2015年广东省揭阳市高三二模考试数学(理科)试题含答案

揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 3．命题P ：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C.2,12x R x x ∀∈+≥ D.2,12x R x x ∀∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=B.89C.79-D.795.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4图1侧视图6．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 7．已知点P 在抛物线24x y =上，那么点P 到点(12)M -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．1(1,)4 B ． 1(1,)4- C ．(1,2)- D ．(1,2)8．连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m 、n ，作向量(,)a m n =，若(1,1)b =-，则a 与b 的夹角成为直角三角形内角的概率是A.59 B. 712 C.512 D. 710二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．10．6展开式中的常数项为 ． 11．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 则侧视图中的h =_________cm ．12．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线x(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127. （1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班 学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲 班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩， 若从该校（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“优秀”学生 的人数，求X 的数学期望． 18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PA=PD=CD=2AB=2． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）记AD=x ，()V x 表示四棱锥P-ABCD 的体积，当()V x 取得最大值时，求二面角A-PD-B 的余弦值．20．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()1,()f x a R =∈ （1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：DBCD ACBB解析：8．因m 、n 均取自1-6，故向量a 有6636⨯=种取法，由cos ,a b <>=知，0,2a b π<<>≤，则m n ≥，这样的(,)m n 共有12345621+++++=（个），故所求的概率2173612P ==．二、填空题：9. 1；10. 160-；11. 6；12.7；1314. 7)4π；15.2. 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+11132326=-⨯=------------12分17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分乙班的平均水平较高；----------------------------4分（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名， 则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率321882310C +14C 15C C P ==.----------------------------8分 （3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为4=0.220，----------------------------------------------------------------------------------10分 据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因(30.2)X B ，,所以30.20.6EX =⨯=.---------------------------------------------------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵525452+2log log log n n b a a a =+++=24+2+2524225log ()log 5242(+1)n n a a a n +++==+++------------9分(1)(222)(1)(2)2n n n n +++==++，------------------------------------------10分∴1n b =111=(1)(+212n n n n -+++），-----------------------------------------------------12分∴12111n nT b b b =+++111111()()()233412n n =-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++.----------------------------------------14分 19．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∴AB ⊥AD ，-----------------------------1分∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，∴AB ⊥平面PAD --------------------------------------------2分 又∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD------------------------------------------------------3分 （2）取AD 中点E ，连结PE ，∵PA=PD ，∴PE ⊥AD ，----4分又侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，∴PE ⊥底面ABCD ，-------------------------------------------------------------------------5分在Rt ∆PEA 中，PE ==∴1()3ABCD V x S PE =⋅梯形11(12)32=⨯⨯+⨯14=04x <<）------7分∵()V x 124≤=-------------------------------9分当且仅当x =x =“＝”成立，即当()V x 取得最大值时AD = -----------------------------------------------------10分解法1：∵AD =222+8PA PD AD ==，∴PD ⊥PA ，--------------------11分 又(1)知AB ⊥PD ，PAAB A =∴PD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB ∴PD ⊥PB ，------------------------------------------13分 ∴APB ∠为二面角A －PD －B 的平面角在Rt PAB ∆中,cosPA APB PB ∠===,即当()V x 取得最大值时，二面角A －PD －B 的余弦值为5．-------------------14分 [解法2：以点E 为坐标原定，EA 所在的直线为x 轴、PE 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图示：则E （0，0，0），0，0)，D(0，0)，P(0，0，B∴(2,1,PB =(PD =,设平面PDB 的法向量为(,,)m a b c =由,m PB m PD ⊥⊥0b +=，0=，令1c =，则1a =-，b = ∴(1m =-------------------------12分 又(0,1,0)AB =是平面PAD 的一个法向量， 设二面角二面角A－PD－B的大小为θ，则25c o s ||||1110m A m A B θ⋅===⋅，即所求二面角A －PD －B --------------------------------------------------14分]20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F 、2F 得1(,)PF x y =-uuu r , 2,)PF x y =-uuu r.∴212)PF PF x x y ⋅=-+uuu r uuu r223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 （其它解法请参照给分）（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21．解：（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<，显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<--------------------------2分当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x < 综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或---------------3分（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩--------------------------------------4分若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥， 若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >， 当2ax a <<时，'()0f x <，∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .----6分 (其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+，-------7分 显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+------------------------------8分 设1(),(0,1]m g x x x x +=-∈，1()m p x x x +=+，(0,1]x ∈， 则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----9分∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-------------------------10分又∵21'()1m p x x +=-1≥即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)2p x p m ==+----------------------------------------------11分1<，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==--------------------------------12分（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥=，当x =时取等号）又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+- 11 -∴当20m -<<时，m a -<<---------------------------------------------13分 当0m ≥时，2m a m -<<+．-----------------------------------------------------------------14分。