离散数学及其应用01 数理逻辑
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
离散数学之数理逻辑
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
离散数学中的逻辑关系及其应用
离散数学中的逻辑关系及其应用离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构及其上的操作。
逻辑关系是离散数学中的一个重要概念，它在数学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍离散数学中的逻辑关系及其应用。
1. 逻辑关系的定义及性质离散数学中的逻辑关系是指一种二元关系，即对于某个集合中的两个元素，这两个元素之间有一种特定的关系。
在逻辑中，这个关系通常表示为“P → Q”，其中P和Q是两个命题，表示“如果P成立，则Q也成立”的关系。
逻辑关系有以下几种性质：（1）自反性：对于任意元素a，a与自己之间存在关系。
（2）对称性：对于任意元素a和b，如果a与b之间存在关系，那么b与a之间也存在关系。
（3）传递性：对于任意元素a、b和c，如果a与b之间存在关系，b与c之间也存在关系，那么a与c之间也存在关系。
2. 逻辑关系的应用（1）逻辑门电路逻辑门电路是计算机硬件的基本组成部分，它们的功能是根据输入的命题逻辑值计算出输出的命题逻辑值。
逻辑门电路包括与门、或门及非门等，它们之间的逻辑关系可以用逻辑代数中的公式来表示。
（2）判断与证明逻辑关系在数学证明中有广泛应用，可以用来判断某些语句、假设或结论是否成立。
常见的逻辑关系有蕴含关系、等价关系和充分必要条件等，它们在判断和证明中有重要作用。
（3）数据结构逻辑关系在数据结构中也有着广泛的应用。
例如在二叉树中，每个节点有两个子节点，子节点之间存在着父子关系。
在图论中，节点之间则存在着边的关系。
这些关系可以使用逻辑关系来描述和分析。
3. 总结逻辑关系是离散数学中的重要概念，它无处不在，在数学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
熟练掌握逻辑关系的定义及性质，对于深入理解离散数学和其它相关领域有着重要的意义。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
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实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学在计算机中的应用(一)
离散数学在计算机中的应用(一)离散数学在计算机中的应用1. 布尔代数（Boolean Algebra）布尔代数是离散数学中的一个分支，它在计算机科学中有着广泛的应用。
布尔代数主要研究逻辑运算和二进制数字系统。
在计算机中，布尔代数用于逻辑电路的设计和分析，如与门、或门、非门等。
布尔代数的原理为计算机内部的逻辑运算提供了基础。
2. 集合论（Set Theory）集合论是离散数学的另一个重要分支，它在计算机科学中也有着广泛的应用。
在计算机中，集合论用于数据的存储和处理。
例如，数据库系统中使用集合论的概念来表示和操作数据集合，例如关系代数和关系演算。
另外，集合论的概念也被用于算法设计和分析中，例如集合的交集、并集和差集等操作。
3. 图论（Graph Theory）图论是离散数学中的一个分支，它研究图的性质和图的应用。
在计算机科学中，图论被广泛应用于解决各种问题，如网络路由、社交网络分析、搜索引擎优化等。
例如，使用图论的算法可以在互联网中找到最短路径，帮助搜索引擎快速检索相关结果。
此外，图的着色和匹配问题也被用于任务调度和资源分配等方面。
4. 数理逻辑（Mathematical Logic）数理逻辑是离散数学中的一个重要分支，它研究命题的真假和推理的规律。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于计算机程序的验证和验证工具的设计。
例如，使用数理逻辑的模型检测方法可以自动验证程序的正确性，帮助程序员发现潜在的错误。
此外，数理逻辑的概念也被用于设计数据库查询语言和编程语言的语义。
5. 组合数学（Combinatorics）组合数学是离散数学中研究离散结构的一门学科，它关注事物之间的选择、排列和组合方式。
在计算机科学中，组合数学被广泛应用于算法设计和分析。
例如，在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码系统的安全性。
此外，组合数学的技术也被用于网络优化、图像处理和信息检索等领域。
6. 概率论（Probability Theory）概率论是离散数学中研究随机事件的概率分布和统计规律的学科。
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
数理逻辑与离散数学
数理逻辑与离散数学数理逻辑与离散数学是一门研究数学中的逻辑和离散结构的学科。
它们在数学领域中扮演着重要的角色，为数学家和计算机科学家提供了强大的工具和方法。
在这篇文章中，我们将探讨数理逻辑与离散数学的基本概念、应用和发展。
1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的数学分支，它主要关注命题、谓词和推理的形式化。
数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和形式系统等。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的正确性，谓词逻辑则引入了个体和谓词的概念，用于描述更加复杂的逻辑结构。
形式系统则是数理逻辑的基础，它定义了逻辑推理的规则和语法。
2. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散结构的数学分支，它主要关注离散对象和离散关系的性质。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、代数结构等。
集合论研究的是集合的性质和运算，图论则研究的是图的性质和算法。
代数结构则是研究代数系统的抽象结构，包括群、环和域等。
3. 数理逻辑与离散数学的应用数理逻辑和离散数学在数学和计算机科学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于证明和推理，帮助数学家发现新的定理和结论。
在计算机科学领域，数理逻辑和离散数学为计算机科学家提供了建模和分析的工具。
例如，图论被广泛应用于网络和路由算法的设计，离散数学的概念被用于设计和分析算法的正确性和复杂性。
4. 数理逻辑与离散数学的发展数理逻辑和离散数学作为学科的发展可以追溯到19世纪末。
随着数学和计算机科学的发展，它们变得越来越重要。
在20世纪，数理逻辑和离散数学得到了快速发展，涌现出了许多重要的理论和方法。
例如，哥德尔的不完备性定理揭示了数理逻辑的局限性，图论的四色定理解决了染色问题的一个重要难题。
总结起来，数理逻辑与离散数学是一门研究数学逻辑和离散结构的学科，它们在数学和计算机科学中有重要的应用和发展。
通过形式化和抽象化，数理逻辑和离散数学帮助数学家和计算机科学家研究和理解复杂的问题。
随着科学技术的不断进步，数理逻辑和离散数学将继续发展，为人类的认知和计算能力提供更强大的支持。
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章 一阶逻辑等值演算与推理
注意：对，对无分配律
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量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
