离散数学及其应用(课后习题)

习题1.1
2.指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.2
1.指出下列命题的真值：
（1）若 ，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T（因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
由握手定理，
解得
故该图有13个节点。
习题7.2
4.分别指出图7-32中的3个图分别属于哪种类型（强连通，单侧连通，弱连通）。
（a）(b) (c)
解：（a）是强连通的，（b）是单侧连通的，(c)是弱连通的。
习题7.3
1.图7-39给出了一个有向图，试求
（1）邻接矩阵。
（2） 、 、 ，并找出从 到 长度
故其最优前缀码为： ．
(2)(2(20+25)+3(10+15+15)+45+5(5+5))10000
=28000,
即传输10000个数字需28000个二进制码．
（7） T（2）I
（8） T（6）（7）I
（9） EG（8）
（4）每个大学生不是文科生就是理科生，有的大学生是优等生，小张不是理科生，但他是优等生，因此如果小张是大学生，他就是文科生。
解：设 ： 是大学生。 ： 是文科生。 ： 是理科生。 ： 是优等生。 ：小张。该命题可符号化为：
， ， ， 。
证明如下：
逆反式：如果我去，天就不下雨。符号表示为 。
（2）仅当你走我将留下。
解：设 ：我留下。 ：你走。
逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为： 。
逆反式：如果你不走，我就不留下。符号表示为： 。
习题1.6
2.将下列命题公式用只含 和 的等价式表达，并要求尽可能简单。
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
习题1.7
解：设该树有 个叶节点，则该树的节点数
该树的边数
又由
得
所以 ，即该树叶节点数为 。
习题7.8
5.对图7-101给出的二元有序树进行3种方式的遍历，并写出遍历结果。
图7-101
解：前序遍历的结果为 ；
中序遍历的结果为 ；
后序遍历的结果为 。
6．在通信中， 、 、 、 、 、 、 、 出现的频率分别是：
解：设 ：下雨。 ：有球赛。 ：春游改期。则上述论断转化为要证明 ， ，
证：（1） P
（2） P
（3） T（1）（2）I
（4） P
（5） T（3）（4）I
因此，上述推理正确。
7.证明 是前提 ， ， 的有效结论。
证明：（1） P
（2） T（1）E
（3） P
（4） T（2）（3）I
（5） P
（6） T（5）E
习题2.5
求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式：
（1）
解：
（前束析取范式、前束合取范式）
（2）
证明：
（辖域扩张）
（辖域扩张）（前束析取范式）
（前束合取范式）
习题2.6
1.证明下列各式。
（2）
证明：（1） P
（2） US（1）
（3） P
（4） US（3）
（5） T(2)(4)I
（6） P
（7） US（6）
解：该命题真值为F（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2.令P：天气好。Q：我去公园。请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2） 。
（3） 。
（6） 。
习题1.3
2.将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：
（8） T（5）（7）I
（9） UG（8）
2.符号化下列命题并推证其结论。
（3）所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此，某些实数是整数。
解：设 ： 是有理数。 ： 是实数。 ： 是整数。则命题可符号化为：
， 。
证明如下：
（1） P
（2） ES（1）
（3） P
（4） US（3）
（5） T（2）I
（6） T（4）（5）I
1
1
1
1
1
1
0 0 1
1
1
1
1
1
1
0 1 0
1
1
0
1
1
1
0 1 1
1
1
1
1
1
1
1 0 0
0
0
1
1
1
1
1 0 1
0
1
1
1
1
1
1 1 0
1
0
0
0
0
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
方法二：等值演算法
方法三：分析法
（1）直接分析法：若前件 为真，分两种情况：
（I） 为假，则 为真， 为真， 为真。
（II） 为真，则 为真，此时若 为真，则 为真，则 为真， 为真， 为真；若 为假，则 为假， 为真。
（1） P
（2） US（3）
（3） 附加前提
（6） T（4）（5）I
（7） P
（8） T（6）（7）I
（9） CP
习题3.1
3.确定下列命题是真还是假，并简要说明为什么。
（1） （2） （3） （4）
解：（1）该命题为真，因为 是任何集合的子集。
（2）该命题为假，因为 不包含任何元素。
（3）该命题为真，因为 属于集合 。
综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。
(2）间接分析法：若后件 为假，则 为真， 为假。由 为假可知， 为真， 为假。再由 可知， 为真。此时 为假， 为假，即前件为假。故蕴含式成立。
5.叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。
（1）如果下雨，我不去。
解：设 ：天下雨。 ：我去。
逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为 。
为1、2、3、4的路各有几条？
（3）可达性矩阵。
图7-39
解：（1）邻接矩阵 。
（2）
从邻接矩阵及其幂可知，从 到 长度为1的路有1条，从 到 长度为2的路有1条，从 到 长度为3的路有2条，从 到 长度为4的路有3条。
（3）令 ，
则 ，可达性矩阵 。
习题7.4
2.确定 取怎样的值，完全图 有一条欧拉回路。
（7） T（4）（6）I
（8） T（7）E
习题2.1
用谓词表达式写出下列命题：
（5）每个有理数是实数。
解： ，其中 ： 是有理数。 ： 是实数。
（6）有的函数连续。
解： ，其中 ： 是函数。 登上过木星。
解：设 ： 是人。 ： 登上过木星。则命题可表示为
：25%； ：20%； ：15%； ：15%；
：10%； ：5%； ：5%； ：5%．
（1）求传输它们的最佳前缀码．
（2）用最佳前缀码传输10000个按上述频率出现的数字需要多少个二进制码？
解：令 对应的树叶的权 ，则
； ； ； ；
； ； ； ．
构造一颗带权5,5,5,10,10，15,20,30的最优二叉树(如下图)：
（1） （4）
解：（1） 是反自反的、反对称的、非传递的。因为 但 。
（2） 是自反的、对称的、非传递的。因为 但 。
习题3.7
5.（1）设 ， 上关系 的关系矩阵是
试求出 、 。
解： ，
。
习题3.9
4.设 ，试根据以下 的划分求 上相应的等价关系，并画出关系图。
（3）
解：
关系图如下：
习题3.10
1.对于下列集合上的“整除”关系，画出其哈斯图。
3.符号化下列命题：
（2）尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解：设 ： 是人。 ： 聪明。则命题可表示为
习题2.3
2.对下列谓词公式中约束变元进行换名：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
3.对下列谓词公式中自由变元进行代入：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
习题2.4
3.证明下列等价式：
（1）
证明：
（2）
证明：
（4）该命题为真，因为 是任何集合的子集。
6.求下列集合的幂集：
（2） （3）
解：（2）该集合的幂集为 。
（3）该集合的幂集为
习题3.2
6.证明下列等式：
（4） 。
证明： = =
= = =
因此， 。
（5） 。
证明： =
= = 。
因此， 。
（8） 。
证明：
因此， 。
习题3.4
3.下列等式能否成立？
（3） 。
（1）我去新华书店（P），仅当我有时间（Q）。
（3）只要努力学习（P），成绩就会好的（Q）。
（6）我今天进城（P），除非下雨（Q）。
（10）人不犯我（P），我不犯人（Q）；人若犯我，我必犯人。
解：（1） 。
（3） 。
（6） 。
（10） 。
习题1.4
1.写出下列公式的真值表：
（2） 。
解：该公式的真值表如下表：
证明：（1） P（附加前提）
（2） P
（3） T（1）（2）I
（4） P
(5) P
(6) T(4)((5)I
(7) T(3)(6)I
(8) P
(9) T(7)(8)I