第9章代数系统定理和例题讲解离散数学
离散数学中的代数系统与群论
离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。
而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。
代数系统是离散数学的重要概念之一。
它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。
代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。
在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。
代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。
而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。
群论是代数系统研究的一个重要方向。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。
在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。
群论有两个基本概念：子群和同态。
子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。
同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。
群论在数学中有广泛的应用。
它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。
在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。
在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。
在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。
总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。
群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。
它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。
因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
离散数学 第九章
οai οa1 ο a2
. . . οan
二元运算的运算表
2011-1-31 曲阜师范大学计算机科学学院
一元运算的运算表
12
运算表的实例
上的⊕ 运算的运算表 的运算表， 例3 设 S=P({a,b})，S上的⊕和 ∼运算的运算表，其中全 ， 上的 集为{a,b}。 集为 。 ⊕ ∅ {a} {b} {a,b} ∅ ∅ {a} {a} {a} ∅ {b} {a,b} {b} ∅ {a} {a,b} {a} ∅ x ∅ {a} {b} {a,b} ~x {a,b} {b} } {a} ∅
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
2
第三部分 代数结构
一元:f:S→S 一元 二元:f:S×S→S 二元 × 多元
符合某些律
运算
性质 交换律 单位元 结合律 零元 幂等律 逆元 分配律 吸收律 消去律
代数系统
建立两 个代数 系统的 联系 映射） （映射）
具体代数系统
半群 群 环 域 格 布尔代数
离 散 数 学
代数结构
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
1
第三部分 代数结构
代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 和由这些 为中心问题. 质为中心问题 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等 以及一些其他 科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 科学领域 如计算机科学、编码理论等 都有重要影响和广 泛应用. 泛应用
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
离散数学精讲第九章
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同类型与同种代数系统
定义9.7 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相 同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数 系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称 为同种的代数系统. 例如 V1=<R, +, · , 0, 1>, V2=<Mn(R), +, · , , E>, 为 n 阶全0 矩阵，E为 n 阶单位矩阵, V3=<P(B), ∪, ∩, , B> V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算, 2个代数常数. V1, V2是同种的代数系统，V1, V2与V3不是同种的代数系统
5
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表
公式表示
例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗： x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3∗4 = 3， 0.5∗(3) = 0.5
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上二元运算. (6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算.
4
一元运算的定义与实例
定义9.2 设S为集合，函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. 例2 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上 的一元运算 (2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算 (3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算 (4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的 一元运算. (5) 设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一 个双射函数的反函数为A上的一元运算. (6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上 的一元运算.
离散数学9-格与布尔代数
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定理4: 设<A, ∨, ∧>是格，对任意a, b, cA，有 (1)若a≤b和c≤d，则a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d (2)若a≤b，则a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
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证明：(1)如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d,这说明b∨d是{a, c}的上界，而a∨c是{a, c}的最小上界，所以a∨c≤b∨d。类似可证 a∧c≤b∧d。
则称b是a的补元，记为a′。若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 一般说来，一个元素可以有其补元 ，未必唯一，也可能无补元。0′=1和1′=0。
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定义12: 在有界格中，如果每个元素都有补元，则称格是有 补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是 有界格。
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定理11: 在有界分配格中，如果某元素有补元，则补元是唯 一的。
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定理9: 设<A, ∧,∨, 0, 1>是有界格，则对于A中任意元素 a 都有 a∨1 = 1 a∧1 = a a∨0 = a a∧0 = 0
1称为全上界或最大元，0称为全下界或最小元。
图9-6中(a)(b)(c)都有最大元和最小元，所以都是有界格。
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定理10: 有限格必定是有界格。
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定义11: 设<A,∨,∧>是有界格，aA，如果存在bA使得 a∨b = 1 a∧b = 0
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定义8: 设<A,∨,∧>是格，如果A中存在元素a,使得对于A中 任意元素x 都有a≼x，则称a为格(A , ≤)的全下界，用0表 示。如果L中存在元素 a, 使得对于L中任意元素 x 都有 x≼a则称a为格(A , ≤)的全上界，用1表示。全下界即是格 的最小元，是唯一的。全上界即是格的最大元，是唯一的 。
《离散数学》第9—11章 习题详解!
