集合及其运算_离散数学集合论

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离散知识点公式总结

离散知识点公式总结

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念,它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下:- 并集:对于集合A和B,它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合,记作A∪B。

公式:A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集:对于集合A和B,它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合,记作A∩B。

公式:A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集:对于集合A和B,A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合,记作A-B。

公式:A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集:对于集合A,相对于全集合U而言,A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合,记作A'。

公式:A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具,而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中,关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下:- 关系R:对于集合A和B,关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式:R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f:对于集合A和B,如果f是从A到B的一个映射,那么对于任意元素a∈A,都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式:f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支,它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下:- 有向图:对于图G=(V,E),如果E中的边是有方向的,则称G为有向图。

公式:G=(V,E),E={(u,v)|u,v∈V,u→v}- 无向图:对于图G=(V,E),如果E中的边是无方向的,则称G为无向图。

公式:G=(V,E),E={{u,v}|u,v∈V,u≠v}- 路径:在图G中,顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列,其中相邻的顶点用一条边连接。

公式:v1,v2, (v)- 回路:在图G中,如果一条路径的起点和终点是同一个顶点,则称其为回路。

《离散数学》集合的基本概念和运算

《离散数学》集合的基本概念和运算

(2)若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下:设A={a},
B={{a},b},C={{a},b,{c}},显然AB, BC,但A不是C的子集。因为aA,但aC。
定义3.7 A、B是任意集合,由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集,记
3.2 作 A B 。即

A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2,则12 且12,因此
1=2 全集 在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个
集合的子集,则称这个集合为全集,记作E
全集具有相对性
在给定问题中,全集包含任何集合,即A (AE )
三、幂集(PowerSet)
定义1.2.2 给定集合A,以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法

- 等价条件法

- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理:把一个等式中的中的∪,∩,E和
的分别代以∩,∪,和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质:
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B=B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C,有:
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C

A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )

离散数学集合论

离散数学集合论

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支,研究离散化的结构和对象,其中最基础的概念就是集合。

集合是一种包含元素的对象,元素可以是任何事物,例如数字、字母、颜色、人、动物等等。

在集合论中,我们将集合看作一个整体,而不考虑其中元素的顺序和重复。

集合的基本运算在集合论中,我们有以下基本的集合运算:1. 并集:将两个集合中的所有元素合并成一个集合,记作A∪B。

例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集:两个集合中共有的元素组成的集合,记作A∩B。

例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A∩B={3}。

3. 差集:从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合,记作A-B。

例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A-B={1,2}。

4. 补集:对于一个集合A,在全集中去掉A所包含的元素所得到的集合,记作A'。

例如,在全集U={1,2,3,4,5}中,A={1,2,3},则A'={4,5}。

集合的基本性质在集合论中,我们有以下基本的性质:1. 交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。

2. 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4. 对偶律:(A∪B)'=A'∩B',(A∩B)'=A'∪B'。

集合的应用在实际应用中,集合论有很广泛的应用。

例如,在计算机科学中,集合论被广泛用于数据库的查询和数据分析中。

在概率论和统计学中,集合论被用于描述事件的概率和概率的计算。

在图论中,集合论被用于描述图的节点和边的关系。

在逻辑学中,集合论被用于描述命题和谓词的关系。

在数学中,集合论是许多学科的基础,例如数学逻辑、代数学、拓扑学等等。

总结集合论是离散数学的基础,是许多学科的基础。

离散数学中的集合论问题

离散数学中的集合论问题

离散数学中的集合论问题离散数学是一个重要的数学分支,其中集合论问题是离散数学的核心内容之一。

集合论研究的是集合的性质、操作和关系,并提供了一种描述和推理离散对象之间关系的框架。

本文将介绍离散数学中的集合论问题,包括集合的定义、运算、性质以及一些常见的集合论问题。

一、集合的定义和表示方法在离散数学中,集合可以通过定义和表示方法来描述。

集合的定义是指明集合中的元素和满足的条件,通常用大写字母表示。

例如,集合A表示为:A = {1, 2, 3, 4, 5},表示集合A包含了元素1、2、3、4和5。

除了列举元素的方法表示集合外,还可以通过描述或表示集合中元素的性质来定义集合。

例如,集合B = {x | x 是偶数}表示B是所有偶数的集合。

集合可以用不同的表示方法来表达。

常见的表示方法包括:1. 列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号{}中;2. 描述法:通过描述集合中元素的性质来定义集合,使用竖线或冒号表示;3. Venn图:用图形方式表示集合之间的关系,通常用圆圈或矩形表示集合。

