安徽省级示范高中(安庆一中等)2014届高三数学联考试题 理

2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学一、选择题（50分）（1）已知函数21,1()2,1xx x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若f （f （1））＝4a ，则实数a 等于A 、12B 、43 C 、2 D 、4（2）在平面直角坐标系中，A1），N 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是A 、4B 、3C 、2D 、1 （3）集合则集合S 的个数为A 、0B 、2C 、4D 、8（4）我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为A 、12B 、512C 、13D 、14（5）函数f(x)=|tanx|,则函数y ＝f （x ）＋log4x －1与x 轴的交点个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （6）若，且，则（7）已知数列{na }的前n 项和Sn ＝n2－n ，正项等比数列{nb }中，则A 、n －1B 、2n －1C 、n －2D 、n（8）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2＝－2y ＋3，直线l 经过点（1,0）且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为 A 、1 BC 、2D 、（9）给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本另一位同学的编号为23； ②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③一组数据a 、0、1、2、3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量 的统计数据所得的回归直线方程为y=ax+b 中，b=2,1,3x y ==,则a ＝1；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克，并且小于104克的产品的个数是90。

（10）在平面直角坐标系中，若两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f （x ）的图象上；②P ，Q 两点关于直线y ＝x 对称，则称点对P ，Q 是函数y ＝f （x ）的一对“和谐点对”已知函数则此函数的“和谐点对”有A 、0对B 、1对C 、2对D 、3对二、填空题（25分）（11）执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 是＿＿＿＿（12）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为＿＿＿＿（13）设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b ＞0）的最大值为4，则23a b +的最小值全品高考网为＿＿＿＿（14）已知偶函数f （x ）对任意x R ∈均满足f （2＋x ）＝f （2－x ），且当20x -≤≤时，f（x ）＝3log (1)x -，则f （2014）的值是＿＿＿＿（15）如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知平面ABC ）是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题： ①平面'A FG ⊥平面ABC ； ②BC ∥平面'A DE ；③三棱锥'A －DEF 的体积最大值为3164a ；④动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 全品高考网上；⑤二面角'A －DE －F 大小的范围是[0,]2π。

其中正确的命题是＿＿＿＿＿（写出所有正确命题的编号）三、解答题（75分） （16）（本小题满分12分）已知函数的图象过点（I ）求函数f （x ）的单调递增区间；(II)将函数f （x ）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g （x ）的图象，若a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g （x ）取得最大值，求b 的取值范围。

（17）（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：（I）表中a，b的值及分数在［90,100）范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在［90,150］范围为及格）；（II）从大于等于100分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率。

（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥A－BCDE中，侧面△ADE是等边三角形，在底面等腰梯形BCDE中，CD∥BE，DE ＝2，CD＝4，∠CDE＝60°，M为DE的中点，F为AC的中点，AC＝4。

（I）求证：平面ADE⊥平面BCD；（II）FB∥平面ADE。

（19）（本小题满分13分）定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）＋k（k为常数）。

（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；（II）设k＝－1，f（x）是R上的增函数，且f（4）＝5，若不等式f（mx2－2mx＋3）＞3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围。

（20（本小题满分13分）已知点E（－2,0），F（2,0），曲线C上的动点M满足，定点A（2,1），由曲线C外一点P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足｜PQ｜＝｜PA｜。

