离散数学及其应用(徐凤生版)数学习题答案
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。
（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。
（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。
（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。
离散数学及应用课后习题答案
离散数学及应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用图论部分课后习题答案】p165:习题九1、给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）g1??v1,e1?，v1?{v1,v2,v3,v4,v5}，e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v3),(v4,v5)} （2）g2??v2,e2?，v2?v1，e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5),(v5,v1)} （3）d1??v3,e3?,v3?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v3?,?v3,v2?,?v4,v5?,?v5,v 1?} （4）d2??v4,e4?,v4?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v5?,?v5,v2?,?v3,v4?,?v4,v 3?} 解答：（1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设g是n(n?2)阶无向简单图，g是它的补图，已知?(g)?k1,?(g)?k2，求?(g)，(g)。
解答：?(g)?n?1?k2；?(g)?n?1?k1。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d）同构，同构函数为12f(x)345解答：（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是x?ax?bx?c x?dx?e16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；由于是简单图，①②两种情形不可能图形如下：（2）三条边一共提供6度，所以点度序列可能为①3，3，0；②3，2，1；③2，2，2 由于是简单图，①②两种情形不可能21、在图9.20中，下述顶点序列是否构成通路？哪些是简单通路？哪些是初级通路？哪些是回路？哪些是简单回路？哪些是初级回路？（1）a,b,c,d,b,e；（2）a,b,e,d,b,a；（3）a,d,c,e,b；（4）d,b,a,c,e;（5）a,b,c,d,e,b,d,c；（6）a,d,b,e,c,b,d；（7）c,d,a,b,c；（8）a,b,c,e,b 解答：（1）构成通路，且为初级通路，因为点不重复（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(a,b) （3）构成了初级通路，因为点不重复；（4）不构成通路，因为边(a,c)不存在；（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边(d,c) （6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(d,b) （7）构成了初级通路；（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
第1章 离散数学习题解答
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。
⑾只有6是偶数，3才干是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不过出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不克不及生存。
⑷ 8是偶数的充分需要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案1. 引言《离散数学及其应用》是一本经典的离散数学教材，是计算机科学和数学专业的必修课程。
本文将为读者提供《离散数学及其应用》第2版课后练习题的答案，并希望能够帮助读者加深对离散数学的理解。
2. 答案解析第一章习题 1.11.给定一组七个数字 {1, 3, 3, 4, 6, 9, 12}，请给出这组数字的中位数。
答案：中位数为 4。