二、集合的运算在集合论中,集合之间可以进行不同的运算,包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集:两个集合A和B的并集(A∪B)是包含A和B中所有元素的集合。

符号∪表示并集。

例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集:两个集合A和B的交集(A∩B)是包含A和B中公共元素的集合。

符号∩表示交集。

例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∩B = {3}。

3. 差集:集合A减去集合B中的元素形成的集合称为差集(A-B)。

符号-表示差集。

例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A-B = {1, 2}。

4. 补集:在给定的全集中,集合A的补集(A')是包含全集中不属于A的元素的集合。

符号'表示补集。

离散数学集合论基础知识

离散数学集合论基础知识

离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科,集合论是离散数学的基础之一。

在这篇文章中,我们将介绍离散数学集合论的基础知识,包括集合的定义、运算、关系等内容。

一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体,它是数学中的一个基本概念。

我们可以用不同的方式表示一个集合,包括列举法、描述法和图形法。

(一)列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。

例如,可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …},表示所有正整数的集合。

(二)描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。

例如,可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数,且x能被2整除},表示所有能被2整除的整数的集合。

(三)图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。

例如,可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

(一)并集集合A与集合B的并集,记作A∪B,表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

例如,设A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

(二)交集集合A与集合B的交集,记作A∩B,表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。

例如,设A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∩B={3}。

(三)差集集合A与集合B的差集,记作A-B,表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。

例如,设A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A-B={1, 2}。

(四)补集对于给定的全集U,集合A相对于全集U的补集,记作A'或者A^c,表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。

例如,设全集U为自然数集合N,A={2, 4, 6},则A'={1, 3, 5, 7, ...}(即不是偶数的自然数)。

三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。

离散数学 第1章 集合及其运算

离散数学 第1章 集合及其运算
2。若 A B且B A ,则A=B。 3。若 A B ,且B中包含不属于A的元素,则称A是B
的真子集,记作A B 。
4。集合的包含关系具有:
⑴自反性, A A 。
⑵反对称性,A B且B A A B 。 ⑶传递性,A B且B C A C。
四、特殊集合
A (B C) (A B) (AC)
零一律 A A , A A
消去律 (A B) B A
例8 设A,B,C为任意集合,下列命题为真的是 D 。
A)如果 A B AC,则B C C)A A A B)如果 A B ,则A B D)是的子集
求 (A B) ~ C, P(A) P(C), A B
解: (A B) {1,2,4,5},~ C {1,3,5},(A B) ~ C E
P(A) {,{1},{4},{1,4}},P(C) {,{2},{4},{2,4}}
P(A) P(C) {{1},{1,4}}, A B {4}{2,5} {4,2,5}
9摩根律 A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C) ~ (A B) ~ A ~ B
~ (A B) ~ A ~ B 10双补律 ~ (~ A) A 对称差的性质类似并集,有:
交换律 A B B A 结合律 (A B) C A (B C) 分配律 A (B C) (A B) (AC)
集合A与B的交集,记作 A B 。 例如A={1,2,3,4},B={2,4,6},A B {2,4}
集合的并、交与集合之间有如下关系:
1。对于任意集合A、B
AB A AB B

