离散数学 群论
离散数学 群与半群
1 2 显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。
2 给定群<G，⊙>，若G是有限集，则称<G，⊙>是有限群。
1
<T，○，e >是独异点，则<S×T，，<e ， 假若群<G，⊙>为有限群，其子群是<H，⊙>，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k为不
为置换中的反置换，记为p-1。特别把置换
பைடு நூலகம்
x1 x1
x2 x2
xxnn称 为 X 中 的 幺 置 换 或
恒等置换，记为pe。
此外，用PX表示集合X中的所有置换的集 合。
为了说明n个元素的集合可以有多少不同的 置换，特给出如下定理：
定 理 7.5.1 若 X={x1 ， x2 ， … ， xn} ， 则 |PX|=n!
在正式讨论置换群以前，需要先作些 必要的准备。
定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的 双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的 阶。
若X={x1，x2，…，xn}，则n阶置换表为
pp(xx11)
x2 p(x2)
xn p(xn)
并称
p(x1)
x1
p(x2) x2
p(xn)
xn
定义7.2.1 给定两个半群<S，⊙>与<T， ○>，则
半群<S，⊙>半群<T， ○>:=(f)(f∈TS∧(x)( y)(x， y∈S→f(x⊙y)=f(x) f(y))
并称f为从<S，⊙>到<T，○>的半群同态 映射。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是 唯一的。
离散数学中的群论和群表示
离散数学是研究离散结构的数学学科，而群论是其中一个重要的分支。
群论研究的是集合上的代数结构，它是数学中一种最基本、最抽象也是最重要的代数结构之一。
而群表示则是将一个群的元素用矩阵或线性变换表示的方法，它在研究群论以及其他数学领域中都有广泛的应用。
首先，让我们来了解一下群论的基本概念。
一个群是一个集合，配以一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等四个基本性质。
群论的研究对象可以是各种各样的集合，比如整数、矩阵、几何变换等，它们在群运算下具有不同的性质。
群论的基本性质包括群的封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等，这些性质很大程度上影响着群的结构和性质。
群论的应用范围十分广泛，从代数几何到量子力学，从密码学到编码理论，都离不开群论的应用。
群论在密码学中的应用，比如RSA加密算法、椭圆曲线加密算法等，能够保障数据的安全性。
在编码理论中，群论可以用来研究调制解调、编码纠错等问题。
群论在物理学中的应用也是非常重要的，比如量子力学中的对称群和轨道角动量的群表示等。
群表示是研究群的元素如何被矩阵或线性变换表示的方法。
群表示可以用来研究群的性质和结构，它将抽象的群元素转化为具体的矩阵或线性变换，使得我们能够更方便地研究群的性质。
群表示的基本概念包括等幺同态、不可约表示、经验公式等。
群表示的研究在量子力学、几何代数、图论等领域都有广泛的应用。
总之，离散数学中的群论和群表示是研究代数结构和抽象结构的基本工具。
群论研究的是集合上的代数运算，而群表示则是将群的元素用矩阵或线性变换表示的方法。
群论和群表示在密码学、编码理论以及物理学等领域都有重要的应用，它们为我们理解和解决问题提供了有效的数学工具。
对于离散数学的学习者来说，深入理解群论和群表示的概念和方法，对于提升数学素养和解决实际问题都是非常有帮助的。
离散数学sec16-17 群
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
离散数学-群
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
离散数学中的群论和置换群的逆元
群论是离散数学中一个重要的分支，它研究的是集合上的一种代数结构。
群论的研究对象是一种特殊的代数结构，即群。
群是一个有限或无限集合，上面定义了一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
在群论中，置换群是一种重要的群结构。
置换群是由一组有限的置换构成的群，它和对称性的概念密切相关。
在置换群中，逆元的概念也十分重要。
在置换群中，每个置换都可以看作是一种重排，它将集合中的元素按照一定规则进行了重新排列。
而置换群的逆元就是将这种重排的操作进行了逆向操作。
具体而言，对于一个置换群中的元素a，如果存在一个元素b在该群中，使得a 和b进行相互重排后得到的结果是集合中的每个元素都恰好一样，那么b就是a的逆元。
置换群的逆元的存在性是群论中的重要性质之一。
事实上，逆元的存在性是群论中一个基本的公理，它是群运算的基础。
所有的群都满足逆元存在性，并且具有相应的性质。
置换群的逆元的求解方法也是群论中的一个重要问题。
根据置换群的性质和逆元的定义，可以使用多种方法来求解置换群的逆元。
其中一种常见的方法是通过交换和反转操作来求解逆元。
具体而言，对于一个置换群中的置换，可以通过先进行交换操作，然后再进行反转操作，来得到该置换的逆元。
置换群的逆元在离散数学中具有广泛的应用。
