电源最大输出功率的条件论证及应用
第9节,电源输出最大功率的条件
课时授课计划
§1—9 电源输出的最大功率
教学目的：了解电源输出的功率与负载的电阻有关；
掌握电源输出最大功率的条件；
教学重点：掌握电源输出最大功率的条件；
教学难点：最大功率和条件的推导
教学关键：应用配方法
教学过程
引入:当电源一定时，电源输出的功率大小由负载的电阻决定，负载的电阻为多少时，电源输出的功率最大？如下图
因为Ｐ＝Ｉ２Ｒ
又Ｉ＝Ｅ／（Ｒ＋r）
则Ｐ＝（Ｅ／Ｒ＋r）２R
＝Ｅ２Ｒ／（Ｒ—r）2+4R r
故当Ｒ＝r时，电源输出的功率最大:
Ｐm＝Ｅ２／４Ｒ；
说明：①当Ｒ＝r时，叫阻抗匹配;
②阻抗匹配时，电源的效率为５０﹪。
练习：一信号源的内阻为r＝５Ω，电动势为１０Ｖ，负载电阻为多少时，负载得到的功率最大，最大是多少？
例题：第１７页
练习：第１７页。
关于电源输出功率及应用
关于电源输出功率及应用一、电路模型如图1所示，电源电动势为，内阻为r ，外电阻为R ，则当外电阻发生变化时，电源的输出功率随之发生变化. 二、定性讨论1. 当外电R=0时，电源处于短路状态，电源输出功率等于零.2. 当外电R=∝时，电源处于断路状态，电源输出功率等于零.所以当外电路的电阻R 发生变化时，电源的输出功率发生变化.中间出现及值. 三、定量推导设电源的电动势和内电阻为ε、r ，外电路的电阻为R ，则：P=I 2R=•)+(22Rr R ε=r Rr R 4+)(22—ε，作出相应的P —R 图线，如图2所示. 四、推论1．电源最大输出功率（外电路获得的最大功率）：由P=r Rr R 4+)(22—ε得：当R=r 时，P 最大，P m =r42ε2．如图3，可变电阻R 上获得最大功率的条件：R= R 0+r 即可以将R 0看成是电源内电阻的一部分.3．由图4可以看到，在ε、r 一定的条件下，对于某一输出功率P ，可以对应两个外电阻R 1、R 2.由P=r Rr R 4+)(22—ε推得：R 1·R 2=r 24．由图4还可以看到若R<r ，则当R 增大时，P 增大；若R>r ，则R 减小时P 增大. 五、应用例1如图5，电源电动势ε=9V ，内电阻r=2.5Ω，电路中的四盏灯相同,规格为“6V6W ”，电阻R=0.5Ω.则（1）欲使电源输出功率最大，灯应开几盏？（2）欲使点亮的灯上消耗的功率最大，灯应开几盏？ 解：电灯的电阻R 0=U 2/P=62/6=6Ω （1）由电源输出功率最大的条件应有：r=R+ R 0/n,即2.5=0.5+6/n ，解的：n=3， 即开三盏灯时电 源输出功率最大.（2）欲使点亮的灯上消耗的功率最大，只要r+R= R 0/n ，2.5+0.5=6/n n=2. 即应点两盏.例2电源内阻忽略不计，电动势为ε，电阻R 1、R 2阻值相等，现保持R 1不变，改变R 2的阻值，则关于R 2消耗的功率P 下述正确的是： A ．R 2增大P 增大，R 2减小P 减小 B. R 2增大P 增大，R 2 减小P 增大C ．无论R 2增大还是R 2减小，P 均减小D ．无论R 2增大还是R 2减小，P 均增大解答：可将R 1看成是电源的内阻，则原来R 2=R 1，R 2获得功率最大，所以当R 2发生变化时，由电源输出功率的知识知无论R 2是增大还是减小，其上获得的功率均减小，所以正确答案为C.例3．把一个“10V2.0W ”的小灯泡A 接到电源电动势和内电阻均不变的电源上，小灯泡消耗的实际功率为2.0W ，去掉A ，电源上接上一个“10V5.0W ”的小灯泡B ，则小灯泡B 消耗的实际功率A ．一定大于2.0W B.一定小于2.0W C ．可能大于2.0W D.可能小于2.0W解答：因为电源的内电阻不知，所以就可能出现R A =r 或R B =r 或R A R B =r 2等其他情况.若R A =r 则A 灯获得最大功率，则B 灯获得功率一定小于2.0W ；若R B =r 则B 将灯将获得最大功率，则B 灯获得功率一定大于2.0W ；R A R B =r 2则A 、B 两灯获得的功率相同，所以B 灯获得的功率就等于2.0W ，所以该题的正确的答案应是C 、D. 例4某电池，第一次用它与4欧姆的电阻连接，第二次把它与9欧姆的电阻连接，在这两种情况下，测出外电阻在相等的时间内产生的焦耳热相同，求电源的内电阻.解答：外电阻在相等的时间内产生的焦耳热相同，即两种情况下，两个电阻的电功率相同，根据R 1R 2=r 2得，4×9= r 2，所以r=6欧姆.巧用电源输出功率图象解题电源的输出功率也称为外电路的电功率。
