离散数学sec16-17 群
离散数学(第16-17章)陈瑜
定理16.1(移项法则)设<R,+, *>是一个环， θ是加法幺元，对任意a，b，c R有: a+b=c a+b-c=θ
2019/1/16
计算机学院
9/128
定理16.2设<R,+, *>是一个环，θ是加法幺 元，对任意a，b，c R有: ① a*θ=θ*a=θ(加法幺元是乘法零元) ② (-a)*b=a*(-b)=-(a*b) ③ (-a) *(-b)=a*b ④ (b-c) *a=b*a-c*a ⑤ a* (b-c）=a*b-a*c
2019/1/16 计算机学院 7/128
例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
2019/1/16 计算机学院 6/128
例 16.2 设 Zk 表示整数集 Z 上的模 k 剩余类集 合，即: Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} <Zk ，>是群（剩余类加群）， <Zk ，>是半群（剩余类乘半群）， ∵ 对 [i]，[j]，[k] Zk 有[i]（[j][k]）=[i(j+k)]=[ij+ik] =[ij][ik] =([i][j])([i][k]） ∴ <Zk ，，>是环，称为（模k）剩余类环。 特别， k=2时，称为布尔环。
离散数学 群
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ
离散数学
代数运算
定义： 是三个任意的非空集。 定义：设 A、B、D是三个任意的非空集。 、 、 是三个任意的非空集 一个A 一个 ×B到D 的函数 * ， 到 叫做一个A 叫做一个 ×B到D的代数运算。 到 的代数运算。 给了A中的任意一个元素 和B中任意一个元素 ，存 中任意一个元素b， 给了 中的任意一个元素a和 中任意一个元素 中的任意一个元素 在唯一的d∊D， 在唯一的 ∊ ，使得 * ((a，b))=d ， 由于代数运算是一种特殊的函数，描写它的符号， 由于代数运算是一种特殊的函数，描写它的符号，也 可以特殊一点。 可以特殊一点。我们记 *((a，b))=d 为 ， a*b =d
伽罗瓦
Galois, Evariste
法国数学家。 日生于巴黎附近的小镇。 法国数学家。1811年10月25日生于巴黎附近的小镇。 年 月 日生于巴黎附近的小镇 1827年开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西等人的 年开始自学勒让德、 年开始自学勒让德 拉格朗日、 论著。 论著。1828-1830年，得到许多后来称为「伽罗瓦理论」 年 得到许多后来称为「伽罗瓦理论」 的重要结果。 的重要结果。 1830年进入高等师范学校 年进入高等师范学校 (Ecole Normale)学习， 学习， 学习 1832年5月31日，死于一次 年 月 日 决斗中。 决斗中。 直到1846年，伽罗瓦的手稿 年 直到 才公开发表。 才公开发表。1870年，伽罗 年 瓦的工作才被完全理解。 瓦的工作才被完全理解。
例4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z是整数集，* 是Z上一个二元运算， 是整数集， 上一个二元运算， 是整数集 上一个二元运算 对于任意的m， ∊ ， 对于任意的 ，n∊Z，m*n=m+n-5。 。 是可交换的吗？ 是可结合的吗？ 问：* 是可交换的吗？ * 是可结合的吗？ 对于任意的m， ∊ ， 解：对于任意的 ，n∊Z， ， ∵m*n=m+n-5， n*m=n+m-5, 是可交换的。 ∴m*n=n*m，故 * 是可交换的。 ， 对于任意的m， ， ∊ ， 对于任意的 ，n，k∊Z， ∵(m*n)*k =(m+n-5)*k=m+n+k-10, 又 m*(n*k)=m+n+k-10, 是可结合的。 ∴(m*n)*k=m*(n*k)，故 * 是可结合的。 ，
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学第七讲群、环、域
17
三、子群
定义7: 设〈G , *〉是一个群, S是G的非空子集, 并满足以 下条件: (1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ; (2) 对任意a∈S有a-1 ∈S; (3) e∈S, e是〈G ,*〉的么元, 则称〈S ,*〉是〈G ,*〉的子群。 如 〈I ,+〉是〈R ,+〉的子群， 〈N ,+〉不是。
的群同态如果g一个子集k的每一元素都被映入h再没有其它元素映入e的同态h的核kerh形成群g如果abkerh那么habkerh即kerh对运算1kerh四群同态24定义10的子群我们称集合ah为元素ag所确定的子群称为左陪集ah的表示元素
6.7
一、群的定义和性质
群
