离散数学sec15 代数结构
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离散数学代数结构
因此当x 1/2时，x/(1+2x)是x的逆元，1/2无逆元.
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群的性质：消去律
设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令aiG = {ai aj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n矛盾.
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子群判定定理3
设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当
a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.
图2
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6
陪集的基本性质
设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb Ha=Hb 证 充分性. 若Ha=Hb，由ea∈Hb 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
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子群判定定理2
G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，由上步知b1∈H， 从而a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
中北大学 离散数学第五章 代数结构
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§5.2 运算及其性质
[定义] 设*是对集合Z中的二元运算， （1）若有一元素θl Z，且对每一个x Z有 θl *x= θl ，则称θl 为Z中对于*的左零元； （2）若有一元素θr Z，且对每一个x Z有 x* θr= θr ，则称θr为Z中对于*的右零元。
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§5.2 运算及其性质
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§5.2 运算及其性质
[定义] 设*是S上的二元运算,对任一xS,则： x1=x, x2=x*x,…xn=xn-1*x [定理] 设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n mxn=xm+n（2）(xm)n=xmn I+有（1）x
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§5.2 运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。 [定义] 设*是集合Z中的二元运算, (1) 若有一元素el Z,对任一x Z有el*x=x；则称 el为Z中对于*的左幺元(左单位元素)； (2) 若有一元素er Z,对任一x Z有x* er=x；则 称er为Z中对于*的右幺元（右单元元素）。 [定理] 若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 则对于每一个x Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则称e为Z中关于运算* 的幺元，且e Z是 唯一的。
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§5.2 运算及其性质
[定义] 设，是定义在集合S上的两个可交换二元运 算，如果对于任意的x,yS，都有：x (x y)=x； x (xy)=x，则称运算和运算满足吸收律。 [定义] 设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。 讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,称在S上满足等幂律； 2) 若在S上存在元素xS有x x=x,称x为S上的等幂元； 3) 由此定义,若x是等幂元素,则有x x=x和xn=x成立。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学代数结构
第一节 代数结构的定义
2020年11月5日星期四
代数结构的定义 一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算（operator） f1, f2, …, fm
代数结构
2020年11月5日星期四
一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
例5.1.2： 代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分 因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相同 的构成成分，它们都具有两个二元运算
子代数
2020年11月5日星期四
子代数 设< S, f1, f2, …, fm >是一个代数结构
⊙0 1 000 101
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
2020年11月5日星期四
一、结合律
设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
代数结构
2020年11月5日星期四
代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k > 载体中的特异元素，也叫做代数常数 有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
2020年11月5日星期四
离散数学导论第十章代数结构通论-
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
➢ 定义10.9
设< S,Δ, >及< S’,Δ’, ’ >均为代数结构，称函
数 h: S→S’为（代数结构S到S’的）同态映射，或同态
（homomorphism），如果对S中任何元素a，b，
h（Δa）= Δ’（h（a））
(10-3)
h（a b）＝ h（a） ’ h（b）
第十章 代数结构通论
第十章 代数结构通论
1. 代数结构 2. 同态、同构及同余
Δ10.3 商代数与积代数
第十章 代数结构通论
1. 代数结构
1. 代数结构的意义
2.
代数结构的特殊元素
3.
子代数结构
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
2.
同余关系
第十章 代数结构通论
Δ 10.3商代数与积代数
√ 定理10.2
任何含有关于 运算么元的代数结构 <S， >,其所含么元是唯一的。
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.2 代数结构的特殊元素
➢定义10.4
元素O称为代数结构<S， >( 关于 运 算) 的零元(zero)，如果0 S且对任意x S有
x 0＝ O x＝ O 元素0r S (0l S)称为左零元（右零元）．如 果Or（Ol）满足: 对一切x S，
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
√ 定理10.9
设h是代数结构< S, 1, 2 > 到 < S’, 1’, 2’>的同态, 态象为< h（S）, 1’, 2’>（这里 1, 2, 1’, 2’ 均为二元 那么 （1）当运算 1( 2)满足结合律、交换律时，同态象中运算
离散数学第十二章代数结构基本概念及性质
5.等幂律与等幂元 给定<S，⊙>，则
“⊙”是等幂的或“⊙”满足等幂律:=( x)(x∈S→x⊙x=x)
给定<S，⊙>且x∈S，则 x是关于“⊙”的等幂元:=x⊙x=x 于是，不难证明下面定理： 定理12.2.2 若x是<S，⊙>中关于⊙的等幂元， 对于任意正整数n，则xn=x。
例12.2.5 给定<P(S)，∪，∩>，其中P(S)是 集合S的幂集，∪和∩分别为集合的并和交运算。 验证：∪和∩是等幂的。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数 结构了。
定义12.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的ni 元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…， fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1， f2 ，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加 法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
10 1 00
