离散数学 数理逻辑__命题逻辑_(4)
必须掌握的数学知识点总结
必须掌握的数学知识点总结一、基础知识1. 算术算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。
在实际生活中，我们经常需要进行数字的计算，因此掌握基本的算术知识对于每个人来说都是至关重要的。
2. 代数代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数和它们之间的关系。
代数知识包括多项式、方程、不等式、函数等内容，是后续学习更高级数学知识的基础。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、位置关系的一门学科。
几何知识包括直线、角、三角形、四边形、圆等内容，对于理解空间和图形的属性有着重要的作用。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，研究的是随机现象的规律性和数量关系。
概率用来描述随机事件发生的可能性，而统计则是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
二、高级知识1. 微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律和其在空间中的应用。
微积分知识包括导数、积分、微分方程等内容，是自然科学和工程技术中不可或缺的工具。
2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要领域，主要研究向量空间和线性变换。
线性代数知识包括矩阵、行列式、特征值与特征向量等内容，在物理、工程、信息科学等领域有着广泛的应用。
3. 数理逻辑数理逻辑是数学的一个重要分支，研究的是数学推理和证明的方法。
数理逻辑知识包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论等内容，是数学基础和理论研究中不可或缺的一部分。
4. 离散数学离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学知识包括集合、图论、代数结构等内容，在计算机科学和信息技术中有着重要的应用价值。
通过对这些数学知识点的总结，我们可以清晰地看到数学的广泛应用和重要性。
无论在学术研究还是实际应用中，数学都扮演着不可替代的角色。
因此，掌握这些数学知识点对于每个人来说都是非常重要的。
希望通过这篇总结，读者们可以对数学有一个更全面的理解，从而更好地应用和发展数学知识。
离散数学-命题逻辑-4-左孝凌
主合取范式
⑵ 真值表法：用真值表求主合取范式。 用真值表求主合取范式的步骤如下： ①构造命题公式的真值表。 ②找出公式的成假赋值对应的极大项。 ③这些极大项的析取就是此公式的主合取范式。
主合取范式
例 用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。 解：(p→q)→r的真值表是表1-7.7。公式的成假赋值对应 表1-7.7 的大项为： p∨q∨r (成假赋值为000) p∨q∨r (成假赋值为010) p∨q∨r (成假赋值为110) 主合取范式为：
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。 用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加 ∧(p∨p)，再用分配律展开，最后合并相同的极小 项。
极小项的性质
极小项 p∧q p∧q p∧q p∧q 极小项 p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r 表1-7.2 成真赋值 00 01 10 11 表1-7.3 成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 名称 m0 m1 m2 m3
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p∧q
0 0 0 1
表1-7.1 p∧q 0 0 1 0
p∧q 0 1 0 0
p∧q 1 0 0 0
极小项的性质
极小项有下列的性质： ⑴ 每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互 不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
离散数学 第三-四章
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
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命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
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命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
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例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） （2） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬ R； （2）（¬ ∧¬ P Q）→R； （3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取 是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复 合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C) 德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A 1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A 1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n)(2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）① (p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u) 结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
