离散系统的数学模型与分析
线性离散系统数学模型和分析方法
线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。
线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。
我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。
通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。
7-4 离散系统的数学模型
对差分方程取z变换,由实数位移定理得 C(z)=z-kR(z) G(z)=z-k
例7-19 设如图开环系统中的
a G( s ) s( s a )
r(t)
R(z)
r*(t) G(s)
c(t)
c*(t)
C(z)
试求其脉冲传递函数G(z) 解 G(s)的Z变换 G(z)=Z[G(s)]
G(s) L-1
2.线性定常系统差分方程及其解法
前向差分方程 c(k+n)+a1c(k+n-1)+…+an-1c(k+1)+anc(k) =b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+…+bm-1r(k+1)+bmr(k)
亦可表示成
n m c ( k n) a i c ( k n i ) b j r ( k m j ) i 1 j 0
r(t)
r*(t) G(s) R(z)
c(t)
c*(t)
C(z)
n c( nT ) z C ( z ) n0 G( z ) R( z ) n r ( nT ) z n0
(3)脉冲传递函数的求法 r ( t ) ( t ) R( s ) 1
r (t ) (t )
(1)迭代法 例7-16 已知差分方程
c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)
输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1,试 用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,…10 解 根据初始条件及递推关系，得 c(0)=0 c(1)=1 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90
离散系统的数学模型-浙江大学控制科学与工程学院
连续状态空间模型离散状
Ø
*(t)连续状态空间模型
⎧
x(k
例7-3-9 ，求其离散方程（含零阶保持）解：
1) 离散状态方程本质上是一阶差分方程组，故求其解也与求差分方程解一样有两种方法：递推法与
Ø
直接将初始条件
令Φ(
Øz z () X
解：1)用递推法代入不同的例7-3-10 x x ⎢⎣⎡
解：例7-3-10 x x ⎢⎣⎡
X
1)
Ø由差分方程
y
例：，求脉冲传递函数解：作
零初始条件
Ø
若已知控制器的脉冲传递函数须将
2) Ø
例7-3-11
⎤
u
(k
)
解：
Ø
Ø
现问题
Ø
分解）、
信号流图等工具也可以采用Ø
Ø能控标准型和能观标准型
G (z )==⎢⎢⎢⎡=A
Ø例7-3-12 解：1(21k y x x ⎢⎣⎡
Ø正则标准型（并联分解）：适用于脉冲传递函数为部分分式形式，
基本单元：
Ø例7-3-12 解：
(D z
Ø：适用于脉冲传递函数分子分母均为因式分解形式一阶环节基本单元
例7-3-12
解：
状态变量图
Ø例7-3-12
解：
状态变量图
例7-3-13
解：特征方程的根：
)(z D e
) (k
3) 差分方程和状态方程Ø
Ø
例7-3-14
4) •例
(G 12(((x x y k (e k。
离散系统的数学模型
离散系统的数学模型
1.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某ຫໍສະໝຸດ 时刻的输出只与输入有关，而余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压 的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
1.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
信号与系统
7-4离散系统的数学模型全篇
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
3.4时域离散系统的数学模型和分析方法
3.8系统分类及其分析方法 系统分类及其分析方法 3. 系统分析方法
燕山大学电气工程学院
时域分析法：研究系统的时域响应特性， 时域分析法：研究系统的时域响应特性，分析时域 响应函数h(t)、利用卷积运算或求解差分方程得到y(t)。 、利用卷积运算或求解差分方程得到 。 响应函数 变换域分析法： 变换域分析法：将时域函数变换为相应域的变量函 数，如通过傅立叶变换或z变换分别得到系统的频率响应 如通过傅立叶变换或 变换分别得到系统的频率响应 和系统函数，进而将时域中的卷积运算转换为乘法运算， 和系统函数，进而将时域中的卷积运算转换为乘法运算， 并得到输出信号在不同变换域的表现形式。 并得到输出信号在不同变换域的表现形式。 由于LTI系统具有叠加、比例与时不变特性，其分析 系统具有叠加、比例与时不变特性， 由于 系统具有叠加 方法是将信号分解为多个基本信号元， 方法是将信号分解为多个基本信号元，在时域和频域分 别分解为冲激函数和复指数函数的叠加， 别分解为冲激函数和复指数函数的叠加，然后利用上述 两类系统分析方法。 两类系统分析方法。
3. 时域离散系统的频域分析
燕山大学电气工程学院
• 传输函数与系统函数
对于连续时间系统
ya (t) = xa (t) ∗ ha (t)
Y (s) = X a (s) • H a (s)
时域
xa (t )
连续时间系统
ha (t )
复频域 X a (s) 线性时不变
定义输出信号与输入信号的拉氏变换之比为传递函数。
第三讲、 第三讲、数字信号分析原理
燕山大学电气工程学院