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
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３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
离散数学证明题解题方法
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。
因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。
在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。
（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
●证明满射：函数f：X Y，即要证明对于任意的y Y，都有x X，使得f(x)=y。
●证明入射：函数f：X Y，即要证明对于任意的x1、x2 X，且x1≠x2，则f(x1) ≠f(x2)；或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。
有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。
●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。
（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设<G,*>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1 S,则<S,*>是<G,*>的子群。
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
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（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。
• 可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称为 算符。
• 设f : S×S→S是S上的二元运算，对任意的x, y∈S，如果x与y的运算 结果为z，即f(<x,y>)＝z，可以利用算符简记为
∪对∩可分配 ∩对∪可分配
∩对可分配
吸收律 无 无 有 无
定义9.8 设为S上的二元运算，
如果存在元素el（或er）S，使得对任意x∈S都有 elx = x (或xer = x)
则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上
4
1
1
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3
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定义9.3 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有 xy=yx，则称运算在S上满足交换律。
定义9.4 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。
说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。
（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。
（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。
（4）设S＝{a1,a2,…,an}，aiaj =ai为S上二元运算。
（5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn(R)aaaL12n111
离散数学
第9章 代数系统定理和例题讲解
本章的主要内容
–一元和二元运算定义及其实例 –二元运算的性质 –代数系统定义及其实例 –子代数
与后面各章的关系
–是后面典型代数系统的基础
定义9.1 设S为集合，函数 f：S×S→S 称为S上的二元运算，简 称为二元运算。
举例 f:N×N→N，f(<x,y>)＝x +y 是自然数集合N上的二元运算
a2 a2a1 a2a2 … a2an
……………
ai ai a1 a1 a2 a2 ……
an ana1 ana2 … anan
an an
例9.4 设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表 ，其中全集 为S。
解答
的运算表
~的运算表
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
ai ~ ai {1,2}
{1} {1} {1,2} {2}
{1} {2}
{2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
{2} {1} {1,2}
例9.5 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x y＝(xy) mod 5，
的运算表。
解答
1
2
3
则称运算对运算满足分配律。
说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。
x(y1 y2 … yn ) ＝ (xy1)(x y2) … (x yn) (y1 y2 … yn )x ＝ (y1x) (y2x) … (ynx) 定义9.7 设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的 x,y∈S，都有
x(xy)＝x x(xy)＝x
则称运算和满足吸收律。
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集 合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。
集合
Z,Q,R Mn(R)
P(B)
运算 普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法
并∪与交∩ 交∩与对称差
分配律
对+可分配 +对不分配 对+可分配 +对不分配
a12 L a22 L
an2 L
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,...,n
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上的二元运算。
（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。
定义9.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为 一元运算。
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。
说明 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果 是唯一的。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是 封闭的。
（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。
关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。
运算可以没有左单位元和右单位元。
说明
运算可以只有左单位元。 运算可以只有右单位元。
运算可以既有左单位元，又有右单位元。
例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集
合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*
上的一元运算。
（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。
定义9.5 设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x， 则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x， 则称x为运算的幂等元。
举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等 元，0和1是乘法的幂等元。
集合
Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
运算
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
xy = z。 • 对一元运算，x的运算结果记作x。
例题
设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ：
x,y∈R，x y = x。
那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。
• 函数的解析公式 • 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
一元运算的运算表
a1
a2
…
an
a1 a1a1 a1a2 … a1an
并∪ 交∩ 相对补 对称差
函数复合
交换律
有 有
有 无 有 有 无 有
无
结合律
有 有
有 有 有 有 无 有
有
幂等律
无 无
无 无 有 有 无 无
无
定义9.6 设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，
有
x(yz) ＝ (xy) (xz) (yz)x ＝ (yx) (zx)
Байду номын сангаас
（左分配律） （右分配律）