它在密码学中的应用尤为重要，例如在公钥密码学中，通过求解置换群的逆元问题，可以实现对称密钥的生成和加密解密过程的安全性。
此外，在图论、编码理论等领域中，置换群的逆元也有着重要的应用。
综上所述，离散数学中的群论和置换群的逆元是一个重要的研究内容。
通过对群的性质和逆元的定义进行深入研究，可以获得对离散数学和相关领域理论的深刻理解。
对于解决实际问题，如密码学和图论等领域的应用问题，群论和置换群的逆元给予了重要的方法和工具。
离散数学中的群论和有限群分类定理
群论是离散数学中的重要分支，研究集合上的一种二元运算，需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
在群论中，群是指一个集合G以及G上的一个二元运算组成的结构。
群需要满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a b也属于G；结合律指的是对于任意的a、b、c∈G，(a b)c=a(b c)；单位元指的是存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a e=e a=a；逆元指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a b=b a=e。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
有限群是指元素个数有限的群。
有限群分类定理说明了任意一个有限群都可以被分解成若干个单群的直积。
一个单群是指除了单位元外，没有其他真子群的群。
有限群分类定理指出，任意一个有限群都可以被表示为若干个单群的直积，其中每个单群可以有不同的重复次数。
这样的分解方法是唯一的。
有限群分类定理的证明十分复杂，涉及到许多高级群论的概念和工具，如正规子群、陪集、同态映射、共轭等。
证明过程中使用了许多数学技巧和方法，如数学归纳法、反证法、构造法等。
有限群分类定理的应用非常广泛。
在代数几何、组合数学、密码学等领域都有运用。
例如在密码学中，公钥密码体制中的群是密码算法的基础，有限群分类定理提供了使用一些特殊类别的群的可行性。
综上所述，群论和有限群分类定理是离散数学中的重要内容。
群论研究集合上的一种二元运算，有限群分类定理描述了有限群的分类和结构。
它的应用广泛且重要，对于理解和应用群论有着重要的意义。
对于研究者来说，深入理解群论和掌握有限群分类定理是探索数学更深层次的必经之路。
离散数学(二)群和子群
推论：
−1 −1 −1 −1 (a1 ∗ a 2 ∗ ... ∗ a n ) −1 = a n ... ∗ an ∗ ∗ a ∗ a −1 2 1
二、群的性质与结构
由定理4可得出以下结论： 一阶群仅有一个，二阶群仅有一个, 三阶群仅一个, 五阶群仅有一个， 四阶群仅有两个，六阶群仅有两个。
* e
e e
(3) G 关于*存在么元e；
(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统<G, *>为群。
(2) G上运算*可结合：对所有的a,b,c∈G有，(a*b)*c=a*(b*c)
一、半群、独异点和群
对群 <G , *>， (1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。 (2) 若G是无限集，则称<G , *>为无限群 (infinite group) 若 G是有限集，则称<G , *>为有限群 (finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。 例1 (1) <I, +,0>是阿贝尔群，无限群 (2) 代数<Nk, +k, [0]>是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。 但代数<Nk, ×k ,[1] >不是群, 因为0元素没有逆元。
a0 = e a n +1 = a n ∗ a a − n = ( a −1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中 结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m ∗ a k = a m+k ( a m ) k = a mk
二、群的性质与结构
离散数学英文课件 群论 Groups (II)
Cyclic group
Corollary 6 The generators of Zn are the integers r such that 1=<r < n and gcd(r, n) = 1. Example Let us examine the group Z16. The numbers 1, 3, 5, 7, 9, 11,13, and 15 are the elements of Z16 that are relatively prime to 16. Each of these elements generates Z16. For example, 1*9 = 9 2*9 = 2 3*9 = 11 4*9 = 4 5*9 = 13 6*9 = 6 7*9 = 15 8*9 = 8 9*9 = 1 10*9 = 10 11*9 = 3 12*9 = 12 13*9 = 5 14*9 = 14 15*9 = 7:
Subgroups of Cyclic Groups
Theorem 2: Every subgroup of a cyclic group is cyclic.