高二物理-电源的最大输出功率
求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律【题目1】如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。
方法一：运用P~R 函数关系法：因为UI P =、IR U =和Rr EI +=， 所以22)(R r RE P +=，得R r Rr E P ++=222。
可见，当R Rr =2，即r R =时P 有最大值， 且最大值rE P 42max=。
P~R 的函数图像如图2所示。
①当R=r 时，电源的输出功率最大，P m =rE 42。
②当R ＞r 时，随着R 的增大输出功率减小。
③当R ＜r 时，随着R 的减小输出功率减小。
方法二：运用P~I 函数关系法因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=， 推得rE r E I r P 4)2(22+--=。
可见，当rEI 2=时P 有最大值， 且最大值rE P 42max=。
P~I 的函数图像如图3所示。
方法三：运用P~U 函数关系因为UI P =、rUE I -=，所以r U U r E P 2-=，推得rE E U r P 4)2(122+--=。
可见，当2EU =时P 有最大值，图1图4图3图2且最大值rE P 42max=。
P~U 的函数图像如图4所示。
【规律总结】当R=r 时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为r E 42，此时2E U =，rE I 2=。
此时 U ~I 图像如图5所示，图5中斜线部分的“面积”表示了电源的最大输出功率。
“等效电源”解决功率问题【题目2】如图所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？ （3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？方法：（1）对定值电阻，直接运用公式。
求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律1(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律太原市第十二中学 姚维明【题目1】如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。
方法一：运用P~R 函数关系法：因为UI P =、IR U =和R r EI +=， 所以22)(R r RE P +=，得R r RrE P ++=222。
可见，当R Rr =2，即r R =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~R 的函数图像如图2所示。
①当R=r时，电源的输出功率最大，P m =rE 42。
②当R ＞r 时，随着R 的增大输出功率减小。
③当R ＜r 时，随着R 的减小输出功率减小。
方法二：运用P~I 函数关系法因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=，推得r E r E I r P 4)2(22+--=。
可见，当r EI 2=时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~I 的函数图像如图3所示。
方法三：运用P~U 函数关系因为UI P =、rUE I -=，所以rU U r E P 2-=，图1图4图3图2推得rE E U r P 4)2(122+--=。
可见，当2EU =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。
P~U 的函数图像如图4所示。