定义1：群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算* 满足: (1) 运算*是可结合的； (2) 存在么元e (3) 对每一a∈G, 存在一个元素a-1 , 使 a-1 * a = a * a-1 = e 如 〈Q, ×, 1〉 不是群（0无逆元） 〈Q+, ×, 1〉 是群
16
二、置换群和循环群
定理11：设〈G, *〉是由g∈G生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e, G = {g, g2, g3, …, gn = e} 且n是使gn =e 证: (2) 再证{g, g2, g3, …, gn}中的元素全不相同。 若有gi= gj, 不妨设i＜j, 于是gj-i=e。 但j-i＜n, 这与n是使gn =e 由于〈G , *〉是群, 所以G= {g, g2, g3, …, gn}, 又由(1)得gn =e。 证毕。
如 〈I, +〉是阿贝尔群。
2
一、群的定义和性质
例1：①〈Q+, ×, 1〉
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
群(离散数学)(1)
所以“5”是<6, +6>的生成元。
24
例13.2.8（续）
因此，含幺半群<6, +6>有两个生成元“1”、 “5”，则<6, +6>是循环含幺半群。
另解 不妨设a∈6是生成元，则 x∈6，m∈N，有x = am = ma (mod 6)， 特别地，当x = 1时，有1 = ma (mod 6)，即 k∈Z，使得ma = 6k + 1，即 ma + (k)6 = 1。
因此，(a, 6) = 1，即a与6的最大共因子为1。
2013-7-16
25
例13.2.8（续）
反之，对 a∈6，如果(a, 6) = 1，则
k∈Z，使得1 = ma + 6k，
因此，对x∈6，有
x = (xm)a + 6(xk)，xm，xk∈Z，
根据“+6”的定义，则 x = axm，xm∈Z， 因此，a是生成元。
2013-7-16
29
13.3 群及其性质
定义13.3.1 质： 设<G, >为二元代数系统，满足如下性
（1）“”在G中满足结合律，即a, b, c∈G，有 (ab) c = a (bc)； （2）G中存在关于“”的幺元e，即e∈G，使得 a∈G，ea = ae = a； （3）G中每个元素a都有逆元a1，即a∈G，都
2013-7-16
23
例13.2.8（续）
②、2º = 0, 2¹ = 2, 2² = 0, 2³ = 2,„„，
所以“2”不是<6, +6>的生成元；
③、3º = 0, 3¹ = 3, 3² = 0, 3³ = 3,„„，
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
例－Klein四元群
设G＝{a,b,c,e}，•为G上的二元运算，见下表。
x,y ∈ R*，x∘y=y
为半群，非独异点。
3
元素的幂运算性质
元素的幂运算定义 设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定：
x1 = x xn+1 = xn x, n∈Z+
幂运算规则： xn xm = xn+m (xn)m= xnm ，m, n∈Z+
证明方法：数学归纳法
4
独异点的幂
独异点的幂运算定义 x0 = e x1 = x xn+1 = xn x, n∈N
幂运算规则 xn xm = xn+m (xn)m= xnm ， m, n∈N
5
第十七章 群
群的定义与性质
• 群的定义与实例 • 群中的术语
– 有限群、无限群与群的阶 – Abel群 – 群中元素的幂 – 元素的阶
• 群的性质
– 幂运算规则、 – 群方程的解 – 消去律 – 群的运算表的排列
7
群的定义
第十六章 半群
半群与独异点
定义 (1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如
果运算是可结合的，则称V为半群 （semigroup）。 (2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单 位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点 （monoid）。 (P240 定义16.1)
2
实例
(1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>, <C,+>（+是普通加法） 都是半群，除了<Z+,+>外都是独异点，
定义 (P258)设S＝{1,2,…,n}，S上的任何双射函 数σ：S→S称为S上的n元置换。
恒等置换(1)表示无置换
1
(1)
2
(2)
(nn)
29
n元置换的乘法与求逆
两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算 n 元置换的求逆就是求反函数.