4.吸收律 给定<S，⊙，○>，则 ⊙对于○满足左吸收律 :=( x)( y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x) ⊙对于○满足右吸收律 :=( x)( y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收律， 则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于和吸收律类似地定义。 若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可吸收 的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时满足吸收 律。
同样，并不是所有代数结构上运算均满 足交换律，如矩阵的乘法就不满足交换律。
易见，如果一代数结构中的运算⊙是可结 合和可交换的，那么，在计算a1⊙a2⊙···⊙am时 可按任意次序计算其值。
特别当a1＝a2＝···＝am＝a时，则a1⊙a2⊙· am。称am为a的m次幂，m称a的指数。
离散数学讲义(第5章)
1
第三篇
代数系统
2
代数系统
由集合上定义若干个运算而组成的系统 称为代数系统。 代数系统在计算机上有着广泛应用。
3
第五章
代数结构
4
第五章 代数结构
本章包括以下内容：
5-1 代数系统的引入 5-2 运算及其性质 5-3 半群 5-4 群与子群
5-5 阿贝尔群和循环群
5-7 陪集与拉格朗日定理 5-8 同态与同构 5-9 环与域
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5-3 半群（续）
例1：设集合Sk={x|x Z x k}，k 0，则〈Sk，+〉 是一个半群。其中+为普通加法运算。 例2：设S={a，b，c}，在S上的一个二元运算▣定义如 下表，则〈S，▣〉是一个半群。 ▣ a b c a b c
a a a
b b b
c c c
证明：由表可见运算▣是封闭的，并且a, b, c都是左幺 元，因此对任意的x, y, z S，都有 x▣(y▣z) = x▣z = z = y▣z = (x▣y)▣z 即〈S，▣〉是一个半群。
5
5-1 代数系统的引入
封闭运算
对集合中元素运算的结果都在原集合中，具有这种 特征的运算是封闭的，简称闭运算。没有这种特征的运 算是不封闭的。
例如下表：二元运算 ，就是集合{一角硬币，二角五分硬币}上的 不封闭运算。
一角硬币
二角五分硬币
一角硬币 橘子水
可乐
二角五分硬币 可乐
冰激淋
定义：对于集合A，一个从An到B的映射称为集合A上的 一个n元运算。如果B A，则称该n元运算是封 闭的。
定理：设〈A，〉是一个代数系统，且集合A中的元素个 数大于1，如果该代数系统中存在幺元e和零元q ， 则q e。
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
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= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
例题分析（续）
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 x∘e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 ∘ 运算可交换，所以 0 是幺元.
对于任意 x 有 x ∘ = 成立，即 x++2 x = x + 2 x = 0 = 1/2
对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z；
对一元运算∘, x 的运算结果记作 ∘x
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
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二元与一元运算的表示（续）
公式表示 例 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗：
x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3
右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
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实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
Mn(R) 矩阵加法+ 矩阵乘法
P(B) 并 交
对称差
单位元
零元
逆元
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实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
单位元 0 1
Mn(R) 矩阵加法+ n阶全0矩阵
矩阵乘法 n阶单位 矩阵
P(B) 并
交
B
对称差
零元 无 0
无 n阶全0
矩阵 B 无
逆元
X 的逆元 x X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X逆元X X的逆元 X1 （X是可逆矩阵） 的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
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惟一性定理
定理 设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S
(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反
函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
9
二元与一元运算的表示
算符：∘, ∗, ·, , 等符号
表示二元或一元运算
集合
运算
分配律
Z, Q, R 普通加法 + 与乘法 对 + 可分配
+ 对 不分配
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配
+ 对 不分配
P(B) 并 与交
对 可分配 对 可分配
交 与对称差 对 可分配
对 不分配
吸收律 无
无
有
无
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二元运算的特异元素
单位元
定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，
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二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算∘的单位元. 对于 x∈S，如
果存在yl（或 yr）∈S 使得
yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e），
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ).
关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的
代数结构
代数：研究数、关系、结构和代数方程的通用解 法和性质的数学分支 代数结构：装备了一个及以上的运算的非空集合
1
复习
• 幂集 • 函数合成（复合） • 对称差 绝对补~ 相对补 • 双射 单射 满射
复习
• 幂集：集合所有子集组成的集合。 • 函数合成（复合）:g o f = g(f()) • 相对补- ：A-B属于A不属于B的元素集合 • 绝对补~：B是A的子集 • 对称差：AB= (A − B) ∪(B − A)
零元
设 ∘ 为 S 上的二元运算, 如果存在θl（或θr）∈S，使得
对任意 x∈S 都有
θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元.
令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元.
假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y‘= y’∘ e = y’∘(x ∘ y) = (y’∘ x) ∘ y = e ∘ y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元.
说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 惟一的逆元，记作 x1.
27
消去律
满足xx=x，则称x为运算15 的幂等元。
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合
运算
交换律 结合律 幂等律
Z, Q, R 普通加法+
普通乘法
Mn(R)
矩阵加法+ 矩阵乘法
P(B)
并
交
相对补
对称差
AA
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于∘运算的惟一的单位元.
证： el = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是
S 中的单位元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元.
• 二元运算的特异元素
– 单位元 – 零元 – 可逆元素及其逆元
6
二元运算的定义及其实例
定义15.1 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上 的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对f 封闭.
