离散数学-群论-代数系统
离散数学中的代数系统与群论
离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。
而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。
代数系统是离散数学的重要概念之一。
它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。
代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。
在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。
代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。
而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。
群论是代数系统研究的一个重要方向。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。
在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。
群论有两个基本概念：子群和同态。
子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。
同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。
群论在数学中有广泛的应用。
它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。
在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。
在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。
在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。
总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。
群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。
它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。
因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
离散数学的主要内容
离散数学的主要内容离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学学科。
它的主要内容包括集合论、图论、逻辑、代数系统等。
集合论是离散数学的基础，它研究的是集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们可以学习到集合的基本概念和运算、集合之间的关系、集合的基本定理等等。
集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在数据库设计中，我们需要使用集合运算来实现数据的查询和处理。
图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们可以学习到图的基本概念、图的遍历算法、最短路径算法、最小生成树算法等等。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机网络中，我们需要使用图论来设计网络拓扑结构和路由算法。
逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是命题和命题之间的关系。
在逻辑中，我们可以学习到命题逻辑、谓词逻辑、命题的推理规则等等。
逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如在人工智能领域中，我们需要使用逻辑来实现知识表示和推理。
代数系统是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是数学对象之间的代数关系。
在代数系统中，我们可以学习到群论、环论、域论等等。
代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如在密码学中，我们需要使用代数系统来设计加密算法和解密算法。
除此之外，离散数学还包括了排列组合、图论算法、离散概率论、离散优化等等内容。
这些内容在计算机科学中都有着广泛的应用，例如在算法设计中，我们需要使用排列组合来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
总的来说，离散数学是计算机科学中非常重要的数学基础学科，它涉及到了计算机科学中的许多重要问题和应用。
学好离散数学对于计算机科学专业的学生来说是非常重要的。
离散数学-群论-代数系统-深底
布尔代数
• 摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知 道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册 子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的 预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开 辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻 辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简 单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的"推 理"，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去 在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简 单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使 自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时 间里，又付出了不同寻常的努力。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。
• 但事情的发展似乎突然停了下来.
• 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式.
• 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴 黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
伽罗华
• 1828年，他把自己所写的论文送交法国 科学院审查，同年6月该科学院曾举行例 会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著 名数学家审查，但由于重视不够，原稿 被柯西弄丢了。
• 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France
Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及 戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。
离散数学第10章代数系统资料
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定若称对义运任1算0意.1.x7和，运y设∈算A*，，是都*可为有吸集x收合（的Ax，上*y或的）称两=x运个和算可x*交（换x和二运y元）算运=*x算满，足，则
吸收律。
例10.1.9 设和并∪满足吸收律：A，B∈P（X），有 A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定理10.1.1 设 为集合A上的二元运算，若A中存在左单
位元el和右单位元er，则el=er=e，且A中的单位元e是唯一的。 证明 因为el和er分别是A中关于的左单位元和右单位元， 所以
el=el er=er=e。
假设另有一单位元e'，则
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定都有义x10.1x.8=x，设则称为该集二合元A上运的算二 元是运等算幂，的若，对或任称意运x算∈A，在
A上满足幂等律。
例10.1.10 非空集合X的幂集P（X）对于集合的交运算∩和 并运算∪都是等幂的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
交换律。
例10.1.5 设Z是整数集合，是Z上的二元运算，对任意的a，
b∈Z，ab =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
ab=2a+b=2 b +a=ba，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1.4y）设z=为x集（合yAz）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
10.2 代数系统
例10.2.1 （1）一个在整数集Z上且带有加法运算“+”的系 统构成一个代数系统（Z，+）。 （2）一个在实数集R上且带有加法运算“+”与乘法运算 “×”的系统构成一个代数系统（R，+，×）。 （3）n（n≥2）阶实矩阵的集合Mn（R）及矩阵加法运算 “+”和矩阵乘法运算“·”的系统构成一个代数系统（Mn （R），+，·）。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学-代数系统
代数系统
环的性质
• 设〈A，+， • 〉是一个环，则对任意的 • a, b,c∈A, 有 (1) a • θ= θ • a= θ（加法的幺元是乘法的零元） (2) a •(-b)=(-a) •b=-(a •b) (3) (-a) •(-b)=a •b (4) a •(b-c)=a •b-a •c (5) (b-c) •a=b •a-c •a 其中， θ是加法幺元，-a是a的加法逆元，并记 a+(-b)为a-b.