例设
15
2 3
3 2
4 1
5 4
,
14
2 3
26
循环群的子群求法
定理(P256 定理17.13) (1) 设G＝<a>是循环群，则G的子群仍是循环
群。 (2) 若G＝<a>是无限循环群，则G的子群除{e}
以外都是无限循环群。 (3) 若G＝<a>是n阶循环群，则对n的每个正
因子d，G恰好含有一个d阶子群。
27
定理说明
• 求循环群的所有子群的方法: • 如果G＝<a>是无限循环群，那么<am>是G的子
3 1
4 2
5 5
1
5
2 1
3 3
4 4
5
2
,
1 1
2 2
3 5
4 3
5
43
1 4
4 1
5
4
2 3
3 2
4 5
5 1
30
n元置换群及其实例
考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn Sn关于置换的乘法是封闭的；置换的乘法满足结合 律；恒等置换(1)是 Sn 中的单位元；对于任何 n元置
17
子群的定义
定义(P253 定义17.6) 设G是群，H是G的非空子 集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G 的子群，记作 H≤G。
若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作 H＜G。
G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群 。 例：
nZ（n是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群。 当n≠1时,nZ是Z的真子群。
18
子群的判定定理一
定理（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集。 H是G的子群当且仅当下面的条件成立： (1) a,b∈H，有 ab∈H。 (2) a∈H，有 a-1∈H。 P253 定理17.9
定理（判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集。 H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab-1∈H。 定理 17.10
37
陪集
定义(P263 定义17.16) 设H是G的子群，a∈G。令 Ha＝{ha|h∈H}
对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都 可交换，G的中心为G。
如果中心是{e}，那么G是无中心的。
22
例
例 设H是群G的子群,x∈G,证明： xHx-1={xhx-1|h∈H}是G的子群,称为H的共轭 子群。
例设G是群，H,K是G的子群。证明 (1) H∩K也是G的子群。 (2) H∪K是G的子群当且仅当 HK 或 KH。
例 在<Z6,>中 2 和 4 是 ? 阶元，3 是 ? 阶元，1
和 5 是 ? 阶元，0 是 ? 阶元
在<Z,+>中0 是 ? 阶元，其它元素是? 阶元
13
群的性质—群的幂运算规则
定理(P250 定理17.2) 设G为群,则G中的幂运算 满足：
(1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。 (3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。 (4) a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。
G是所有码字的集合，定义G上的运算*： x*y=z1z2...z7， zi=xiyi
则<G,*>是群。
另外，所有长度为7位的二进制数全体关于构成 群，也称为{0,1}上的n维线性空间。
10
群论中常用的概念或术语
定义(P250 定义17.2 17.3) (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无
• 回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置 换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积, 而任何轮换又可以进一步表示成对换之积, 所以任何n元置换都可以表成对换之积。
36
对换分解式的特征
• 尽管n元置换的对换表示式是不唯一的,但可以 证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变 的。例4元置换τ=（1 2 3 4）只能表示成奇数 个对换之积。如果n元置换σ可以表示成奇数 个对换之积,则称σ为奇置换,否则称为偶置换, 不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个。 P262 定义17.15
14
消去律
定理 (P251 定理17.5) G为群,则G中适合消去律， 即对任意a,b,c∈G 有
(1)若ab＝ac，则b＝c。 (2)若ba＝ca，则b＝c。
15
群的性质---运算表排列规则
定理 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.
19
子群的判定定理三
定理(判定定理三) 设G为群，H是G的非空子集。 如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab∈H。 P254 定理17.11
20
特殊子群1
例 设G为群，a∈G，令H＝{ak|k∈Z}， 即a的所有的幂构成的集合，则H是G 的子群，称为由a生成的子群，记作 <a>。
n0 n0 n0
在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6 在<Z3,3 >中有 23=(21)3=13=13131=0
12
群论中常用的概念－元素的阶
定义 设G是群，a∈G，使得等式ak＝e成立的最 小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称 a为k阶元。 若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。
G＝{a0＝e,a±1,a±2,…} 这时称G为无限循环群。 (P255)
25
循环群的生成元求法
定理(P255 定理17.12) 设G＝<a>是循环群。 (1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a
和a-1。 (2)若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元。