Proof. Let G be a cyclic group generated by a and suppose that H is a subgroup of G. If H = {e}, then trivially H is cyclic. Suppose that H contains some other element g distinct from the identity. Then g can be written as an for some integer n. We can assume that n > 0. Let m be the smallest natural number such that am ∈H. Such an m exists by the Principle of Well-Ordering. We claim that h = am is a generator for H. We must show that every h’ ∈ H can be written as a power of h. Since h’ ∈ H and H is a subgroup of G, h’ = ak for some positive integer k. Using the division algorithm, we can find numbers q and r such that k = mq + r where 0 =<r < m; hence, ak = amq+r = (am)qar = hqar: So ar = akh-q. Since ak and h-q are in H, ar must also be in H. However, m was the smallest positive number such that am was in H; consequently, r = 0 and so k = mq. Therefore, h’ = ak = amq = hq and H is generated by h.
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定理6.1 一个半群(S, O)，若它又一个子代数 (M, O)，则此子代数也是一个半群. 定义6.2 一个半群(S, O)的子代数(M, O)，也是 半群，叫做半群(S, O)的子半群. 一个半群(S, O)对它的任一元素a，可以定义 它的幂 a1=a，a2=aa，…，an+1=an a 有(1) aman=am+n，(2) (am)n=amn 若a2=a，称a为等幂元素.
群的第二定义
定义6.12 一个代数系统若满足下列条件，则 称为群 （1）满足结合律 （2）如果a，b ∈ G，则方程式a O x=b 与 y O a=b 在G内有唯一解
定义6.13 设（G，O ）与（H，*）是两个群， 若存在一个函数g：G→H,使得对每个a，b ∈ G有g(a O b)=g(a) * g(b)则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同态 如果g：G→H是一一对应的，则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同构
但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其 中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次 方程的求根公式.
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在.他预见到一般 方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。
他放弃了一切希望, 参加了国民卫 队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反 而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗 议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提 议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释 成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
§ 6.1
半群与单位半群
定义6.1.1 设S是一个非空集合，若“O” 为S 上的二元代数运算，且满足结合律，则称 该代数系统（S，O ）为半群。即:对S内的 任意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 一个半群，如果其运算又满足交换律， 则称其为可换半群. 例1 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群，（ρ（S），∪） 为半群。
定理6.2 一循环半群一定是可换半群.
定理 6.3 一个半群内的任一元素和它所有的 幂组成一个由a生成的循环子半群.
6.1.2 单元半群
定义 6.4 设一个代数系统 (M, O) ，其中“O”二元运 算，它满足结合律，并且存在单位元素，则称该 代数系统（M，O ）为单元半群。即:对M内的任 意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 且存在一个 1∈M，对任一个a∈M有1a= a1=a 一个单元半群，如果其运算又满足交换律，则 称其为可换单元半群. 如，整数集上的模m同余关系R所划分的类它的商 集I/R记为Zm，故有Zm ={ [0] ，[1] ，…， [m-1] }
ax bx c 0
2
的求根公式
b b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的 求解公式.
形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求 根公式直至16世纪才被发现. 它是由意大利数学家费罗(Ferro)和丰 塔那(Fontana) 彼此独立得到的. 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的 《大术》(Ars Magna)一书中公开发表了丰 塔那的方法. 这部书还讲述了费拉里 ( Ferrari)求解四次方程的方法.
