离散数学 半群和独异点
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《半群与独异点》课件
交换群
交换群是满足交换律的群。
半群的子群与商群
子群
设$H$是半群$S$的非空子集，如 果对任意$a, b in H$，有$a cdot b in H$，则称$H$为半群 $S$的子群。
商群
设$varphi: S to T$是同态满射， 则称商集$frac{S}{varphi}$为半 群$S$关于同态$varphi$的商群 。
03
独异点的定义与性质
独异点的定义
左可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$使得$ax=ya$，则$a=e$。
右可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$ 使得$ax=ya$，则$a=e$。
独异点的性质
独异点具有唯一性
在一个半群中，每个独异点都是唯一的。
在计算机科学中的应用
计算复杂性理论
半群和独异点理论在计算复杂性理论中 用于描述算法的复杂性和计算资源的消 耗。例如，算法的时间复杂度和空间复 杂度可以用半群和独异点来描述。
VS
计算机图形学
在计算机图形学中，半群和独异点理论用 于描述图像处理和计算机动画中的变换和 插值。例如，图像的旋转、缩放和平移等 变换可以用半群来表示，而图像的插值则 可以通过独异点来进行。
在数学其他领域的应用
代数
半群和独异点理论在代数中用于描述代数的 结构和性质。例如，半群代数可以用于研究 半群的结构和分类，而独异点则与代数方程 的根和因式分解等概念相关。
微分方程
在常微分方程和偏微分方程中，半群和独异 点理论用于描述解的行为和性质。例如，解 的稳定性、周期性和渐近性等性质可以用半 群和独异点来描述。同时，独异点也与微分 方程的奇点和分岔等概念相关。
交换群是满足交换律的群。
半群的子群与商群
子群
设$H$是半群$S$的非空子集，如 果对任意$a, b in H$，有$a cdot b in H$，则称$H$为半群 $S$的子群。
商群
设$varphi: S to T$是同态满射， 则称商集$frac{S}{varphi}$为半 群$S$关于同态$varphi$的商群 。
03
独异点的定义与性质
独异点的定义
左可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$使得$ax=ya$，则$a=e$。
右可消性质
对于任意$a in S$，若存在$x, y in S$ 使得$ax=ya$，则$a=e$。
独异点的性质
独异点具有唯一性
在一个半群中，每个独异点都是唯一的。
在计算机科学中的应用
计算复杂性理论
半群和独异点理论在计算复杂性理论中 用于描述算法的复杂性和计算资源的消 耗。例如，算法的时间复杂度和空间复 杂度可以用半群和独异点来描述。
VS
计算机图形学
在计算机图形学中，半群和独异点理论用 于描述图像处理和计算机动画中的变换和 插值。例如，图像的旋转、缩放和平移等 变换可以用半群来表示，而图像的插值则 可以通过独异点来进行。
在数学其他领域的应用
代数
半群和独异点理论在代数中用于描述代数的 结构和性质。例如，半群代数可以用于研究 半群的结构和分类，而独异点则与代数方程 的根和因式分解等概念相关。
微分方程
在常微分方程和偏微分方程中，半群和独异 点理论用于描述解的行为和性质。例如，解 的稳定性、周期性和渐近性等性质可以用半 群和独异点来描述。同时，独异点也与微分 方程的奇点和分岔等概念相关。
离散数学sec16-17 群
整数加群<Z,+>， 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
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n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学-11半群与群-1(课件模板)
群论中常用的概念或术语
定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。
群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔
(Abel)群。
例
<Z,+>,<R,+>是无限群。 <Zn,>是有限群，也是n阶群。 Klein四元群是4阶群。 <{0},+>是平凡群。 上述所有的群都是交换群。 但n阶(n≥2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是
大学本科生课程
离散数学
第11章 半群与群
计算机系
本章内容
11.1 半群与独异点 11.2 群的定义与性质 11.3 子群 11.4 陪集与拉格朗日定理 11.5 正规子群与商群 11.6 群的同态与同构 11.7 循环群与置换群
本章总结 例题选讲 作业
11.1 半群与独异点
半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。 半群与独异点的定义，及其子代数的说明。 半群与独异点的幂运算。 半群与独异点的同态映射。
集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。 集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。 半群与独异点的两条幂运算规则：xn xm＝xn+m ，(xn)m＝xnm 。 半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）。 独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭，
V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。
半群与独异点的同态映射
定义11.3 (1)设V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,: S1→S2。
半群和独异点
为了强调幺元的存在,有时将独异点记为<S,˚,e>。
则称 为独异点V1到V2的同态˚
< Z+,+>是半群。
对独异点V=<S,˚,e>, <T,˚,e>构 <N,+,0>,…,<R,+,0>
❖ x1=x,
而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。
成V的子独异点，需要满足： 且对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有
❖ xn ˚ xm= xn+m ,
在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成
x1=x,
=
=
<a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>
独异点的子代数叫做子独异点.