7
二元运算的实例（续）
(1)所N 有上的函二数元的运集算合：：加合法成、乘运法算.∘.
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x + y f:N×N→N，f(<x,y>)＝xy (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. （4）矩阵Mn(R)的加法、减法等
无
无
对称差
有
有
无
AA
函数复合
无
有
无 17
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) 左分配律 z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 右分配律 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. (2) 如果∘ 和 ∗ 都可交换, 并且 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘ 和 ∗ 运算满足吸收律.
函数复合
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合
运算
交换律 结合律 幂等律
Z, Q, R 普通加法+
有
有
无
普通乘法
有
有
无
Mn(R) 矩阵加法+
有
有
无
矩阵乘法
无
有
无
P(B)
并
有
有
有
交
有
有
有
相对补
无
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例题分析（续）
解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,
任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.
集合
运算
分配律
Z, Q, R 普通加法 + 与乘法
吸收律
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 P(B) 并 与交
交 与对称差
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
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运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
X ∼X
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a}
二元运算的性质
定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 如果S中的某些x
例题分析（续）
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 x∘e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 ∘ 运算可交换，所以 0 是幺元.
对于任意 x 有 x ∘ = 成立，即 x++2 x = x + 2 x = 0 = 1/2
对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z；
对一元运算∘, x 的运算结果记作 ∘x
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
10
二元与一元运算的表示（续）
公式表示 例 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗：
x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3
右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
23
实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
Mn(R) 矩阵加法+ 矩阵乘法
P(B) 并 交
对称差
单位元
零元
逆元
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实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
单位元 0 1
Mn(R) 矩阵加法+ n阶全0矩阵
矩阵乘法 n阶单位 矩阵
P(B) 并
交
B
对称差
零元 无 0
无 n阶全0
矩阵 B 无
逆元
X 的逆元 x X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X逆元X X的逆元 X1 （X是可逆矩阵） 的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
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惟一性定理
定理 设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S
(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反
函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
9
二元与一元运算的表示
算符：∘, ∗, ·, , 等符号
表示二元或一元运算
集合
运算
分配律
Z, Q, R 普通加法 + 与乘法 对 + 可分配
+ 对 不分配
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配
+ 对 不分配
P(B) 并 与交
对 可分配 对 可分配
交 与对称差 对 可分配
对 不分配
吸收律 无
无
有
无
20
二元运算的特异元素
单位元
定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）S，
22
二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算∘的单位元. 对于 x∈S，如
果存在yl（或 yr）∈S 使得
yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e），
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ).
关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的
代数结构
代数：研究数、关系、结构和代数方程的通用解 法和性质的数学分支 代数结构：装备了一个及以上的运算的非空集合
1
复习
• 幂集 • 函数合成（复合） • 对称差 绝对补~ 相对补 • 双射 单射 满射
复习
• 幂集：集合所有子集组成的集合。 • 函数合成（复合）:g o f = g(f()) • 相对补- ：A-B属于A不属于B的元素集合 • 绝对补~：B是A的子集 • 对称差：AB= (A − B) ∪(B − A)
零元
设 ∘ 为 S 上的二元运算, 如果存在θl（或θr）∈S，使得
对任意 x∈S 都有
θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元.
令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元.
假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y‘= y’∘ e = y’∘(x ∘ y) = (y’∘ x) ∘ y = e ∘ y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元.
说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 惟一的逆元，记作 x1.
27
消去律
满足xx=x，则称x为运算15 的幂等元。
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合
运算
交换律 结合律 幂等律
Z, Q, R 普通加法+
普通乘法
Mn(R)
矩阵加法+ 矩阵乘法
P(B)
并
交
相对补
对称差
AA
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于∘运算的惟一的单位元.
证： el = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是
S 中的单位元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元.
• 二元运算的特异元素
– 单位元 – 零元 – 可逆元素及其逆元
6
二元运算的定义及其实例
定义15.1 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上 的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对f 封闭.
7
二元运算的实例（续）
(1)所N 有上的函二数元的运集算合：：加合法成、乘运法算.∘.
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x + y f:N×N→N，f(<x,y>)＝xy (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. （4）矩阵Mn(R)的加法、减法等
无
无
对称差
有
有
无
AA
函数复合
无
有
无 17
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) 左分配律 z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 右分配律 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. (2) 如果∘ 和 ∗ 都可交换, 并且 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘ 和 ∗ 运算满足吸收律.
函数复合
16
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合
运算
交换律 结合律 幂等律
Z, Q, R 普通加法+
有
有
无
普通乘法
有
有
无
Mn(R) 矩阵加法+
有
有
无
矩阵乘法
无
有
无
P(B)
并
有
有
有
交
有
有
有
相对补
无
29
例题分析（续）
解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,
任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
18
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.
集合
运算
分配律
Z, Q, R 普通加法 + 与乘法
吸收律
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 P(B) 并 与交
交 与对称差
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
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运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
X ∼X
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a}
二元运算的性质
定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 如果S中的某些x