离散时间系统的基本概念
离散系统的基本概念
s3 2z z Z z e T z e 2T ( s 1)( s 2)
离散系统的基本计算
1、Z变换
1 e Ts 1 求 G ( s) 的Z变换 s s 1 当传递函数含有零阶保持器时，有
1 G ( z ) (1 z ) Z s ( s 1)
H (s )
上式两端离散化
根据前述的性质，有 对离散信号取Z变换
E * ( s) [ R( s) G1 ( s) H ( s) E * ( s) ] *
E * ( s) R* ( s) [ G1 ( s) H ( s)] * E * ( s) ]
E ( z) R( z) Z[G1 ( s) H ( s)] E ( z)
求误差脉冲传递函数e（z）
用终值定理计算稳态误差 图所示系统
e (z)
*
2、求出的是采样瞬时的稳态误差。 3、离散系统的稳态误差还与T有 关。
E (z) 1 R( z ) 1 G ( z )
离散系统的基本计算---闭环脉冲传递函数
GB (z )
C (s ) R(s )
E * ( s)
图中E(s)为连续信号如何离散化 是关键。为此有：
C ( s)
*
G1 ( s)
B (s )
E ( s ) R( s ) B ( s ) R( s) G1 ( s) H ( s) E * ( s)
10(0.368z 0.264) K (1 e Ts ) 10(1 e s ) G( z ) 2 G( s) 2 2 s ( s 1) s ( s 1) z 1.368z 0.368 G( z ) 3.68z 2.64 ( z ) 2 1 G ( z ) z 2.31z 3
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
离散控制系统的基本原理和概念
离散控制系统的基本原理和概念离散控制系统是指通过离散的方式对连续的物理过程进行控制的系统。
它通过在不连续的时间间隔内对物理过程的状态进行采样和决策，以实现对系统行为的调节和优化。
离散控制系统在工业生产、交通运输、电力系统等领域都有重要的应用。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和概念。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态采样：离散控制系统通过在特定的时间间隔内对系统的状态进行采样，获取系统当前的信息。
采样可以通过传感器或者测量设备实现，常用的采样方法有周期性采样和事件驱动采样。
2. 状态量量化：离散控制系统通过量化采样得到的状态量，将连续的物理量转化为离散的数字信号。
量化可以通过模拟-数字转换器（ADC）或者编码器来实现，将模拟信号或者连续的物理量转化为数字信号或者离散的状态。
3. 控制决策：离散控制系统通过对采样得到的状态量进行处理和分析，根据预先设定的控制策略和算法，决策出下一时刻的系统控制指令。
常见的控制策略有比例控制、积分控制、微分控制等。
4. 控制执行：离散控制系统根据决策出的控制指令，通过执行机构对系统进行控制。
执行机构可以是电机、执行器、调节器等，它们根据控制指令调节系统的输入、输出或者参数，使系统达到预期的控制目标。
5. 反馈调节：离散控制系统通常配备反馈机制，通过对系统输出或者状态的反馈信息进行采样和分析，实时调节控制策略和参数。
反馈控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，使系统能够自动适应外部扰动和变化。
二、离散控制系统的概念1. 离散事件：离散控制系统所控制的物理过程通常是由一系列离散事件组成的。
离散事件可以是系统状态变化、信号发生改变、控制指令变化等。
2. 采样周期：采样周期是离散控制系统进行状态采样和控制决策的时间间隔。
采样周期的选择需要考虑到系统的动态特性、采样准确性和计算开销等因素。
3. 控制周期：控制周期是离散控制系统执行控制指令的时间间隔，它决定了系统对外部扰动和变化的响应速度。
离散时间信号与系统教程
离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统是一门重要的信号与系统理论课程，它在现代信息处理、通信和控制等领域有着广泛的应用。
本教程将介绍离散时间信号与系统的基本概念、特性和分析方法，帮助读者建立对离散时间信号与系统的理解和应用能力。
首先，我们来了解离散时间信号的基本概念。
离散时间信号是以时间为自变量的数字信号，它在时间上以离散的方式变化。
离散时间信号可以用数学表示为一个序列，每个序列值对应一个离散时间点上的信号强度。
离散时间信号的特性包括有界性、统一性和周期性。
有界性表示信号在某一区间内取有限的值，统一性表示信号在整个时间范围上都存在，周期性表示信号以一定的间隔重复出现。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和变换的系统。
离散时间系统可以用差分方程或差分方程组来描述。
常见的离散时间系统包括差分方程、差分方程组、差分方程的状态空间表示等。
离散时间信号与系统的分析方法主要包括时域分析和频域分析。
时域分析主要通过对信号和系统的零输入响应、零状态响应和总响应进行分析来研究其特性。
频域分析则通过傅里叶变换、离散傅里叶变换等方法，将信号和系统转换到频域中进行分析。
在离散时间信号与系统的教程中，还会介绍一些重要的概念和性质，如单位样本序列、单位阶跃序列、单位冲激响应等。
同时，会引入一些经典的离散时间系统，如差分方程、滤波器等，通过实例来说明它们在实际应用中的重要性和应用方法。
最后，离散时间信号与系统还与连续时间信号与系统存在一定的联系。
在这方面，我们将介绍采样定理和离散化方法，以及连续时间系统与离散时间系统之间的转换关系。
离散时间信号与系统是信号与系统理论中的重要分支，它为我们理解和分析数字信号的产生、传输和处理提供了基础。
通过学习离散时间信号与系统的基本概念、特性和分析方法，读者将能够掌握离散时间信号与系统的基本原理和应用技巧，为将来的工程实践和科学研究打下坚实基础。
离散时间信号与系统在现代信息处理、通信和控制等领域有着广泛的应用。
连续系统与离散系统的概念
连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。