2.给出两个整数 a 和 b 的三进制表示： a = 111011，b = 101101。
求 a + b。
答案：a + b = 1011000。
3.证明奇奇数的积为奇数。
答案：令两个奇数分别为 2n + 1 和 2m +1，则有：(2n + 1) × (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1，即奇奇数的积还是一个奇数。
习题 1.21.证明：如果一个整数 n 能同时被 2 和 3 整除，则它也能被 6 整除。
答案：首先，n 能同时被 2 和 3 整除，则分别有 n = 2k 和 n = 3m。
联立方程组 2k = 3m，得 k = (3/2)m。
因此，n = 2k = (3m/2) × 2 = 3m× (2/2) = 6m，可以被 6 整除。
2.求 10010 的八进制表示。
答案：将 10010 转换为四位一组的二进制数，得 0010 0100。
将 0010 和 0100 分别转换为八进制数，得 2 和 4。
因此，10010 的八进制表示为 24。
3.已知 547a5 是 11 的倍数，求 a 的值。
答案：根据 11 的倍数的规律，将 547a5 中的奇数位数字相加，再将偶数位数字相加，然后将两个和的差求出来： (5 + 7 + a) - (4 + 5) = 13 + a - 9 = a + 4。
因为547a5 是 11 的倍数，所以 a + 4 也必须是 11 的倍数。
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题）习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令P ：天气好。
Q ：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）P Q →。
（3）Q P →。
（6）P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。
（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。
（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。
（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）P Q →。
（3）P Q →。
（6）Q P ⌝→。
（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
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习题一1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
(2)李梅能歌善舞。
(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。
(5)只要我有时间，我就来看你。
(6)x＝５。
(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。
(8)太阳系外有宇宙人。
(9)小王和小张是同桌。
(10)不存在最大的素数。
解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。
(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。
其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。
其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。
2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P→(P∨Q))。
(2)(⌝P→Q)→(Q→P)))。
(3)((⌝P→Q)→(Q→P))。
(4)(Q→R∧S)。
(5)(P∨QR)→S。
(6)((R→(Q→R)→(P→Q))。
解 (1)是命题公式。
(2)不是命题公式，因为括号不配对。
(3)是命题公式。
(4)是命题公式。
(5)不是命题公式，因为QR没有意义。
(6)不是命题公式，因为R→(Q→R)→(P→Q) 没有意义。
3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。
(2)我去新华书店，仅当我有时间。
(3)如果天下雨，我就不去新华书店。
(4)除非天不下雨，我将去新华书店。
(5)张明或王平都可以做这件事。
(6)“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
(7)只有休息好，才能工作好。