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所以 (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R 。 → ∧ → →
EX4：一份统计表格的错误或是由于材料不可靠，或是由于计算有错误,这份 ：一份统计表格的错误或是由于材料不可靠，或是由于计算有错误 这份 统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。 统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。
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2、附加前提证明法（CP规则） 、附加前提证明法（ 规则 规则） 欲证明: 欲证明 ( A1 ∧ A2 ∧, …, ∧ Ak )→ (A→B) → →
(1)
而 (A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ∧ → → ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak)∨(¬A∨B) ∧ ∨¬ ∨ ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B ∧ ∨ ⇔ (A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B (2) ∧ → 在(2) 式中原结论中的前件 已经变成了前提，如 式中原结论中的前件A已经变成了前提 已经变成了前提， 果能证明(2) 式为永真式， 式也是永真式。 果能证明 式为永真式，则(1)式也是永真式。称 式也是永真式 A为附加前提，称这种将结论中的前件作为前提 为附加前提， 为附加前提 的证明方法为附加前提证明法（ 规则 规则）。 的证明方法为附加前提证明法（CP规则）。
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EX3：利用真值表法论证 ： ① (P→Q)∧¬ P⇒Q （ ？） → ∧ ⇒ ② (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R （ ？） → ∧ → 真值表如下： 解： ①真值表如下： P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0
推理理论
P→Q → 1 1 0 1
因使P→ ， 同时为T的只有第一 因使 →Q，¬ P同时为 的只有第一、二行， 同时为 的只有第一、二行， 相应的Q：第二行为 ，但第一行为F 相应的 ：第二行为T，但第一行为 ， 所以Q不是 → ， 的有效结论。 所以 不是P→Q，¬ P的有效结论。 不是 的有效结论
即将¬ 作为假设前提补充到原来的前提中去 作为假设前提补充到原来的前提中去， 即将¬ B作为假设前提补充到原来的前提中去，转化成对 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ∧¬B ⇔ F的证明。 ⋅⋅⋅⋅⋅∧ 的证明。 的证明
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推理理论
EX1：用反证法证明：(P→Q)∧(Q→R)∧P ⇒ R ：用反证法证明： → ∧ → ∧ 思路：将¬ R作为假设前提补充到原来的前提中去，转化对 思路： 作为假设前提补充到原来的前提中去， 作为假设前提补充到原来的前提中去 (P→Q)∧(Q→R)∧P∧¬ R ⇔ F的证明。 → ∧ → ∧ ∧ 的证明。 的证明 证明： 证明： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) P→Q → P Q Q →R R ¬R F 根据 P P T(1),(2) P T(3),(4) 否定结论引入 T(5),(6)
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P∨Q ∨ 0 1 1 1
从表中看到使P∨ ， 同时为T的只有第二行 从表中看到使 ∨Q，¬ P同时为 的只有第二行，这时 的真值亦为 同时为 的只有第二行，这时Q的真值亦为 T，所以 是前提 ∨Q，¬ P的有效结论。即： ¬ P∧(P∨Q)⇒ Q。 是前提P∨ ， 的有效结论。 ，所以Q是前提 的有效结论 ∧ ∨ ⇒ 。
推理理论
（二）直接证明法
两条推理规则： 两条推理规则： 规则（前提引入规则）： ）：前提在推导过程中的任何时候 ① P 规则（前提引入规则）：前提在推导过程中的任何时候 都可以引入使用。 都可以引入使用。 规则（结论引用规则）：在推导过程中得到的结论， ）：在推导过程中得到的结论 ② T 规则（结论引用规则）：在推导过程中得到的结论，可 以在后继证明过程中的任何地方引用。 以在后继证明过程中的任何地方引用。 EX1：试证：(P→Q)，(Q→R)，P ⇒ R ：试证： → ， → ， 证：编号 公式 (1) (2) (3) (4 ) (5) P→Q → P Q Q →R R 根据 引入前提， 规则 引入前提，P规则 引入前提， 规则 引入前提，P规则 (1) (2)假言推理，T规则 假言推理， 规则 假言推理 引入前提， 规则 引入前提，P规则 (3) (4)假言推理，T规则 假言推理， 规则 假言推理
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推理理论
二、命题演算的证明方法（推理理论） 命题演算的证明方法（推理理论） （一）真值表法： 真值表法： 检查真值表中使所有A 都取T的那些行 的那些行， ① 检查真值表中使所有 1，A2…An都取 的那些行， 在所有这些行都为真值T， 若B在所有这些行都为真值 ， 在所有这些行都为真值 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。 检查真值表中B的取值为 的那些行，若在相应行中， 的取值为F的那些行 ② 检查真值表中 的取值为 的那些行，若在相应行中， 至少有一个A 至少有一个 i（i=1，2，…n）取值为 ， ， ， ）取值为F， 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。