连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。
而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。
首先，我们来详细介绍连续系统。
连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。
连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。
线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。
而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。
连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。
传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。
接下来，我们来介绍离散系统。
离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。
离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。
离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。
离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。
在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。
连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。
而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。
此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。
离散时间信号与系统教程
离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要内容之一。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对这些信号进行处理和变换的设备或算法。
本文将介绍离散时间信号与系统的基本概念、性质以及常用的变换方法和应用。
一、离散时间信号离散时间信号是在离散时间点上取值的函数，离散时间点一般用整数表示。
例如，对于一个音频信号，可以按照每秒采集多少个样本来表示离散时间点。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n为离散时间点。
离散时间信号有许多重要的性质，例如周期性、能量与功率、线性性等。
周期性是指信号具有重复的特征，可以表示为x(n)=x(n+N)，其中N为周期。
能量与功率是用来描述信号的能量和功率大小的，能量表示信号的总能量，功率表示单位时间内信号的平均功率。
线性性是指信号满足线性叠加原理，即若有两个信号x1(n)和x2(n)，则对应的线性组合也是一个信号。
二、离散时间系统离散时间系统是对离散时间信号进行处理和变换的设备或算法。
离散时间系统可以表示为y(n)=T[x(n)]，其中T为系统的变换操作。
常见的离散时间系统有线性时不变系统(LTI系统)、卷积系统和差分方程系统等。
LTI系统是指具有线性性和时不变性的系统，线性性表示系统满足线性叠加原理，时不变性表示系统的输入与输出之间的关系不随时间变化。
卷积系统是通过卷积操作实现信号的处理和变换的系统，可以将输入信号与系统的冲击响应进行卷积运算得到输出信号。
差分方程系统是通过差分方程描述系统的输入与输出之间的关系，可以通过求解差分方程得到输出信号。
三、离散时间变换离散时间变换是将离散时间信号从一个表示域转换到另一个表示域的方法。
常见的离散时间变换有傅里叶变换、Z变换和小波变换等。
傅里叶变换是将离散时间信号从时间域转换到频率域的方法，可以将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
Z变换是将离散时间信号从时间域转换到复平面的方法，可以得到离散时间系统的频率响应。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
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h ( n ) = a u( n )
n
a 1时，该系统不是稳定的
a
1
a a
2
3
如，a为实数，a>1时
•••••• n
17
1 0
考察系统因果性时，还需注意把输入信号的影响与其他函数区别开 如,y(n)=x(n)sin(n+2)是因果的，只看x(n)与y(n)的关系
13
2.LSI系统是因果系统的充要条件就是：h(n)=0,n<0
证：充分性：若n 0时，h(n)=0 则y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)
满足可加性 ②比例性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n)
y2 (n) r1 (n) x2 (n) jx1 (n) I1 (n) j r1 (n) Im 不满足比例性 由①②得出该系统不是线性系统
16
【例】设某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a nu(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）因果性 1
n<0时，h(n)=0 该系统是因果系统。
（2）稳定性 1 1 a a 1 n h(n) a n＝－ n 0 a 1 a 1时，该系统是稳定的
jy1 (n) jI1 (n)
5
【例】系统y (n) 4 x(n) 6是否为线性系统 解：设x(n)=0 y(n)=4x(n)+6=6 不满足零输入产生零输出 该系统不是线性系统
说明：其实该系统等价为
6 x(n)
T[x(n)]=4x(n) 线性系统
⊕
y(n)
也称为增量线性系统
Other Proof !
