离散时间系统附响应
实验一_时域离散信号、系统及系统响应
1、实验目的
•
1 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系， 加深对时
域采样定理的理解。
•
2 熟悉时域离散系统的时域特性。
•
3 利用卷积方法观察分析系统的时域特性。
•
4 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法， 利用序列的傅里
叶变换对连续信号、 离散信号及系统响应进行频域分析。
Y (e jk ) X a (e jk )H (e jk ), k 0,1, , M 1
所得结果之间有无差异? 为什么?
• 五、实验报告要求
• 1 简述实验目的及实验原理。
• 2 按实验步骤附上实验过程中的信号序列、 系统单位脉冲响应及 系统响应序列的时域和幅频特性曲线， 并对所得结果进行分析和 解释。
样间隔。 这些参数都要在实验过程中由键盘输入， 产生不同的xa(t)
和xa(n)。
•
b. 单位脉冲序列： xb(n)=δ(n)
•
c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10
• ② 系统单位脉冲响应序列产生子程序。 本实验要用到 两种FIR系统。
•
a. ha(n)=R10(n);
•
b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
• 二、实验原理与方法
• 采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。
。 • 对一个连续信号xa(t)进行理想采样的过程可用下式表示
^
xa (t) xa (t) p(t)
(1)
^
x 其中 (t)为xa(t)的理想采样， p(t)为周
期冲激脉冲， 即
p(t) (t nT )
课件：离散时间系统的频率响应
则系统的幅频特性为
M
ej z j
H (e j )
k
j 1 N
ej pi
H (e j ) e j
i 1
ej pi Bieji 相频特性为
M
Aj
H (ej )
k
j1 N
Bi
i 1
M
N
() j i
j 1
i 1
信号与系统
§7.9 离散时间系统的频率响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/20
一、离散时间系统频响的定义
离散时间系统的频率响应： h(n) 的傅里叶变换 条件：稳定系统
H ej F h n H z zej
从系统激励与相应的零状态响应的傅里叶变换关系来看，
H
e j
Y
z
Y zej
e j
X z zej
X ej
H ej H ej ej
幅频特性： H ej ~
相频特性： ~
二、离散时间系统频响的物理意义
观察复指数序列 xn e u j0n n
X
z
z
z e j0
则系统响应的z变换为
Y
z
z z e j0
H z
由于系统为因果稳定系统， 极点均位于单位圆内，不会
与X(z) 的极点 ej0相重合。
Y
z
az z ej0
M
Am z
m1 z zm
其中常数 a H e j0 ，则稳态响应为
二、离散时间系统频响的物理意义
y n H ej0 ej0nu n
序列 e u j0n n经过一离散时间系统H(ejω) ，所得稳态响
应依然是 e u j0n n，但受到该系统频率响应 H e j0的加
实验一 离散时间信号与系统响应
班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。
2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。
3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。
4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。
离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。
记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。
算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。
1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。
线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。
H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。
2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。
由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。
§ 离散时间系统的频率响应特性
通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
数字信号处理实验报告一二
数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。
()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。
也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。
因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。
已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。
离散时间系统的频率响应特性
差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。
例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。
()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。
求系统的响应 y (n )。
解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。
离散时间系统的频率响应特性
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1 x n 1 z1
（a)
系统函数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2
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实验报告格式
院系：物理与电子科学学院专业：电子信息科学与技术班级：一班
X=x*(exp(-j*2*pi/M).^(n’*k);
实验结果分析
N=16; n=0:N-1; x=sin(2*pi*n/64)+sin(20*pi*n/64); a=[1 -0.25]; b=[0.5 0.45 0.35]; ;
subplot(221); zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
MagH=abs(H);
Subplot(224);plot(w/pi,MagH);
N=16; n=0:N-1; x=5+3*cos （0.2*pi*n ）+4*sin(0.6*pi*n)];
a=[1 -0.5 0.25]; b=[1 2 1];
subplot(221); zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
MagH=abs(H);
Subplot(224);plot(w/pi,MagH);
求序列的离散时间傅立叶变换，求出其DTFT )(ωj e X 。
画出)(ω
j e X 的幅值和相位曲线。
∑∞-∞=-==n n j j e
n x n x F e X ωω
)()]([)(
}4,3,2,1,2,3,4{)(=n x 编写程序为：
n=[0:6];k=0:6;M=7;
x=[4,3,2,1,2,3,4];
X=x*(exp(-j*2*pi/M).^(n'*k));
PhaseX=angle(X);
Subplot(221);plot(PhaseX);
MagX=abs(X);
Subplot(222);plot(MagX);
思考题解答
1、离散系统的特性与零极点分布密切相关，通过求解系统极点，尤其
是否在单元圆内，来判断系统的稳定性。
对一个复杂系统来说将系
统函数由有理分式分解为零极点形式时，并不容易。
而利用
MTALAB可以很方便的确定零极点并作出零极点图直接判断系统
的稳定性。
2、2、离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号
分析中具有重要的理论意义。
但在用计算机实现运算方面比较困
难。
这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是
离散的，但其频谱在字角频率Ω上却是连续的周期函数。
而计算机
只能处理变量离散的数字信号。
所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。
数字角频率Ω上却是连续的周期函数。
而计算机只能处理变量离散的数字信号。
所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。
所有实验均按些格式书写。