（I）求线段PA找的最小值；（II）若以P为圆心所作的⊙P与曲线C有公共点，试求半径取最小值时⊙P的标准方程。

（21）（本小题满分13分） 已知数列{na }中，（I ）证明数列是等比数列，全品高考网并求数列{na }的通项公式；（II ）记，求数列的前n 项和Sn 。

2014届安徽省示范高中高三第一次联考 理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 【解析】(1)2f =，f(f(1))＝f(2)＝4＋2a,，由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2．故选C ．2．B 【解析】由题意可知向量OB 的模是不变的，所以当OB 与OA 同向时OA OB+ 最大，结合图形可知，max1OA OBOA +=+=13=．故选B ．3. C 【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知{}1,2,3A =，{}0,1B =，要使,S A S B φ⊆≠ ，S 中必含有元素1，可以有元素2,3，所以S 只有{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3. 法二：31A x N x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬⎩⎭310x N x ⎧⎫∈-≤⎨⎬⎩⎭30x x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭{|03}x N x =∈<… {}1,2,3=，()2{|log 11}B x N x =∈+≤{}|012x N x =∈<+…＝{|11}x N x ∈-<…{}0,1=，所以集合S 中必含元素1，可以是{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3，共4个．故选C ．4．B 【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1052412=．故选B ．5.C 【解析】函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数，为方程4()log 10f x x +-=的解的个数，即方程4()log 1f x x =-+解的个数，也即函数4()log 1y f x y x ==-+，交点个数，作出两个函数图像可知，全品高考网它们有3个交点．故选C ．6.B 【解析】sin()sin παα-==，又α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cosα＝＝23=-．由2cos 2cos 12αα=-，3,224αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭得cos2α===sin cos222παα⎛⎫+==⎪⎝⎭．故选B．7.D【解析】法一：因为3324a S S=-=，所以234b a==，222log log42b==，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D.法二：因为3324a S S=-=，所以234b a==，又2314n n nb b b+-=，即2214n nb b+=，∴22124nnbqb+==，2q=．所以数列{bn}的通项公式是222422n n nnb b q--==⨯=，所以22log log2nnb n==．故选D．8.A【解析】圆C的标准方程为()2214x y++=，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l的斜率为1-，方程为10x y+-=．圆心到直线的距离d==．弦长AB===O到AB，所以△OAB的面积为112⨯=．故选A．9．B【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以01235a++++=，解得a＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，，③是假命题；回归直线方程为2y a x=+过点(),x y，把（1,3）代入回归直线方程为2y a x=+可得1a=．④是真命题；⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n，则36n＝0．300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．10．C【解析】作出函数()f x的图像，然后作出2()log(0)f x x x=>关于直线y x=对称的图像，与函数2()32(0)f x x x x=++…的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11．1007【解析】根据程序框图，()()()1234201320141007S =-++-+++-+= ，输出的S 为1007．12.43π【解析】由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是14球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2．所以组合体的体积为21414124323V πππ=⨯+⨯⨯⨯=． 13．252 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z(a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)取得最大值4，即4a ＋6b ＝4，即312a b +=．所以232331333132562222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…． 14．1【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)．∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(x ＋4)，∴f(2014)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1．15．①②③④【解析】①中由已知可得四边形ADEF 是菱形，则,DE GA DE GF '⊥⊥，所以DE ⊥平面A FG '，所以面A FG '⊥面ABC ，①正确；又BC ∥DE ，∴BC ∥平面A DE '；，②正确；当面A DE '⊥面ABC 时，三棱锥A DEF '-的体积达到最大，最大值为231113464a ⨯=，③正确；由面A FG '⊥面ABC ，可知点A '在面ABC 上的射影在线段AF 上，所以④正确；在旋转过程中二面角A′-DE-F 大小的范围是[]0,π，⑤不正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）()1()21cos 22f x x x m =-++1sin 262x m π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭．…………2分因为点,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，所以1sin 201262m ππ⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，解得12m =．…4分∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ--+剟，k Z ∈，得63k x k ππππ-+剟，∴函数()f x 的单调增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． …………6分（Ⅱ）1()sin 2236g x x ππ⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵当x B =时，()g x 取得最大值，∴2,62B k k Zπππ+=+∈，∴3B π=．