根据离散数学知识点总结

根据离散数学知识点总结

根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支,主要研究离散的结构和对象。

它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。

本文将根据离散数学的知识点进行总结。

一、集合论集合论是离散数学的基础,主要研究集合之间的关系和运算。

其中常用的概念有:- 并集:将两个或多个集合中的元素合并在一起,形成一个包含所有元素的新集合。

- 交集:取两个或多个集合中共有的元素,形成一个新集合。

- 补集:对于给定集合S,补集是指包含所有不属于S的元素的集合。

- 子集:如果一个集合的所有元素都属于另一个集合,那么这个集合是另一个集合的子集。

- 幂集:对于给定集合S,幂集是指包含S的所有子集的集合。

二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。

在离散数学中,逻辑起到了重要的作用。

常见的逻辑概念包括:- 命题逻辑:研究命题之间的关系和运算,例如“与”、“或”、“非”等。

- 谓词逻辑:研究命题中的变量和量词,能够表达更复杂的命题关系。

- 推理规则:用于从已知命题推导出新命题的规则,例如包括假言推理、析取规则等。

三、图论图论是研究图及其性质的学科。

在离散数学中,图论常常用于描述和分析各种关系和网络。

图论的基本概念包括:- 图:由节点和边构成的结构,用于描述事物之间的联系和关系。

- 顶点和边:图中的基本元素,顶点表示节点,边表示节点之间的关系。

- 路径和环:路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列,环是指起点和终点相同的路径。

- 连通性:描述图中节点之间连接的特性,如连通图、强连通图等。

四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。

它在离散数学中有广泛的应用。

常见的组合数学概念包括:- 排列:将一组对象按照一定的顺序排列。

- 组合:从一组对象中选择若干对象,不考虑顺序。

- 布尔代数:用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。

- 生成函数:用多项式表示数列,方便研究其性质和计算。

以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。

离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用,对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。