注：要证明一个系统不是移不变的，找一个反例来证明 如果系统有一个移变的增益，则一定是移变的
7
3.线性移不变系统
同时具有线性和移不变性的离散时间系统
简称LSI系统（Linear Shift Invariant）
也称LTI系统（Linear Time Invariant） 本书主要研究LSI系统（除申明外）
y(n 0 )至少和m n0中的一个x(m)值有关 假设不成立 n 0时，h(n)=0是必要条件
14
五、 稳定系统
稳定系统——有界输入产生有界输出（BIBO），即
若： x(n) M 则： y(n) P
LSI 系统是稳定系统的充要条件：
n
h(n) P ，即h(n)绝对可和
数字信号处理
Digital Signal Processing
Ch2.3 离散时间系统的基本概念
1
输入序列
x n
T []
y n
输出序列
也可表示为： y n T x n 或
T x n y n
本书研究的是“线性移不变”的离散时间系统
2
一、线性移不变系统
说明：要证明一个系统不稳定，只需找一个有界输入能
得到一个无界输出的特例就可；要证明一个系统是稳定的， 必须利用所有有界输入下都能产生有界输出的办法来证明。
15
六、 因果稳定的LSI系统
单位抽样响应h(n)是因果的，是绝对可和，即：
h(n) h(n)u (n) h (n) n
m
m
x(m) T[ (n m)] x ( m) h( n m)
根据线性系统的叠加原理 根据移不变性
m
即 y (n) x(n) * h(n) LSI 系统可用h(n)来表征 x(n) h(n) y (n) x(n) * h( n)
9
三、 LSI系统的性质
1.交换律 卷积和与两序列次序无关，即：
x (n ) h (n ) h (n ) x (n ) y (n )
说明 x(n)
h(n) LSI系统
y(n)
等价于
h(n)
x(n)
y(n)
10
2.结合律 可以证明卷积和运算服从结合律，即
x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n )
0 · ������(������) = 0
4
【例】系统y (n) Im[x(n)]是否为线性系统 解：①可加性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n) Im y2 (n) I 2 (n) x2 (n) r2 (n) jI 2 (n) Im I1 (n) I 2 (n) y1 (n) y2 (n) x1 (n) x2 (n) r1 (n) r2 (n) j[ I1 (n) I 2 (n)]
m m
x(m)h(n
n0
0
m)
y(n 0 )只与m n0的x(m)有关 是因果系统 必要性（反证法） 设该系统满足因果，又设n 0时，h(n) 0，则 y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)+
m n0 m n0 +1
x(m)h(n 0 m) 至少一个不为0
0
对于因果系统有：若n n0 , x1 (n) x2 (n) 则有：n n0 , y1 (n) y2 (n)(书p27有误，n n0 n n0 ) 非因果系统——不实际的系统。 但不是所有有实际意义的系统都是因果系统，比如：
N 1 常用的对数据取平均（平滑），y(n)= x(n k)不是因果系统 2 N 1 k N Note：
h1(n) x(n) y(n) 等效于 x(n) h1(n)+h2(n) h2(n) y(n)
两个并联的LSI系统等效于单位抽样响应为两个能并的
LSI的单位抽样响应之和的系统。
12
四、 因果系统
1.因果系统——系统某时刻的输出只取决于此时刻及之前的 输入，即： y (n 0 )只取决于x(n) |n n
②比例性（齐次性）
T 设x(n) y ( n) T 则有ax(n) ay (n)
注：证明一个系统是线性系统时，该系统必须同时满足{ 信号及比例因子可以是复数
可加性 比例性
必要条件
������
线性系统满足：零输入→零输出
设������(������)
������
������(������) ，根据比例性 0 · ������(������) = 0
1.线性系统
满足叠加原理的系统
N个信号加权和输入
N
T 输出N个对应响应的同样加权和
N
T a x ( n ) ai yi (n), ii i 1 i 1 T 其中，xi (n) yi (n)(i 1, 2,
N)
3
实际上叠加原理包括两个性质： ①可加性
T T 设x1 (n) y1 (n)，x2 (n) y2 ( n ) T 则有x1 (n)+x2 (n) y1 (n) +y2 (n)
6
2.移不变系统——时不变系统（非移变系统）
系统的响应与激励加于系统的时刻无关，系统的参数不随时 间而变化。 若x(n) y (n), m, 有x(n m) y (n m) 输入移位m，输出也移位m，对应幅值不变
【例】设y (n) n x(n)是否移不变 解：设输入x1 (n) (n) y1 (n) n (n) x2 (n) x1 (n 1) (n 1) y2 (n) n x2 (n) n (n 1) (n 1) y1 (n 1) 该系统是移变的
[ x ( n ) * h ( n )] * h ( n )
2 1
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) x(n)
y(n)
h2(n)
h1(n)
y(n)
LSI系统级联后的单位抽样响应与级联次序无关
11
3.分配律 卷积和满足
x(n) * h1 (n) x(n) * h2 (n)=x(n) *[ h1 ( n) h2 ( n)]
8
二、 LSI系统的单位抽样响应和卷积和
h(n) 单位抽样响应 单位抽样序列 (n)
T
任意序列x(n) 可用 (n)的移位加权和来组成 从Ch2.2可知， x(n) x(m) (n m) 即： m 则LSI系统的输出：
y (n) T[ x(m) (n m)]