(8)只要努力学习，成绩就会好的。
(9)大雁北回，春天来了。
(10)小张是山东人或河北人。
解 (1)符号化为⌝(P ∧Q )，其中，P ：我们划船，Q ：我们跑步。
(2)符号化为Q →R ，其中，R ：我有时间，Q ：我去新华书店。
(3)符号化为P →⌝Q ，其中，P ：天下雨，Q ：我去新华书店。
(4)符号化为⌝P →Q ，其中，P ：天下雨，Q ：我去新华书店。
(5)符号化为P ∧Q ，其中，P ：张明可以做这件事，Q ：王平可以做这件事。
(6)符号化为⌝(⌝(P ∨Q ))，“2或4是素数，这是不对的”是不对的，其中，P ：2是素数，Q ：4是素数，。
(7)符号化为Q →P ，其中，P ：休息好，Q ：工作好。
(8)符号化为P →Q ，其中，P ：努力学习，Q ：成绩就会好的。
(9)符号化为P ↔Q ，其中，P ：大雁北回，Q ：春天来了。
(10)符号化为P ⊕Q ，其中，P ：小张是山东人，Q ：小张是河北人。
4.构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？ (1)⌝(P ∨⌝Q )。
(2)P ∧(Q ∨R )。
(3)⌝(P ∨Q )↔(⌝P ∧⌝Q )。
(4)⌝P →(Q →P )。
解 (1)由真值表可知，公式⌝(P ∨⌝Q )的成真赋值为：01，成假赋值为00、10、11。
(2)由真值表可知，公式P ∧(Q ∨R )的成真赋值为：101、110、111，成假赋值为000、001、010、011、100。
(3)由真值表可知，公式⌝(P ∨Q )↔(⌝P ∧⌝Q )的成真赋值为：00、01、10、11，没有成假赋值。
(4)由真值表可知，公式⌝P →(Q →P )的成真赋值为：00、10、11，成假赋值为：01。
5.分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型： (1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。
(2)(P ∧Q )→(P ∨Q )。
(3)(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )。
(4)(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )。
(5)(Q →P )∧(⌝P ∧Q )。
(6)(⌝P ↔Q )↔⌝(P ↔Q )。
(7)(P ∧Q )∧⌝(P ∨Q)。
解 (1)真值表法：由真值表可知，公式(P ∨Q )→(P ∧Q )为可满足式。
公式法：因为(P ∨Q )→(P ∧Q )⇔⌝(P ∨Q )∨(P ∧Q )⇔(⌝P ∧⌝Q )∨(P ∧Q )，所以，公式(P ∨Q )→(P ∧Q )为可满足式。
(2)真值表法：由真值表可知，公式(P ∧Q )→(P ∨Q )为重言式。
公式法：因为(P ∧Q )→(P ∨Q )⇔⌝(P ∧Q )∨(P ∨Q )⇔⌝P ∨⌝Q ∨P ∨Q ⇔T ，所以，公式(P ∧Q )→(P ∨Q )为重言式。
(3)真值表法：由真值表可知，公式(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )为矛盾式。
公式法：因为(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )⇔(⌝P ∨Q )∧⌝Q ∧R ∧(⌝R ∧P ∧Q )⇔F ，所以，公式(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )为矛盾式。
(4)真值表法：由真值表可知，公式(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )为可满足式。
公式法：因为(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )⇔⌝(⌝( P ∧Q )∨R )∨(P ∧⌝R ∧Q )⇔( P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝R ∧Q )⇔( P ∧Q ∧⌝R )所以，公式(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )为可满足式。
(5)真值表法：由真值表可知，公式(Q →P )∧(⌝P ∧Q )为可矛盾式。
公式法：因为(Q →P )∧(⌝P ∧Q )⇔(⌝Q ∨P )∧(⌝P ∧Q )⇔⌝(Q ∧⌝P )∧(⌝P ∧Q )⇔F ，所以，公式为可矛盾式。
(6)真值表法：由真值表可知，公式(⌝P ↔Q )↔⌝(P ↔Q )为永真式。
公式法：因为(⌝P ↔Q )↔⌝(P ↔Q )⇔((⌝P →Q )∧(Q →⌝P ))↔⌝((P ∧Q )∨(⌝P ∧⌝Q ))⇔((P ∨Q )∧(⌝P ∨⌝Q ))↔((⌝P ∨⌝Q )∧(P ∨Q ))⇔T所以，公式(⌝P ↔Q )↔⌝(P ↔Q )为永真式。