【规律总结】当R=r 时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为rE 42，此时2EU=，rE I 2=。
此时 U ~I 图像如图5所示，图5中斜线部分的“面积”表示了电源的最大输出功率。
“等效电源”解决功率问题【题目2】如图所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？（3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？方法：（1）对定值电阻，直接运用公式。
电源的输出功率和电路的最大功率word精品
电源的输出功率和电路的最大功率有关求“电源的最大输出功率”、“电路中某部分消耗的最大功率” 或“电源的效率”等问题，在解题中容易出现一些错误，本文着重阐述电源的输出功率及其变化规律。
并举例说明如何求电路的最大功率。
电源输出功率指的是电源提供给外电路用电器的功率。
在数值上等于UI。
电源发出的功率，实质就是电源释放的功率(又称为电源的总功率)，它是电源通过非静电力将其他形式的能转化为电能的功率。
在数值上等于£I o电源的效率指的是电源的输出功率与电源总功率的比值,即号如果电源的电动势为£，内电阻为r，外电路的电阻为R,通过电路的电流強度为I，根据全电路欧姆定律I = 亠和U =凤R + r则P. = = *R = ■- R出[R+iJ (R + r)2对于给定的电源，一般它的电动势和内电阻是不变的，所以从上述表达式中不难看出：电源的输出功率P出是随着外电路的电阻R而变化的。
若用图象表示P出与R关系，从图象1P出梍R图像可进一步看出电源输出功率随外电阻变化的规律：(1) 当外电路电阻R小于电源内电阻r时，电源输出功率随着外电路电阻的增大而增大。
UI(2) 当外电路电阻R大于电源内电阻r时，电源输出功率随着外电路电阻的增大而减小。
(3) 当外电路电阻R等于电源内电阻r时，电源输出功率最大。
其最大输岀功率由％(R +町电源输出功率最大时，电源的效率并不高，此时电源的效率UI K［例一］电源的电动势c =10伏特，内电阻r=1欧姆，外电路由定值电阻R1可变电阻R2并联组成(如图2)R1=6欧姆。
求：(I)当R2调到何值时，电源输出功率最大？最大输出功率是多少？(2)要使电源输出功率为16瓦特，R2应调到何值？这时电源的效率是多少？——2——解：(1)电源输出最大功率的条件是R外=尺故有R 十％= r将r=l欧姆，R1=6欧姆代人上式.解得Ra=1.2 欧姆。
电源的最大输出功率为：/ 10a“F厂石’我厂强瓦特)⑵电源的输岀功率I' = —代入数据:岀(R +r)16 = ^X(R<l)a解得：R=4欧姆或R抇=0. 25欧姆。
高考物理专题复习：电源最大功率问题的几种解法
电源最大功率问题的几种解法关于学习的“三部曲”，西方有的学者总结为”3W”，就是“1.是什么(What)2.为什么(Why)3.怎么样(How)”。
中国学者总结为“知其然知其所以然和举一反三”。
把它用到物理学习上，就是说，首先要知道某个知识，还要知道这个知识为什么是这样的，最后，还有应用这个知识解决问题。
但是，有的人知其然不知其所以然，照本宣科，死记硬背，套用公式，就会造成错误。
本文以电源最大输出功率问题为例加以说明。
关于电源最大输出功率问题，1980年代的教科书上有这个实验，以后没有了。
高考也以计算题考过，全国卷考过，江苏卷考过，上海卷考过，每题都不同。
可见此问题的重要。
本文从基本问题谈起。
一、电源最大输出功率问题的基本问题如下图所示，电源电动势为E=6V,内阻为r=2Q,外电路接一滑动变阻器_9R,求电源输出功率最大的条件及其值。
rz_"RE,r【解法1】公式法E-R厂八仟2电源输出功率为P=I2R=------=------2----(R+')2(R t)23R£2当R=r=2Q时，电源输出功率最大值为7^=——=4.5W.4r【解法2】图象法根据p=〃R=E R,=36^2作出p~R图象如下：(R+尸)(R+2)2PR—-PR从图象可以看出，当R=2Q时，电源输出功率最大值为p m=4.5W.【解法3】求导数法电功率表达式：P=-^R,根据求导公式(凹)，=凹胃史，得导数：(R+r)2v v2P，(R)=E"(R+r)2_E2R.2(R+r)=E2.(R+r).(r_R),当R=r时，导数的分(R+r)4(R+r)4''A2x9子为零，即此时有极大值，将R=r=2Q代入P式得最大值pg=(二2)2=4.5W.二、变式如下图所示，电源电动势为E=6V,内阻为r=2Q,外电路接一滑动变阻器R和一定值电阻氏=0.50,求：(1)滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。
