又看电视。
7) 张刚总是在图书馆看书，除非图书馆不开门或张刚生病。
4、给出下列公式的真值表 （每小题5分，共10分）⑴ )(R Q P ∨→⑵ )(Q P ∨⌝⇄)(Q P ⌝∧⌝5、证明下列等价式。
（每小题3分，共12分） 1) P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()( 2) P Q Q P P ⌝→⌝⇔→→)(3) C B A C B A →⌝∧⇔∨→)()(4) C A D B C D B C B A →→∧⇔∨→∧→∧))(())(())((6、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式。
（每小题10分，共20分） 1) )()(Q R Q P →∧→ 2) R Q P →∨⌝)(7、对于下列一组前提，请给出它们的有效结论并证明。
（每小题4分，共8分）a) 如果我努力学习，那么我能通过考试，但我没有通过考试。
b) 统计表有错误，其原因有两个：一个原因是数据有错误；另一个原因是计算有错误。
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学最全知识点
10 1 1
1
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2、演绎法
事实库
规则匹配 新事实
事实=结论？
触发规则
N
公理库 将事实加入到事实库中
Y 结束
推理定理
推理规则
3、反证法
例 如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡 是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。 所以羊不吃草。
例 有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。 如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四； 或者白队不是第一，或者红队第三； 事实上，黄队第二。 因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方 式是使它们同数学一样切实，这 样我们能一眼就找出我们的错误， 并且在人们有争议的时候，我们 可以简单的说： 让我们计算， 而无须进一步的忙乱，就能看出 谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示 它们，以此为基石建立逻辑的科 学，并且构造他们的方法。”
否定律 分配律
DeMorgan律
矛盾律 排中律 蕴涵 等价
判定公式是永真或永假的方法有：真值表法和公式推演法
法一
法二
例 试用较少的开关设计一个与下图有相同功 能的电路。
3.3 联结词的完备集
一、联结词的个数
1、一元联结词
0001 1 1010 1
2、二元联结词
00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
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蕴含重言式
基本蕴含重言式
第182页(43)-(61),可用真值表证明 P∧Q P意味着P∧Q → P永真 P T T F F Q T F T F P∧Q T F F F P∧Q → P T T T T
�
P∧(P∨Q) Q
P, P→Q╞ Q Q, P→Q╞ P P→Q, Q→R╞ P→R P∨Q, P→R, Q→R╞ R
假言推论 拒取式 假言三段论 两难推论
命题逻辑推理
例子:假设下列推论是正确的
只要姚明上场,火箭就能赢开拓者 如果张三认真听课,姚明就答应上场 只要赢了开拓者,姚明就可以加工资
能否证明:张三不认真听课,姚明就加 不上工资了 不能
李四是计算机系的学生, 他住在312室或313室
P∧(Q∨R)∧((Q∧R)),其中:P代表"李四是计 算机系学生",Q代表"李四住312室",R代表 "李四住313室" 还可表示为:P∧((Q∧R)∨(Q∧R))
等式的证明
例1: P∧Q→R = P →(Q→R) 例2: P∧(Q∨R)∧((Q∧R))= P∧((Q∧R)∨(Q∧R)) 注意:等式A=B代表的含义是AB永真, 不是A永真或B永真
特异合取范式
定理:一公式的真值表中使其为F的指派 所对应的最大项组成的合取范式即为该 公式的特异合取范式 一个公式的特异合取范式,若命题变元 的个数及出现的顺序是确定的,则特异 合取范式是唯一的
特异合取范式
一些结论
一公式是重言式的充要条件是它的特异合取 范式为"空"(没有最大项) 一公式是矛盾的充要条件是它的特异合取范 式为包含所有的最大项 两公式相等的充要条件是他们的特异合取范 式一致
特异析取范式
特异析取范式的析取项称为最小项,n个 命题变元可以构成2n个最小项 任意公式均可化归成析取范式,又均可 以化归为若干个最小项组成的特异析取 范式 n个命题变元可以有2n个不同的指派,每 一个指派唯一对应一个最小项使其为T
特异析取范式
因此,还 可以利用 真值表构 造特异析 取范式
P T T T T F F F F Q T T F F T T F F R T F T F T F T F 最小项 P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R P∧Q∧R
命题逻辑推理
能否证明:姚明没加上工资,那张三肯 定没认真听课
P:张三认真听课;Q:姚明上场打球 R:火箭赢开拓者;S:姚明加工资
证明:
前提条件为 P→Q, Q→R, R→S P→Q, Q→R╞ P→R P→R, R→S╞ P→S P→S, S╞ P
范式
能否将公式化归到一种标准的形式? 这种标准形式就叫做范式 析取范式与合取范式
特异合取范式
特异合取范式的合取项称为最大项,n个 命题变元可以构成2n个最大项 任意公式均可化归成合取范式,又均可 以化归为若干个最大项组成的特异合取 范式 n个命题变元可以有2n个不同的指派,每 一个指派唯一对应一个最大项使其为F