定义 如果半群V=<S,˚>中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点.
，
例 独异点V=
T对V中的运算˚是封闭的，
矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.
令 : S→ S 而
不是独异点V的么元,因此,
❖ , 定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半群,
< Zn , >是半群和独异点,其中Zn ={0,1,…,n-1}, 表示模n加法。
而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。
如果V=<S,˚>是半群, <T,˚>就是V的子半群,需要满足：
x例1=x半, 群V❖=<S那,. 么对任意x,y∈S都有
离散数学 半群与含幺半群(独异点)
例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
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作业
• P190 （5）
8
离散数学-半群
.
半群
1.1 半群及独异点
✓定理11.3
设<S，>为一半群,那么 （1）<SS，○ >为一半群，这里SS为S上所有
一元函数的集合，○ 为函数的合成运算． （2）存在S到SS的半群同态．
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
➢定义 11.2
称独异点<S,,e>为自由独异点（free monoid）,
如果有AS使得 （1）eA． （2）对任意uS，xA,ux e . （3）对任意u,vS，x,yA,若ux = vy, 那么u = v,x = y． （4） S由A生成,即S中元素或者为e, 或者为A的成员， 或者为A的成员的“积”:
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
ai1a i2…aik (ai1,a i2,…,aikA)
集合A称为S的生成集．
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.4 设<S， , e>为一自由独异点，A为它的生成集，
g: SAM→M为一已知函数，m 为M中已知元素， 那么下列等式组定义了一个S到M的函数f；
f (e) m
f
(w
x)
半群与独异点
离散结构半群与独异点教学目标基本要求（1）掌握半群、独异点的定义（2）熟悉半群与独异点的性质（3）了解子系统和直积的概念重点难点（1）判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点半群、独异点的定义定义：(1)设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群(semi-group)(2)设V=<S, ∘ >是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点(monoid)，有时也将独异点V记作V=<S，∘，e>实例(1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点(2) 设n是大于1的正整数，<M n(R),+>和<M n(R),×>都是半群，也都是独异点，其中+和×分别表示矩阵加法和矩阵乘法(3) <P(B),⊕>为半群，也是独异点，其中⊕为集合对称差运算(4) <Z n, ⊕>为半群，也是独异点，其中Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n加法(5) <A A, ∘ >为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算(6) <R*, ∘ >为半群，其中R*为非零实数集合，∘运算定义如下：∀x, y∈R*, x∘y=y实例例设R*为非零实数集合, 对任意∀x, y∈R*, 规定x∘y =y, 则<R*, ∘ >为半群。
证明: ∀x, y, z∈R*,有(x∘y) ∘z = y∘z = z,x∘ (y∘z)= x∘z= z所以 (x∘y) ∘z = x∘ (y∘z), 运算∘满足结合律故 <R*, ∘ >为半群。
实例例：设Σ是一个非空有限集合，称为字母表，由Σ中有限个字母组成的有序集合（即字符串）称为Σ上的一个字，串中的字母个数m 称为字长，m=0 时，称为空字，记为ε。
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a b gm gn gmn gnm gn gm b a
证毕。
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作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T
证: i) 任取x,y∈T,
则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T, ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
(ai ) j ai j
(i, j N )
6
半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉
12
定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
3
半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。
定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
4
半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)
是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。
② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
7
半群和独异点
定理5：
证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
5
半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
用归纳定义:
(1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N)
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律:
(1)
ai a j ai j
(i, j N )
(2)
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么
半群, 也称独异点。 （3点）
例2：判断*〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； ×
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
中较高者； √，么元为最矮的人
③ 〈 R+, ·〉 √
〈 R+, ÷〉 ×
④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元
关系 ； √
1
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那 么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。
如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
2
半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
证毕。
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11
作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T
证: i) 任取x,y∈T,
则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T, ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
(ai ) j ai j
(i, j N )
6
半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉
12
定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
3
半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。
定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
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半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)
是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。
② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
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半群和独异点
定理5：
证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
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半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
用归纳定义:
(1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N)
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律:
(1)
ai a j ai j
(i, j N )
(2)
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么
半群, 也称独异点。 （3点）
例2：判断*〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； ×
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
中较高者； √，么元为最矮的人
③ 〈 R+, ·〉 √
〈 R+, ÷〉 ×
④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元
关系 ； √
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半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那 么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。
如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
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半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.