离散数学第三章-集合的基本概念和运算

离散数学第三章-集合的基本概念和运算

29
例5、证明: A B A 证明:对任意 x ,
xAB
B (第14条)
xAxB
xAxB
xA B 故 AB A B
30
例6、证明 A (B A) A B 。 证明: A (B A) A (B A)
(A B) (A A) (A B) E A B
31
例7、化简 (A B C) (A B)
A B A AB
此式给出了A是B的子集的3种等价定义。不仅提供 了证明子集的新方法,也可以用于集合公式的化简。28
除基本运算外,还有以下一些常用性质 (证明略)
16、 A B B A
“ ”的交换律
17、(A B) C A (B C) “ ”的结合律
18、 A A
19、 A A
20、 A B AC B C
A {a1, a2, an} 表示集合 A 含有元素 a1, a2, an
5
注意: (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b,c},{a,b,b,c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物,
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如:A a,{b,c},b,{b}
1元子集:{a},{b},{c} (共C31 3个), 2元子集:{a,b},{a, c},{b, c}(共 C32 3个), 3元子集:{a,b, c} (共 C33 1个)。 一般,n 元集共有子集 Cn0 Cn1 Cnn (11)n 2n 个。
21
定义2 :集合 A 的幂集,记 ( A) ,是 A的全体子集的集合 例5、 A {a,b,c} ,求 (A) 。 解:(A) {,{a},{b},{c},{a,b},
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– 逻辑表达式的真值集合,{x D| P(x)}
• 举例: {x Z| |x|=x} , {x Z| x2 =2} , {x| x Z x2
=2}
皮亚诺公理 (Peano axioms for natural
numbers)
• 零是个自然数. • 每个自然数都有一个后继(也是个自然数). • 零不是任何自然数的后继. • 不同的自然数有不同的后继. • (归纳公理)设由自然数组成的某个集合含有零,且
每当该集合含有某个自然数时便也同时含有这个数的 后继,那么该集合定含有全部自然数.
• 备注:另有4个与自然数相等有关的公理
皮亚诺公理 (Peano axioms for natural
numbers)
用集合定义自然数
再具体一点
• 记号0表示:Ø
• 记号1表示0+: Ø {Ø}={Ø}
• 记号2表示1+: {Ø} {{Ø}}={Ø,{Ø}}
C(4, 0)+ C(4, 1)+ C(4, 2)+ C(4, 3)+ C(4, 4) =24
k=0…n C(n, k) =2n
集合运算的定义
• 运算定义的基本方式:将结果定义为一个新 的集合
– 并:A B={ x | x A x B }
• 并集: {1, 2 , 3}
– 交: A B={ x | x A x B }
• 自然数的构造
集合的定义
• 直观的定义
– 一个集合是一组无序的对象,这些对象称为这个集合的 元素或成员。
– a A表示a是集合A的一个成员, a A 表示a不是A的成
员。
• Georg Cantor的描述
– [English translation] A set is a collection into a whole of definite, distinct objects of our intuition or our thought. The objects are called elements N(maeïvmebseert) tohfetoherys,et朴. 素集 合论
集合及其运算
离散数学-集合论
证明方法
直接证明 反证法 分情形证明 等价性证明 存在性证明 唯一性证明 寻找反例
回顾
提要
• 基本概念
– 集合及其描述 – 集合相等、子集关系 – 幂集、笛卡尔乘积
• 集合运算
– 交并补、广义交、广义并 – 集合恒等式 – 集合相关命题的证明方式
集合的大小
• 有限集合及其基数
– 若S恰有n个不同的元素,n是自然数,就说S是有限集 合,而n是S的基数,记作|S|=n。
• 无限集合
– 如果一个集合不是有限的,就说它是无限的。
空集
• 存在一个没有任何元素的集合:空集Ø • 关于空集的一些性质:
– 空集是任何集合的子集。
• Ø A,即 x(x Ø x A)
– x (x A x B )
– 如果A B, 但A B,则A是B的真子集,记作A B • 定理:对任意集合A和B, A=B 当且仅当:
– A B, 且B A
子集关系的一个性质
• 证明:如果X Y且Y Z, 则X Z
• 要证明:“对任意的 a, 如果 a X, 则 a Z”
• 证明:
– 对任意的 a X – 根据已知的“X Y”,可得:a Y – 根据已知的“Y Z”,可得:a Z – 所以, a (a X a Z ), 即X Z
– 空集是唯一的,可以用 Ø表示
• 如果 Ø1, Ø2都是空集,则 Ø1 Ø2 和 Ø2 Ø1 均为 真
关于空集的讨论
• 空集本身可以是一个对象,可以是某个集合的元素
– Ø {Ø}, Ø {Ø}
• 事实上,我们从空集开始构造整个集合世界!
– 自然数 – 有理数 – 实数(幂集运算) –…
幂集
• S是一个集合,S的幂集是S的所有子集的集合
– [a, b]={x R | a x b}
集合的描述
• 文氏图(Venn diagrams )//John Venn
a
U
uV e
oi
集合相等、子集关系
• 定义:集合相等当且仅当它们有同样的元素
– A=B 当且仅当 x(x A ↔x B) //外延原则
• 定义:集合A称为集合B的子集, 记作A B
– (S)={x| x S}
• 举例
– ({a, b}) = {Ø,{a},{b},{a, b}}
– (Ø) = {Ø}
If (A) AB
(B), then
有限集合的所有子集
1
1
1
12
1
133
1
1 1
4.....6.
4
A={1, .., n}
如果 |A|=n, 则 | (A)|=2n
幂集的另一种记法: 2A
• 交集: {3}
1 32
A
B
相对补(差)
– B对于A的补集
• A-B={ x | x A x B }
– 举例,A-B={1}
– 若有一个我们关心的“所有”对象 的集合,称为全集,常用U表示, U-B称为B的“补集”,记为~B
• x ~B ↔ x B
1 A
U
32 B
B
对称差
– 对称差
• A B=(A-B) (B-A)
– 最大下界:
• A B A, A B B
----A和B的下界
• 对任意X,若X A , X B ,则X A B ----最大下界
集合与谓词逻辑
– 在量化逻辑表达式中使用集合符号
• x S(P(x))代表 x(x S P(x)) • x S(P(x))代表 x(x S P(x)) • 举例
– x R(x2 0): x(x R (x2 0)) – x Z(x2=1): x(x Z x2=1)
集合的描述
• 外延法:罗列、枚举
– V={a, e, i, o, u}
– {1, 3, 5, 7, 9}
• 概括法:
– {x | P(x)}, P :某种思维、观察中总结出的对象性质
• a {x | P(x)} ↔ P(a)
– 例: +={x q 0},
| x>0},Q= { p/q | p
,q ,
– 证明: A B=(A B)-(A B)
• (A-B) (B-A) (A B)-(A B) • (A B)-(A B) (A-B) (B-A)
AB
广义并和广义交
运算的重要性质
• 包含关系下两个集合的最小上界和最大下界
– 最小上界:
• A A B, B A B
----A和B的上界
• 对任意X,若A X ,B X ,则A B X ----最小上界
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