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EX2：用反证法证明： (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ S∨R ：用反证法证明： ∨ ∧ → ∧ → ∨
证：编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 公式 ¬ (S∨R) ∨ ¬ S∧¬ R ∧ ¬S Q→S → ¬Q P∨Q ∨ P P→R → R ¬R F 根据
否定结论引入
T(1) T(2) P T(3)，(5) ， P T(6) ，(7) P T(8)， (9) ， T(2) T(9) ，(10)
推理理论
思考：用反证法证明： 思考：用反证法证明：A→B，¬ (B∨C) ⇒ ¬ A 证： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A→B → A B ¬ (B∨C) ∨ ¬ B∧¬ C ∧ ¬B F 根据 P 否定结论引入 T(1),(2) P T(4) T(5) T(3)，(6) ，
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推理理论
EX2：试证：P∨Q，Q→R，P→M， ¬ M ⇒ R∧( 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ¬M P→M → ¬P P∨Q ∨ Q Q→R → R R∧(P∨Q) ∧ ∨ 根据 P P T(1)，(2)（拒取式） ， （拒取式） P T(3)，(4)（析取三段论） ， （析取三段论） P T(5)，(6)（假言推理） ， （假言推理） T(4)，(7) ，
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EX1：试证：(P→Q)，(Q→R) ⇒ P → R ：试证： → ， → 证：编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) P→Q → P Q Q →R R P→R → 根据 P P，附加前提 ， T(1) (2) P T(3) (4) CP规则 规则
推理理论
§1.6 推理理论
重言蕴含式) 一、永真蕴含式(重言蕴含式 永真蕴含式 重言蕴含式 定义1 定义1：设A、B是两个命题公式，如果A→B是永真式， 是两个命题公式，如果A 是永真式， 则称A永真蕴含B 记为A 其中称A为前提， 则称A永真蕴含B，记为A⇒B。其中称A为前提，B称为有 效结论，这种从前提推出结论的思维过程叫推理。 效结论，这种从前提推出结论的思维过程叫推理。
解：设各命题变元 P：统计表格的错误是由于材料不可靠。 ：统计表格的错误是由于材料不可靠。 Q：统计表格的错误是由于计算有错误。 ：统计表格的错误是由于计算有错误。 本例可译为： 是前提 是前提P∨ ， 的有效结论， 本例可译为：Q是前提 ∨Q，¬ P的有效结论，即 (P∨Q) ∧ ¬ P ⇒ Q 的有效结论 ∨
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推理理论
（三） 间接证明法 1、反证法（归谬法） 、反证法（归谬法）
原理： 原理： 即 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ⇒B ⋅⋅⋅⋅⋅∧ A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An →B ⇔ T ⋅⋅⋅⋅⋅∧ ¬（A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An）∨B ⇔ T （ ⋅⋅⋅⋅⋅∧ 即证 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ∧¬B ⇔ F ⋅⋅⋅⋅⋅∧
证明：(P→Q)∧(Q→ (P→ 证明：(P→Q)∧(Q→R) →(P→R) ⇔((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→ ((P ⇔¬((P→Q)∧(Q→R))∨(P→R) ¬((P→Q)∧(Q→R))∨(P→ ⇔¬((¬P∨Q)∧(¬Q∨R))∨(¬P∨R) ¬((¬ Q)∧(¬ R))∨ ⇔((P∧¬ Q)∨(Q∧¬ R))∨(¬P∨R) ((P∧ Q)∨(Q∧ R))∨ ((P ⇔(P∧¬ Q)∨¬P∨(Q∧¬R)∨R ---结合律 (P∧ Q)∨ (Q∧ R)∨ ---结合律 (P ⇔(P∨¬P)∧(¬Q∨¬P)∨(Q∨R )∧(¬R∨R)---分配律 (P∨ P)∧ ¬ P)∨(Q∨ ∧( ∧(¬ R)-----分配律 (P ⇔(¬Q∨¬P)∨(Q∨R ) ( P)∨(Q∨ ⇔(¬Q∨Q)∨(¬ P∨R ) ( Q)∨ ⇔T T 证毕
更一般的有： 更一般的有： 定义2： 是命题公式， 定义 ：设A1、A2…An和B是命题公式，当且仅当 是命题公式 A1∧A2∧A3…∧An ⇒ B，则称 是一组前提 1，A2…An 是一组前提A ∧ ，则称B是一组前提 的有效结论，或称从 推出B。 的有效结论，或称从A1，A2…An推出 。 有时也记为: 有时也记为 A1，A2 ,…,An ⇒ B。 。
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推理理论
EX3：试证：P∨Q，P→R，Q→S ⇒ S∨R ：试证： ∨ ， ， ∨
证： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) P∨Q ∨ ¬P→Q → Q→S P∨S ∨ ¬ S→P → P→R ¬ S→R → S∨R ∨ 根据 P T(1) (I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨ P T(2)，(3) （假言三段论） ， 假言三段论） T(4) ( I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨ P T(5)，(6)，（假言三段论） ， ，（假言三段论） ，（假言三段论 T(7) (I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