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实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
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实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
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前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
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P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P∨Q 0 1 1 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.4 设P、Q为两个命题，P和Q的条件(Conditional)命题是 一个复合命题，记为P→Q（读作若P则Q），其中P称为条件的 前件，Q称为条件的后件。规定当且仅当前件P为1， 后件Q为0 时，P→Q为0，否则P→Q均为1。 • 日常用语中的“若…则…‖，“如果…那么…‖，“只有…才…‖ 等可用条件词表示。
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 辑联结词
• 定义1.2.3 设P、Q为两个命题，P和Q的析取(Disjunction)是 一个复合命题，记为P∨Q（读作P或Q），称为P与Q的析 取式。规定当且仅当P与Q同时为0时，P∨Q为0，否则 P∨Q均为1。 • 日常用语中的“或”，“要么…要么…‖等可用析取词表 示。
第1篇 数理逻辑
数理逻辑
• 逻辑学分为辨证逻辑与形式逻辑两种 。 • 用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑 • 现代数理逻辑分为四论、两演算
– 四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论， 公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。 – 两演算：命题演算、谓词演算
•
第 1 章 命题逻辑
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.2 设P、Q为两个命题，P和Q的合取 (Conjunction)是一个复合命题，记为P∧Q（读作P与 Q），称为P与Q的合取式。规定P与Q同时为1时， P∧Q为1，其余情况下，P∧Q均为0。 • 日常用语中的“与”、“和”、“也”、“并且”、 “而且”、“既…，又…‖、“一面…，一面…‖等可 用合取词表示。 联结词“∧”的定义见表1-2。 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.3 表示原子命题的符号称为命题标识符(Identifier)。 • 定义1.1.4 用一个确定的命题代入一个命题标识符（如 P），称为对P进行指派（赋值，或解释）。 • 如果命题标识符P代表命题常元则意味它是某个具体原子 命题的符号化，如果P代表命题变元则意味着它可指代任 何具体原子命题。本书中如果没有特别指明，通常来说命 题标识符P等是指命题变元，即可指代任何原子命题。
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.2 不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原 子命题(Simple Proposition )。由两个或两个以上原子命题 通过联结词组合而成的命题称为复合命题(Compound Proposition )。 • 例1.1.1中的命题(1)(3)(7)(8)为原子命题，而命题(2)是复合 命题，是由“2是偶数。”与“3是偶数。”两个原子命题 由联结词“且”组成的，该命题的真值不仅依赖于这两个 组成它的命题，而且还依赖于这个联结词的意义。像这样 的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。 • 约定用大写字母P，Q，R，S等表示原子命题（为了避免与 真值T及F混淆，建议不用T及F表示原子命题）。例如，用 P表示“北京是中国的首都”，Q表示“5可以被2整除”等。
表1-5联结词“”的定义
P
Q
PQ
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.3 命题公式与翻译
• 定义1.3.1 命题公式归纳定义如下：
– （1）单个命题变元是命题公式； – （2）如果A是命题公式，则┐A也是命题公式； – （3）如果A和B是命题公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)均 是命题公式； – （4）当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的 包含命题变元、联结词和括号的符号串是命题公式（又称为合式 公式，或简称为公式）。
• 1.1 命题及其表示 • 1.2 逻辑联结词
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。 命题的判断结果称为命题的真值，常用 1 （或大写字母 T ） 表示真，用 0 （或大写字母 F ）表示假。凡是与事实相符 的陈述句即真值为真的命题称为真命题，而与事实不符合 的陈述句即真值为假的命题称为假命题。 • 从这个定义可以看出命题有两层含义： (1) 命题是陈述句。 其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题； (2) 这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假， 不能不真也不假，也不能既真又假。
表1-4 联结词“→”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P→Q 1 1 0 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.5 设P、Q为两个命题，其复合命题PQ称为双条 件(Biconditional)命题，PQ读作P当且仅当Q。规定当且 仅当P与 Q真值相同时，PQ为1，否则PQ均为0。
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.1 设P表示一个命题，P的否定(Negation)是一个 新的命题，记为P（读作非P）。规定若P为1，则P为 0；若P为0，则P为1。 • P的取值情况依赖于P的取值情况，真值情况见表1-1。
表1-1联结词“”的定义
P
P
1
0
0
1
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• • • • • • • • 例1：判断下列语句是否为命题，若是并指出其真值。 （ 1 ）北京是中国的首都。 真命题 （ 2 ）2是偶数且3也是偶数。 假命题 （ 3 ）2+2=5 。 假命题 （ 4 ）请勿吸烟! 不是命题 （ 5 ）乌鸦是黑色的吗？ 不是命题 （ 6 ）这个小男孩多勇敢啊！ 不是命题 （ 7 ）地球外的星球上存在生物 。是命题，真假值客观存 在 • （ 8 ）1+101=110。 二进制中为真命题，二进制中为假 命题 • （ 9 ）x + y=5。 不是命题 • （10 ）我正在说谎。悖论 ，不是命题