离散数学 第四讲 半群和独异点
证毕。
9
作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
10
2
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那
么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。 如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1：子半群是半群。 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
6.6 半群和独异点
定义1：设有代数系统〈S, *〉,这里*是S上可结合的二元运 算, 则称〈S, *〉为半群。（2点） 例1：判断下列给出的代数是不是半群。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； √ ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √ ×（÷不可结合） ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 ④ 设k≥0， SK={x| x∈I ∧x ≥k} ,〈 SK,+〉； √ ×（+在SK上不封闭） 若 k<0， 〈 SK,+〉； ⑤ 〈S,*〉，S={a,b},S上的二元运算*的运算表如下图：
√
1
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么 半群, 也称独异点。 （3点） 例2：判断下列给出的代数是不是独异点。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； × ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √，么元为最矮的人 ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 × ④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元 关系 ； √
所以是半群。 证毕。
3
半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封
闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
定理 2： 子独异点是独异点。
证：
子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元, 结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。 群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。 定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。 证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
5
半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。 定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T 可构成子独异点。 证: i) 任取x,y∈T, 则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T,故运算封闭； ii) T是S的子集，*在T上可结合； iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。 故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
8
半群和独异点
定理5： 每个循环独异点都是可交换的。 证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn, 因此
a b g m g n g m n g n m g n g m b a
(2)
7
半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g 是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由 g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉 是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。 ② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
6
半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。 用归纳定义: (1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N) 由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律: (1)
ai a j ai j ( a i ) j a i j (i , j N ) (i , j N )
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作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
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2
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那
么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。 如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1：子半群是半群。 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
6.6 半群和独异点
定义1：设有代数系统〈S, *〉,这里*是S上可结合的二元运 算, 则称〈S, *〉为半群。（2点） 例1：判断下列给出的代数是不是半群。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； √ ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √ ×（÷不可结合） ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 ④ 设k≥0， SK={x| x∈I ∧x ≥k} ,〈 SK,+〉； √ ×（+在SK上不封闭） 若 k<0， 〈 SK,+〉； ⑤ 〈S,*〉，S={a,b},S上的二元运算*的运算表如下图：
√
1
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么 半群, 也称独异点。 （3点） 例2：判断下列给出的代数是不是独异点。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； × ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √，么元为最矮的人 ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 × ④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元 关系 ； √
所以是半群。 证毕。
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半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封
闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
定理 2： 子独异点是独异点。
证：
子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元, 结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。 群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。 定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。 证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