3) 连续时间系统与离散时间系统 激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统， 也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统 是离散时间系统，也称数字系统。普通的电视机是典 型的连续时间系统，而计算机是典型的离散时间系统。 随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系 统是兼有连续和离散时间处理的混合系统，如下图。
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程
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2.2.3 系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z)
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
2.6 离散系统时域响应特性分析
2. 极点为复数
R( z ) 1
ci 1 z ci z G( z) z pi z pi 1
k
pi,i 1 pi e ji
ci,i 1 ci e ji
脉冲响应
c(k ) Z [G( z ) R( z )] ci pi (e j ( ki i ) e j ( ki i ) ) 2 ci pi cos(
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
H 2 ( z)
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
连续系统的状态空间描述来自X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) xn (k )
2. w变换与劳斯稳定性判据 w变换
z w 1 z 1 或 w w 1 z 1
－－双线性变换
2.5 离散系统稳态误差分析
2.5.1 稳态误差的定义
r(k) e(k)
D(z)
u(k)
G(z)
c(k)
2.5.2 稳态误差的计算
E ( z ) R( z ) C ( z )
ess lim(1 z 1 ) E ( z )
k
i
T
kT i )
2.6.1 极点位置与动态响应的关系 1. 极点位置位于实轴
R( z ) 1
G ( z ) ci z z pi
脉冲响应
c(k ) Z[G( z) R( z)] ci pik
例： 已知数字滤波器如下：
0.126 z 3 D( z ) ( z 1)( z 0.55)( z 0.6)( z 0.65)
估计它在单位阶跃输入下的时间响应及稳态值
例：在z平面上有4对共扼复数，试分析他们的脉冲响应。
2.7 离散系统频域分析
2.7.1 离散系统频率特性定义
连续系统 sin t 离散系统 sin kT
A sin(t ) A sin( kT )
G ( s) G( z)
频率特性 G ( j ) G ( s) 频率特性G (e jT ) G ( z )
bmr (k m)
——后向差分方程 anc(k ) b0r (k m) b1r (k m 1) bmr (k ) ——前向差分方程
2.1.2 差分方程的解法
2.2 脉冲传递函数
2.2.1 脉冲传递函数的定义 2.2.2 差分方程与脉冲传递函数
Z变换 差分方程 Z反变换 传递函数
T T
X AX Bu y CX Du
n维状态向量 m维控制向量
U (k ) u1 (k ) u2 (k )
um ( k )
Y (k ) y1 (k )
y2 ( k )
y p (k )
T
p维输出向量
2.3.2 由脉冲传递函数建立状态方程
Y ( z) bn z n bn1 z n1 b1 z b0 G( z ) n U ( z ) z an1 z n1 a1 z a0
s j
A( ) ( )
z e jT
A( ) ( )
2.7.2 离散系统频率特性计算
1 . 幅相特性曲线 例： 系统的开环脉冲传递函数为 试绘制开环幅相特性曲线 解： 频率特性 D(e
jT
D( z )
0.368( z 0.722) , T 1s ( z 1)( z 0.368)
离散系统的数学模型与分析
主要内容
• 离散系统的数学模型（差分方程，脉冲传递函数）
• 离散系统的分析方法
2.1 Z变换与差分方程
2.1.1 差分方程的一般形式
c(k ) a1c(k 1)
c(k n) a1c(k n 1)
anc(k n) b0r (k ) b1r (k 1)
3. 稳态误差
原理误差
附加误差
2.5.4 干扰作用下的稳态误差计算
N(z) 0 E(z)
D(z)
u(z)
c(z)
G1(z)
G2(z)
E ( z ) C ( z )
ess lim(1 z 1 )
z 1
G2 ( z ) N ( z) 1 D( z )G1 ( z )G2 ( z )
z 1
1 E ( z ) R( z ) C ( z ) R( z ) 1 D( z )G( z )
稳态误差
ess lim(1 z 1 )
z 1
1 R( z ) 1 D( z )G( z )
2.5.3 几点讨论 1. 系统稳定才有稳态误差
2. ess= 并非系统不稳定
2.4.2 离散系统的稳定条件
系统的特征根全部位于Z平面的单位圆内
2.4.3 离散系统稳定性判据（代数判据）
1. 朱利稳定性判据 设离散系统的特征根方程为
A( z) a0 z n a1z n1
an1z an 0
若a0>0, 当且仅当朱利表中所有奇数行第1列系数均大于零时，该方程 的全部特征根才位于单位圆内。 若奇数行第1列有小于零的系数，则小于零的系数的个数等于位于单位 圆外的特征根的个数。
2.4 离散系统稳定性分析
2.4.1 S平面与Z平面的相互关系 1. S平面虚轴 S左半平面 S右半平面 Z平面单位圆 Z平面单位圆内 Z平面单位圆外
2. S平面上主带与旁带重复映射在整个Z平面上。 3. S平面上实轴平行线（等线）映射到Z平面是 从原点出发的射线。 4. S平面上虚轴平行线（等衰减系数线）映射到Z平面是 同心圆。 5. S平面上等阻尼比线映射到Z平面是螺旋线。