这时，Abel敏感地猜想到一般五 次方程不可能用根式求解的结论。 接着，Abel成功地证明了一条定 理，今天称之为Abel定理。由此定理， Abel就证明了：“高于四次的一般方 程不可能有一般形式的根式解”。这 是数学史上的一项重要成就。
但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? 对具有根式解的代数方程的特征问题， 阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不 幸的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
群的一些性质
（1）群满足消去律 （2）阶大于1的群一定没有零元素，因为零 元素不存在逆元素 （3）除单位元Байду номын сангаас外，一个群一定没有等幂元 素 （4）一个群（G，O ）的方程：a O x=b 与 y O a=b 中a，b ∈ G在群内有唯一解
性质（2） 当G≠{e}时, 群（G，*）中不可
能有零元. 证明: 由G≠{e}知,︱G︱>1,反设 （G，*）中有零元θ,则对x∈G， x*θ=θ*x=θ ≠ e.故θ无逆元, 与 （G，*）是群矛盾. （注意，G={e}时,e既是单位元，又是零元。）
6.2
群
6.2.1 群与群的同构 定义6.7 一个代数系统（G，O ）如果满足下 列条件： (1)满足结合律，即:对G内的任意元素a,b,c, 有(ab)c=a(bc) (2)存在单位元素，即存在一个元素1 ∈ G， 对G中任意元素a，有1 a = a 1 = a (3)存在逆元素，即对G中任一元素a，均有 G中一个元素a-1，满足a a-1 = a-1 a = 1 则称此代数系统（G，O ）为群
7月4日, 他终于打听到他给科学院的那 篇论文的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监 禁, 因为他在公共场所身着已被解散的国民 卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐 的恋情. 这导致了他的早亡. 这次恋爱事件 不知何故引出了一场决斗.
1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的 入学考试中再次失败. 怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向 科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞争一 项数学大奖.
科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿
拿回家去审读, 不料在写出评审报告前去世 了, 此文再也没有找到.
三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两 度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在仔细研究了 Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著 作的基础上写出了最著名的论文“关于方 程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送 交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他 写信给院长打听他的文章的下落, 结果又如 石沉大海.
定义6.3 一个半群(S, O)，若它的每个元素均 为S内某一固定元素a的某一方幂，则此半 群叫由a所生成的循环半群，元素a叫此半 群的生成元素. 推广 若一个半群(S, O)，它的生成元素不是一 个而是有限个元素，它们组成集合M，则 称此半群为由集合M所生成的半群，集合M 叫生成集. 如，代数系统(Z+,+)中Z+为正整数集，此代数 系统是一循环半群，生成元素是1
例2 设S是一个非空集合，规定S上的运算如 下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。 显然,“”为S上的二元代数运算。 对S中任意三个元素a，b，c，有： (ab)c=bc=c， a(bc)=a c=c 故，(ab)c = a(bc)， “”满足结合律，因此，(S， )为半群。 例3 自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实 数集R关于普通加法或乘法都可以构成半 群.
注意：群的定义实际上包含5个条件：
（1） G非空； （2）O 运算封闭； （3）O 运算满足结合律； （4）O 运算在G中有单位元； （5） G中任意元素对 O 运算有逆。
例1 设Z为整数集，+、 O是数的加法和乘法， 则半群（Z， +）是群，称为整数加法群。 因为存在元素0，适合对于Z中任意元 素a，都有0 + a = a + 0= a，即0为单位元 素；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个 元素-a，满足a + （-a） = （-a） + a = 0， 即-a为a的逆元素。
在这一时期, 碰巧还有一位年轻人 也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取 得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数 学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近 郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年 级.
15岁参加声望很高的巴黎高等工 科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通得师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他 的第一篇关于连分数的数学论文, 显示 了他的能力. 他的下两篇关于多项式方程的论 文遭到法国科学院的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.
Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与 Galois，他们在继承了Lagrange留下的宝 贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。 尤其是，犹如划破黑夜长空的一颗彗星— —Galois的出现，开创了置换群论的研究. 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明 了拉格朗日的看法. 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗 日、高斯有关方程式论的著作。开始时， 他利用高斯处理二项式方程的具体方法去 研究五次方程，曾一度以为能用根式解出 五次方程，但很快他发现其中存在的问题。
定理6.4 一个有可列个元素的单元半群的运 算组合表每行（列）内容均不相同 定理6.5一个单元半群(M, O)如果存在一个子 系统(M′, O)且其单位元素1∈M ′，则(M′, O) 亦是一个单元半群 定义6.5一个单元半群(M, O)如果存在一个子 系统(M′, O)且1∈M ′，则(M′, O)亦是一个单 元半群，称为(M, O)的子单元半群
例2 令G={e,a,b,c}，*运算由下表给出。容易 验证*运算满足结合律，e是G中的单位元，任 意元素a的逆a-1=a。G关于*运算构成一个群， 称为Klein四元群。
e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
e a b
c