…………8分由余弦定理可知()2222222cos33b ac ac a c ac a c acπ=+-=+-=+-2163161242a c +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭…．∴2b …，又4b a c <+=． ∴b 的取值范围是[)2,4． …………12分17．【解析】（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴20.120a ==，b ＝3． …………2分又分数在[110,150)范围内的频率为50.2520=，∴分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8， 由茎叶图可知分数[100,110)范围内的人数为4人， ∴分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4（人）． …………4分从茎叶图可知分数在[70,90]范围内的频率为0．3，所以有20×0．3＝6（人）， ∴数学成绩及格的学生为13人，所以估计全校数学成绩及格率为136520=%． …………6分（2）设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为,,,,a b c d e ， …………7分 则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e (,),(,)c d c e ,(,)d e ，基本事件数为10，…………9分事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为：（118,142），（128,136），（128,142），（136, 142）， 共4种情况，基本事件数为4， …………11分所以42()105P A ==． …………12分18．解：（Ⅰ）∵ADE ∆是等边三角形，M 是DE 的中点，∴AM⊥DE ， AM＝．…………2分∵在△DMC 中DM ＝1，∠CDM＝60°，4CD =， …………3分 ∴MC2＝42＋12－2×4×1·cos60°＝13，∴MC＝13．在△AMC 中，AM2＋MC2＝＋)2＝42＝AC2，…………4分 ∴△AMC 是直角三角形．∴AM⊥MC．又∵AM⊥DE，MC∩DE＝M ，∴AM⊥平面BCD ．又∵AM ⊂平面ADE ，∴平面ADE⊥平面BCD ．…………6分 （Ⅱ）取DC 的中点N ，连接FN ，NB ．∵AC＝DC ，F ，N 点分别是AC ，DC 的中点，∴FN∥AD． 又FN ⊆平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以FN∥平面ADE ． …………8分∵点N 是DC 的中点，∴BC＝NC ，又∠BCN＝60°，∴△BCN 是等边三角形，∴BN∥DE． 又BN ⊆平面ADE ，ED ⊂平面ADE ，所以BN∥平面ADE ．∵FN∩BN＝N ，∴平面ADE∥平面FNB ．∵FB ⊂平面FNB ，∴FB∥平面ADE ． …………12分19．解：（Ⅰ）若f(x)在R 上为奇函数，则(0)0f =， …………1分()()()000000x y f f f k k ==+=++∴=令，则，．…………2分证明：由()()()f a b f a f b +=+，令(),,()()a x b x f x x f x f x ==-则－＝＋－，又()()()(0)00()()R f f x f x f x f x x f x =∈，则有＝＋－．即－＝－对任意成立，所以是奇函数．…………6分（Ⅱ）()()()()4221523f f f f ∴ ＝＋－＝，＝．…………7分∴()2(23)32f mx mx f >－＋＝对任意x∈R 恒成立．又f(x)是R 上的增函数，∴2232mx mx >－＋对任意x∈R 恒成立， …………9分即2210R mx mx x >∈－＋对任意恒成立， 当0m =时显然成立；当0m ≠时，由20440m m m >⎧⎨∆=-<⎩得01m <<．所以实数m 的取值范围是[)0,1．…………13分20.解：（Ⅰ）设M （x ，y ），则(2,),(2,)EM x y FM x y =+=-， ∴22(2,)(2,)43EM FM x y x y x y ⋅=+⋅-=-+=- ， 即M 点轨迹(曲线C)方程为122=+y x ，即曲线C 是 O ． …………2分 连,OP ∵Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有：222PQ OP OQ=-．又由已知PQ PA=，故22PQ PA=．即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-，化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=，即23b a =-+．（4分）∴PQ ===，故当65a =时，min PQ =即线段PQ…………7分（另法）由点P 在直线l ：2x+y －3=0上． ∴min minPQ PA =，即求点A 到直线的距离．∴min PQ （7分）（Ⅱ）设 P 的半径为R ，∵ P 与 O 有公共点， O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+． …………8分而OP === …………9分故当65a =时，min OP =． …………10分此时3235b a =-+=,min 1R =-． …………11分得半径取最小值时 P的标准方程为22263()()1)55x y -+-=． …………13分（另法） P 与 O 有公共点， P 半径最小时为与 O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l '与l 的交点P0．11r ==-．又:20l x y '-=，（10分）解方程组20230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即063,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴所求 P标准方程为22263()()1)55x y -+-=-．（13分）21．解：（Ⅰ）由题意知：212n n na a a +=+，211(1)n n a a ++=+，P l2∴1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+；又12a =，∴数列{}lg(1)n a +是以lg 3为首项，2为公比的等比数列． …………4分∴1lg(1)2lg 3n n a -+=，即1213n n a -+=； …………6分∴数列{}n a 的通项公式为1231n n a -=-；…………7分（Ⅱ）由212n n n a a a +=+两边同取倒数可知，12112n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即11122n n n a a a +=-+，所以1112n n n b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()()2121211122n n n n n n n n a a b a a a a a +++=+==++=()211212[(2)]n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++-=＝1112()112()n n n n n n a a a a a a +++-=-； …………10分∴122311111112()2()2()n n n S a a a a a a +=-+-++- ＝11112n a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭=22131n--．…………13分。