(7)真值表法：由真值表可知，公式(P ∧Q )∧⌝(P ∨Q )为矛盾式。
公式法：因为(P ∧Q )∧⌝(P ∨Q )⇔(P ∧Q )∧(⌝P ∧⌝Q )⇔F ，所以，公式(P ∧Q )∧⌝(P ∨Q )为矛盾式。
6.分别用真值表法和公式法证明下列各等价式： (1)(P ∨Q )∧⌝P ⇔⌝P ∧Q 。
(2)⌝(P ∨Q )∨(⌝P ∧Q )⇔⌝P 。
(3)(P ∧Q )∨⌝P ⇔⌝P ∨Q 。
(4)P →(Q ∧R )⇔(P →Q )∧(P →R )。
(5)(P →Q )∧(R →Q )⇔(P ∨R )→Q )。
(6)(P ∧Q ∧A →C )∧(A →P ∨Q ∨C )⇔(A ∧(P ↔Q ))→C 。
(7)⌝(P ↑Q )⇔⌝P ↓⌝Q 。
(8)⌝(P ↓Q )⇔⌝P ↑⌝Q。
证明 (1)真值表法：由真值表可知，(P ∨Q )∧⌝P ⇔⌝P ∧Q 。
公式法：(P∨Q )∧⌝P ⇔(P ∧⌝P )∨(Q ∧⌝P )⇔⌝P ∧Q 。
(2)真值表法：由真值表可知，⌝(P ∨Q )∨(⌝P ∧Q )⇔⌝P 。
公式法：⌝(P ∨Q )∨(⌝P ∧Q )⇔(⌝P ∧⌝Q )∨(⌝P ∧Q )⇔⌝P ∧(⌝Q ∨Q )⇔⌝P 。
(3)真值表法：由真值表可知，(P ∧Q )∨⌝P ⇔⌝P ∨Q 。
公式法：(P ∧Q )∨⌝P ⇔(P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝P )⇔⌝P ∨Q 。
(4)真值表法：由真值表可知，P →(Q ∧R )⇔(P →Q )∧(P →R )。
公式法：P →(Q ∧R )⇔⌝P ∨(Q ∧R )⇔(⌝P ∨Q )∧(⌝P ∨R )⇔(P →Q )∧(P →R )。
(5)真值表法：由真值表可知，(P →Q )∧(R →Q )⇔(P ∨R )→Q )。
公式法：(P →Q )∧(R →Q )⇔(⌝P ∨Q )∧(⌝R ∨Q )⇔(⌝P ∧⌝R )∨Q⇔⌝(P ∨R )∨Q ⇔(P ∨R )→Q )。
(6)真值表法：由真值表可知，(P ∧Q ∧A →C )∧(A →P ∨Q ∨C )⇔(A ∧(P ↔Q ))→C 。
公式法：(P ∧Q ∧A →C )∧(A →P ∨Q ∨C )⇔(⌝P ∨⌝Q ∨⌝A ∨C )∧(⌝A ∨P ∨Q ∨C )⇔(⌝P ∨⌝Q ∨⌝A ∨C )∧(⌝A ∨P ∨Q ∨C ) ⇔((⌝P ∨⌝Q ∨⌝A )∧(⌝A ∨P ∨Q ))∨C ⇔⌝((P ∧Q ∧A )∨(A ∧⌝P ∧⌝Q ))∨C ⇔⌝( A ∧((P ∧Q )∨(⌝P ∧⌝Q )))∨C ⇔⌝( A ∧(P ↔Q ))∨C ⇔(A ∧(P ↔Q ))→C 。
(7)真值表法：由真值表可知，⌝(P ↑Q )⇔⌝P ↓⌝Q 。
公式法：⌝(P ↑Q )⇔⌝(⌝(P∧Q ))⇔⌝(⌝P ∨⌝Q ))⇔⌝P ↓⌝Q 。
(8)真值表法：由真值表可知，⌝(P ↓Q )⇔⌝P ↑⌝Q 。
公式法：⌝(P ↓Q )⇔⌝(⌝(P ∨Q ))⇔⌝(⌝P ∧⌝Q )⇔⌝P ↑⌝Q 。
7.设A 、B 、C 为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？ (1)若A ∨C ⇔B ∨C ，则A ⇔B 。
(2)若A ∧C ⇔B ∧C ，则A ⇔B 。
(3)若⌝A ⇔⌝B ，则A ⇔B 。
(4)若A →C ⇔B →C ，则A ⇔B 。
(5)若A ↔C ⇔B ↔C ，则A ⇔B 。
解 (1)不正确。
例如，设有一赋值：A ＝T ，B ＝F ，C ＝T ，则A ∨C ⇔B ∨C ，但A ⇔B 不成立。
(2)不正确。
例如，设有一赋值：A ＝T ，B ＝F ，C ＝F ，则A ∧C ⇔B ∧C ，但A ⇔B 不成立。
(3)正确。
因为⌝A ↔⌝B ⇔(⌝A →⌝B )∧(⌝B →⌝A )⇔(A ∨⌝B )∧(B ∨⌝A )⇔(B → A )∧(A →B )⇔ A ↔B ，所以，若⌝A ⇔⌝B ，则A ⇔B 。
(4)不正确。
例如，设有一赋值：A ＝T ，B ＝F ，C ＝T ，则A →C ⇔B →C ，但A ⇔B 不成立。
(5)正确。
因为，若A ↔C ⇔B ↔C ，则A ↔C 与B ↔C 等值。
当A ↔C 与B ↔C 都为真时，A 和C 等值且B 和C 等值，从而A 和B 等值，此时A ⇔B ；当A ↔C 与B ↔C 都为假时，A 和C 不等值且B 和C 也不等值，从而A 和B 等值，此时A ⇔B 。
总之有，若A ↔C ⇔B ↔C ，则A ⇔B 。
8.试给出下列命题公式的对偶式： (1)(P ∧Q )∨R 。
(2)T ∨(P ∧Q )。
(3)(P ∨Q )∧F 。
(4)⌝(P ∧Q )∧(⌝P ∨Q )。
解 (1)对偶式为(P ∨Q )∧R 。
(2)对偶式为F ∧(P ∨Q )。