拉格朗日定理
• 设〈H，*〉是群〈G，*〉的一个子群， 那么 （1）R={〈a, b〉| a∈G, b∈G, a-1*b∈H} 是G中的一个等价关系；而且由R所确定 的等价类[a]R=aH。 （2） 如果G是有限集，|G|=n, |H|=m, 则 m|n (m整除n）。
代数系统
具有两个二元运算的代数系统
代数系统
代数系统的引入
• 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运 算，这些运算与集合组成一个代数系统， 记作 <A, f1, f2, …, fk >. • 当运算只有一种时，通常写作<A, f>， • 而运算 f 通常表示成 *，•, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等。
代数系统
封闭性与唯一性
代数系统
等幂性
• *是集合A上的一个二元运算，如果对于 任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等 幂的。
代数系统
运算表
• *是定义在集合A上的二元运算，A是有 限集，A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的 xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj 为列所组成的一个表格内。 • 例如
代数系统
子群
离散数学 第五章 代数系统
5.1 代数系统的基本概念
• 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元 运算，等等。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是 命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合 上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上 的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实 数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
可交换的二元运算，如果对于任意的x，yA，都
有
x*(x⊙y)=x 和 x⊙(x*y)=x
• 即(x)(y)(x，yA→x*(x⊙y)=x∧x⊙(x*y)=x),则称 运算*和运算⊙满足吸收律，或称*对于⊙以及⊙ 对于*是可吸收的。
5.2 运算及其性质
• 例5.9 给定<N，*，⊙>，其中N是自然数集合，* 和⊙定义如下： 对任意a，bN有a*b = max(a，b)，a⊙b = min(a， b)，试证，*和⊙互为吸收的。
1*(0⊙1)=1*0=1，而 (1*0) ⊙(1*1)=1⊙0=0
5.2 运算及其性质
• 形如表5-3的表常常称为运算表或复合表，它由运 算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部 分组成。对于集合的基数很小，特别是2或3时， 代数系统中运算常常用这种表给出。优点是简明 直观，一目了然。
• 性质5：吸收律 设*，⊙是定义在集合A上的两个
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找到与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数 系统，如表5-2所示。
5.1 代数系统的基本概念
集合
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阿贝尔
• 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝 尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去 世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通 知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿 贝尔已无法前往接受这一职务了。 • 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年 ，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔 提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方 面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数 方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。 后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群
阿贝尔
• 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全 是自学，并开始花大量时间考虑数学问题 ，做研究工作。1825年大学毕业后，获得 奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。 • 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle) ，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著 名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》， 1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章， 其中就有关于一般五次方程不能用根式求 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
阿贝尔
• 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家 的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一 个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被 看成字母，那么任何一个由这些系数所组成 的根式都不可能是该方程的解。原来在三个 世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成 功，只因为这个问题就没有解。 • 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名 的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但 不幸没有得到重视，只好又返回柏林。
课程重要性
离散思想
考研课程 计算机等级考试课程 程序员考试课程 抽象思维能力的培养
第一讲 内容提要
I. 群论的出现及其创始者 Galois 、 Abel,环论、域论与布尔代数 II.近世代数的应用 III.代数运算及其性质
IV. 代数系统
I. 群论的出现
• 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的 开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传 奇. 这要从代数方程的求解方法谈起。代数方 程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知 道，一个实系数的代数多项式在实数域中只 要能分解成一些实系数的一次因式与二次因 式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
1770年猜测:
“这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解
性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。
群论的创始人伽罗华和阿贝尔
• Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois， 他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上， 各自作出了重要的贡献。 • Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代 数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧 师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。 他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷” 。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天 赋，不断给予指导与资助。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 • 但事情的发展似乎突然停了下来. • 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式. • 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解 法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在
ax bx c b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的求 解公式.不过，由于一般三次方程相对于 二次方程求根公式要复杂得多，所以古代 数学家在这方面的努力都未能获得成功。
• 直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程 的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和 塔尔塔里亚(Tartalia) 彼此独立发现。 • 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 (Cardano) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏 将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密 的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言 ， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中. 在 三次方程求解问题解决后，一般四次方程很 快被意大利数学家费拉里( Ferrari)所解决， 也发表在这部书中。
阿贝尔
• 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格 朗日的看法. • 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高 斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高 斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方 程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但 很快他发现其中存在的问题。
阿贝尔
• 这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可 能用根式求解的结论。 • 接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称 之为Abel定理。由此定理，Abel就证明了： “高于四次的一般方程不可能有一般形式的 根式解”。这是数学史上的一项重要成就。
课程安排
总学时：64 讲课学时：64(1-16周,每周4学时)
教材：《离散数学》孙吉贵等 -----高等教育出版社 参考教材: 1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等 -----高等教育出版社 2《代数结构与组合数学》屈婉玲编著 -- -- -北京大学出版 社 3 《离散数学习题集》(抽象代数分册)张立昂编著-------北京 大学出版社 4《应用近世代数》胡冠章编著 -----清华大学出版社
阿贝尔
• 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? • 对具有根式解的代数方程的特征问题，阿 贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸 的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。