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半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。 定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T 可构成子独异点。 证: i) 任取x,y∈T, 则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T,故运算封闭； ii) T是S的子集，*在T上可结合； iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。 故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
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半群和独异点
定理5： 每个循环独异点都是可交换的。 证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn, 因此
a b g m g n g m n g n m g n g m b a
(2)
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半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g 是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由 g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉 是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。 ② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
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半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。 用归纳定义: (1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N) 由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律: (1)
ai a j ai j ( a i ) j a i j (i , j N ) (i , j N )
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《半群与独异点》课件
交换群
交换群是满足交换律的群。
半群的子群与商群
子群
设$H$是半群$S$的非空子集，如 果对任意$a, b in H$，有$a cdot b in H$，则称$H$为半群 $S$的子群。
商群
设$varphi: S to T$是同态满射， 则称商集$frac{S}{varphi}$为半 群$S$关于同态$varphi$的商群 。
03
独异点的定义与性质
独异点的定义
左可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$使得$ax=ya$，则$a=e$。
右可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$ 使得$ax=ya$，则$a=e$。
独异点的性质
独异点具有唯一性
在一个半群中，每个独异点都是唯一的。
在计算机科学中的应用
计算复杂性理论
半群和独异点理论在计算复杂性理论中 用于描述算法的复杂性和计算资源的消 耗。例如，算法的时间复杂度和空间复 杂度可以用半群和独异点来描述。
VS
计算机图形学
在计算机图形学中，半群和独异点理论用 于描述图像处理和计算机动画中的变换和 插值。例如，图像的旋转、缩放和平移等 变换可以用半群来表示，而图像的插值则 可以通过独异点来进行。
在数学其他领域的应用
代数
半群和独异点理论在代数中用于描述代数的 结构和性质。例如，半群代数可以用于研究 半群的结构和分类，而独异点则与代数方程 的根和因式分解等概念相关。
微分方程
在常微分方程和偏微分方程中，半群和独异 点理论用于描述解的行为和性质。例如，解 的稳定性、周期性和渐近性等性质可以用半 群和独异点来描述。同时，独异点也与微分 方程的奇点和分岔等概念相关。
交换群是满足交换律的群。
半群的子群与商群
子群
设$H$是半群$S$的非空子集，如 果对任意$a, b in H$，有$a cdot b in H$，则称$H$为半群 $S$的子群。
商群
设$varphi: S to T$是同态满射， 则称商集$frac{S}{varphi}$为半 群$S$关于同态$varphi$的商群 。
03
独异点的定义与性质
独异点的定义
左可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$使得$ax=ya$，则$a=e$。
右可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$ 使得$ax=ya$，则$a=e$。
独异点的性质
独异点具有唯一性
在一个半群中，每个独异点都是唯一的。
在计算机科学中的应用
计算复杂性理论
半群和独异点理论在计算复杂性理论中 用于描述算法的复杂性和计算资源的消 耗。例如，算法的时间复杂度和空间复 杂度可以用半群和独异点来描述。
VS
计算机图形学
在计算机图形学中，半群和独异点理论用 于描述图像处理和计算机动画中的变换和 插值。例如，图像的旋转、缩放和平移等 变换可以用半群来表示，而图像的插值则 可以通过独异点来进行。
在数学其他领域的应用
代数
半群和独异点理论在代数中用于描述代数的 结构和性质。例如，半群代数可以用于研究 半群的结构和分类，而独异点则与代数方程 的根和因式分解等概念相关。
微分方程
在常微分方程和偏微分方程中，半群和独异 点理论用于描述解的行为和性质。例如，解 的稳定性、周期性和渐近性等性质可以用半 群和独异点来描述。同时，独异点也与微分 方程的奇点和分岔等概念相关。
离散数学sec16-17 群
整数加群<Z,+>， 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
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模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
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群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
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n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
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半群和群
(x)(x S ∧ x⊙x=x) 即，有限半群存在等幂元（证明见教材P119）
可交换半群
三、可交换半群 ❖ 定义：
– < S, ⊙>是半群，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙>为可交换半群(commutative semigroups)
– < S, ⊙, e>是独异点，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙, e>为可交换独异点(commutative monoid)
证明：对于任意的 a, b P，有a ⊙ a=a，b ⊙ b=b， 又因为⊙是可结合和可交换的，所以有
(a⊙b)⊙(a⊙b)= (a⊙a)⊙(b⊙b)= a⊙b P 所以P对于⊙是封闭的。 又因为e P，所以< P, ⊙, e>为< S, ⊙, e>的子独异点
循环半群
四、循环半群 ❖ 定义：< S, ⊙>是半群，若存在g S，对于每个x S，都
循环半群
例7.1.3 下表给出的代数是个循环独异点，生成元是d ❖ 因为
❖ d=d
d2 = b
d3 = c
⊙a b c d
d4 = a
aabcd
bbadc
❖ 生成元也可以是c，但不是a或bc c d b a
循环半群
❖ 定理：每个循环独异点都是可交换独异点。 证明： 设< S, ⊙, e>是循环独异点，g为其生成元 对于任意 a, b S，存在自然数m, n，使得a=gm，b=gn 于是，a⊙b = gm⊙gn = gm+n = gn+m = gn⊙gm = b⊙a 所以⊙是可交换的，故< S, ⊙, e>是可交换独异点。
因此没有任意两行是相同的 e⊙a=a≠b=e⊙b
可交换半群
三、可交换半群 ❖ 定义：
– < S, ⊙>是半群，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙>为可交换半群(commutative semigroups)