特异合取范式
因此,还 可以利用 真值表构 造特异合 取范式
P T T T T F F F F Q T T F F T T F F R T F T F T F T F 最大项 P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R P∨Q∨R
特异合取范式
合取范式的每个合取项中,公式的所有 命题变元均出现,且以其自身或其否定 的形式出现一次且仅有一次,那么这种 范式就叫特异合取范式
(1)在合取范式中去除永真的合取项 (2)若某命题变元在一个合取项中出现多次, 化约成一次 (P∨P =P) (3)合取项中若某一命题变元未出现,则利用 P∨(Q∧Q)=P扩充之,并利用分配律展开成 多个合取项,并去除相同的合取项
定理:
"前提1,前提2,…,前提n╞ 结论"有效的充 要条件是命题公式"(前提1 ∧前提2 ∧… ∧前提n) →结论"是重言式
命题逻辑推理
若有PQ,则有P╞ Q 若有P1∧P2∧P3Q,则有 P1,P2,P3╞ Q
命题逻辑推理
一些推理规则 (183页(63)-(72)) P, P∨Q╞ Q 析取三段论
特异析取范式
定理:一公式的真值表中使其为T的指派 所对应的最小项组成的析取范式即为该 公式的特异析取范式 一个公式的特异析取范式,若命题变元 的个数及出现的顺序是确定的,则特异 析取范式是唯一的
特异析取范式
一些结论
n个命题变元可以组成也只能组成2的2n次方 个不同的公式 一公式是重言式的充要条件是它的特异析取 范式包含所有的最小项 一公式是矛盾的充要条件是它的特异析取范 式为"空"(没有最小项) 两公式相等的充要条件是他们的特异析取范 式一致
命题联结词
这4个联结词均可以用之前的5个联结词 表示
P⊕Q P↑Q P↓Q P→Q = = = = (PQ) (P∧Q) (P∨Q) (P→Q)
这9个联结词构成了联结词的全集,再没 有也不需要其他的联结词了
命题联结词
两个变元共有16种不同的联结结果取值
去除T,F,P,Q还有12种 ,→,→,各对应2种结果 P T T F F Q T F T F 命题联结词 U1 U2 U3 U4
蕴含重言式
基本蕴含重言式
P P→Q Q P→Q P∧(P∨Q) Q (P→Q)∧(Q→R) P→R
此外等价重言式可生成两个蕴含重言式
因为PQ = (P→Q)∧(Q→P) 所以若P Q (即P=Q),则有PQ且QP
命题逻辑推理
一般推理模式
一组前提,推出一个结论 前提1,前提2,…,前提n╞ 结论 1, 2,…, n 所有的前提是合取关系,与顺序无关 只有在"当所有前提都为真时,结论为真" 成立的情况下,这一推理才是有效的.
定理:一公式是矛盾的充要条件是其析 取范式的每一个析取项中均必同时包含 一个命题变元及其否定
合取范式
公式是一个合取式,每个合取项都是一 个析取式,每个析取式中的析取项只是 命题变元或命题变元的否定.
不包含蕴含和等价联结词,否定联结词只作 用在单个的命题变元前 如P∧(P∨Q)∧(P∨Q∨R)
合取范式
析取范式
公式是一个析取式,每个析取项都是一 个合取式,每个合取式中的合取项只是 命题变元或命题变元的否定.
不包含蕴含和等价联结词,否定联结词只作 用在单个的命题变元前 如P∨(P∧Q)∨(P∧Q∧R)
析取范式
任意公式均可化归成析取范式
将蕴含和等价联结词化归成∧∨ 将否定联结词深入至命题变元,并利用 P=P使命题变元前的双否定词消去 利用分配律将公式化归成析取范式 例子:求(P∨Q)P∧Q的析取范式
任意公式均可化归成合取范式
例子:求(P∨Q)P∧Q的合取范式
定理:一公式是重言式的充要条件是其 合取范式的每一个合取项中均必同时包 含一个命题变元及其否定
特异析取范式
析取范式从形式上并不唯一 但可以化约成一种唯一形式的范式
在每个析取项中,公式的所有命题变元均出现,且 以其自身或其否定的形式出现一次且仅有一次,那 么这种范式就叫特异析取范式 (1)去除永假的析取项 (2)析取项中若某命题变元出现多次,化约成一次 (3)析取项中若某一命题变元未出现,则利用 P∧(Q∨Q)=P扩充之,并利用分配律展开成多个 析取项,并去除相同的析取项
P,Q为两个命题,复合命题"P与非Q" 的 真值表为 P T T F F Q T F T F P↑Q F T T T
命题联结词
或非联结词(↓)
P,Q为两个命题,复合命题"P或非Q" 的 真值表为 P T T F F Q T F T F P↓Q F F F T
命题联结词
蕴含否定联结词(→)
P,Q为两个命题,复合命题"P→Q" 的真 值表为 P T T F F Q T F T F P→Q F T F F
命题联结词的归约
联结词
否定,合取,析取,蕴含,等价 , ∧, ∨, →, 异或,与非,或非,蕴含否定 ⊕, ↑, ↓, →
命题联结词
异或联结词(⊕)
P,Q为两个命题,复合命题"P异或Q" (即不相容的或)的真值表为 P T T F F Q T F T F P⊕Q F T T F
命题联结词
与非联结词(↑)
离散数学之数理逻辑(2)
上海交通大学软件学院 吴刚 2009年6月
内容
命题逻辑
等式的对偶定理 蕴含重言式与命题逻辑推理 范式 命题联结词的归约
回顾命题的公式化
如果我下班早, 就去商店看看, 除非我很累
P∧Q→R,其中P代表"我很累",Q代表"我下 班早",R代表"我去商店看看" 还可表示为:P →(Q→R)
等式的对偶定理
定义:设有公式A,其中仅使用了联结词 ∧∨,则将其中的联结词∧∨及命题常 量T,F分别换成∨∧和F,T后得到的公 式A*称为A的对偶公式 对偶定理:设有等式A=B,且A,B中均只 使用了联结词∧∨,则有A*=B*
即若有一个等式成立,其两边公式的对偶公 式的等式也成立
等式的对偶定理
例子:
P= P↑P P∨Q = (P↑P)↑(Q↑Q) P= P↓P 联结词的归约
P∨Q = (P↑P)↑(Q↑Q)
P T T F F Q T F T F P↑P Q↑Q P P Q Q F F T T F T F T P∨Q (P↑P)↑(Q↑Q) P Q (P P) (Q Q) T T T F T T T F
命题联结词的归约