– < S, ⊙, e>是独异点，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙, e>为可交换独异点(commutative monoid)
证明：对于任意的 a, b P，有a ⊙ a=a，b ⊙ b=b， 又因为⊙是可结合和可交换的，所以有
(a⊙b)⊙(a⊙b)= (a⊙a)⊙(b⊙b)= a⊙b P 所以P对于⊙是封闭的。 又因为e P，所以< P, ⊙, e>为< S, ⊙, e>的子独异点
循环半群
四、循环半群 ❖ 定义：< S, ⊙>是半群，若存在g S，对于每个x S，都
循环半群
例7.1.3 下表给出的代数是个循环独异点，生成元是d ❖ 因为
❖ d=d
d2 = b
d3 = c
⊙a b c d
d4 = a
aabcd
bbadc
❖ 生成元也可以是c，但不是a或bc c d b a
循环半群
❖ 定理：每个循环独异点都是可交换独异点。 证明： 设< S, ⊙, e>是循环独异点，g为其生成元 对于任意 a, b S，存在自然数m, n，使得a=gm，b=gn 于是，a⊙b = gm⊙gn = gm+n = gn+m = gn⊙gm = b⊙a 所以⊙是可交换的，故< S, ⊙, e>是可交换独异点。
因此没有任意两行是相同的 e⊙a=a≠b=e⊙b
离散数学-群
同理可证，e ◦ a = a。 所以 e = g-1 是 G 中关于 ◦ 的单位元。 对任意的 a G，令 b = g-1 a-1 g-1，有
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
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第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
离散数学第四讲半群和独异点
证(2)：(归证子纳独) ：a异n+点1设是=子Sa代n是*数a,(关n有∈于N运限)算 *集封闭{,e含,有a么1元,, a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj
证: i) 任取x,y∈T,
则e * ai ≠e * aj 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过
添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), 如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
〈S, * 〉的子半群。 g生成的。
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
N R 如 〈[0，1], * 〉,〈 证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g,
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj
半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
证毕。
作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学 半群与含幺半群(独异点)
例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
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定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
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作业
• P190 （5）
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∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
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定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
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定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
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作业
• P190 （5）
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离散数学半群【实用资料】
一、广群与半群
例题2 设S = {a,b,c}, S上的一个二元运算的定义如下表
所示，验证＜S, △＞是半群。
△
a
b
c
aab来自cba
b
c
c
a
b
c
解： 由上表知运算△在S上是封闭的而且对任意x1,x2∈S有 x1△x2=x2，且a,b,c都是左幺元，从而对任意的x,y,z∈S都有:
x△(y△z)=x△z=z,(x△y)△z=y△z=z
( [i] m [j] ) m [k] = [i] m ( [i]) m [j] ) = [(i j k ) mod m ] 故+m, m都可结合。
二、独异点
3） [0] +m [i]= [i] +m [0] = [i]
[1] m [i]= [i] m [1] = [i]
代[i]数m系[统j]＜={即[－(i1[，1j0)}，m]od，＞m，[]＜[1－1]，分1]，别＞为，+和m＜,Z , m的＞都幺是具元有。幺元1的半群。
a*a=a。 即a, b所在列也不同。
代数系统＜{－1，1}， ＞，＜[－1，1]， ＞，和＜Z , ＞都是具有幺元1的半群。
证明：对任bS, 由封闭性知 a * a-1 = a-1* a = e
半群是一种特殊的代数系统，在计算机科学领域中，如形式语言，自动机理论等方面，已得到了卓有成效的应用。
b*b = b S, [1] m [i]= [i] m [1] = [i] 2
具有幺元1的半群。因此它们都是独异点。 设<S, *>为独异点，则关于*的运算表中任何两行或两列都不同。 证明：设e为幺元。对任a, bS, ab a*e = a b*e = b 可见a, b所在行不同。 同理 e*a = a e*b = b 即a, b所在列也不同。
第4讲 半群和群的定义和性质
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子半群的交集
定理10.3: 若干子半群的非空交集仍为子 半群；若干子独异点的交集仍为子独异 点. (只需证明封闭性) 思考:若干子半群的并集是否仍然是子半 群?
2018/10/10
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同态和同构
半群与独异点的同态和同构
半群 f(xy)= f(x)f(y)
独异点 f(xy)=f(x)f(y), f(e)= e’
例10.4(3-6)
(3) <Mn(R),+>n阶实矩阵加群
(4) <Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群；
(5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵
关于矩阵乘法；
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例10.5
Klein 四元群G={e,a,b,c}
* e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
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2018/10/10
模n剩余类
[i],[j]Zn [i]+m[j]=[(i+j) mod m] eg. <Zn,+n>，<Zn,n> 数和不为素数两种)
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设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是 由模n的同余（剩余）类组成的集合， 在Zn上定义两个二元运算+m 和m:
主要内容
半群 独异点 群
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半群
定义10.1(1)： <S,∘>是一个代数系统，
其中S是非空集合，∘是S上的一个二元
运算(运算∘是封闭的)，如果运算∘是
可结合的，即对任意的x,y,z∈S，
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群