电源输出功率及应用
2.第二种情况：外电路为非纯电阻电路时，电源的最大输出功率推导过程如下： P=UI=(E － Ir)I= － rI2+EI ，这是一个二次函数，有极值，根据数学知识可求得 E2 E Pmax=4r ，此时电流I=2r ，这一结论比第一种情况更具有普遍性，第一种情况是第二 种情况的特例。
电源最大输出功率及其应用
（1）当 R0 两端的电压最大时，R0 消耗的功率最大，当 R 取最大值时，路端电压（即并联 电路两端的电压）最大， U路2 25 8 5 E 3 R 总=R 并+r=3 Ω，I 总= =4 A U 路=E－Ir=4 V P= R =32 W R总 0 （2）可以把电源和定值电阻 R0 合起来看作一个等效电源，等效电路图如图所示． R0 4 R0 r 2 此时，电源和定值电阻看做电动势为 E′=R +rE =3 V，等效电源内阻 r′=R +r =3 Ω， 0 0 42 ( ) 2 E′ 2 3 2 当 R=r′时，即 R=3 Ω 时 R 上消耗的功率最大，最大输出功率为 Pmax= 4r′ = 2 =3 W 4× 3 E2 （3）当内外电阻相等时，电源的输出功率最大，即 R 并=r，R=2Ω，Pmax=4r =1W
电源最大输出功率及其应用
（1）根据结论可知，当电路内外电阻相等时输出功率最大，即当变阻器的阻值为 E2 2Ω 时输出功率最大，Pmax=4r =0.75W，效率为 50% （2）在变阻器变化过程中若 R 减小时，电路中的电流 I 增大，根据 P=I2R 无法直 接判断最大功率，我们可以借用以上结论，当我们把 R1 看作电源内阻时，R2 就作为外 电路了，当内外电路电阻相等时，输出功率最大，所以当 R2 与等效内阻（R1+r）相等 E2 9 时，功率最大，此时 R2 应等于 4Ω，P=4r′ =16 W （3）不要顺着第（2）问的思路往下想，我们不把变阻器等效为电源的内阻，这 样求解非常麻烦，也没有必要，大家想一下，当通过 R1 的电流最大时，它的功率不就 3 9 E 2 是最大吗？即当 R2=0 时，电流最大，R1 的功率也最大，I=R +r =4 A P=I R=16 W 1
电源功率及应用论文：纯电阻电路中电源的最大输出功率及应用
功率及应用论文：纯电阻电路中电源的最大输出功率及应用纯电阻电路中电源的最大输出功率问题，学生解答起来容易出错，本文结合例题，作些分析说明。
【例1】如图1所示的电路，设电源的电动势为e，内阻为r。
问：外电路电阻r为何值时，电源的输出功率最大。
图1 图2析与解：滑动变阻器阻值为r时,电流i=er+r，路端电压u=rr+re，外电路的功率，即输出功率为：p出＝ui=re2(r+r)2=re2(r-r)2+4rr，分子、分母都除以r得：p出=e2(r-r)2r+4r由数学知识可知，当r=r时，输出功率最大。
p出m=e24r。
上述结论可以用图2所示的图像表示。
当r=r时，电源的输出功率最大。
由图2可知，如果电源的输出功率不是最大，则对应两个可能的外电阻值。
【例2】蓄电池的电动势e=10v，内阻r=1ω，与外电路连接时，在外电路上消耗的功率p外＝9w。
求外电路的电阻。
析与解：设外电路的电阻为r，电路中的电流i=er+r，输出功率p外=(er+r)2r，代入数据得：(10r+1)2r=9。
解出：r1=19ω，r2=9ω。
用等效电源法求滑动变阻器的最大功率。
图3【例3】图3所示的电路中，电源的电动势e=6 v，内阻r=1ω，定值电阻r0=5ω。
求滑动变阻器r的阻值为何值时其功率最大，最大功率是多少。
析与解：将e和r0看作等效电源，等效内阻r′=r+r 0。
根据前面的结论，当滑动变阻器的阻值r=r′=r+r0时功率最大。
p m=e24r′=e24(r+r0)=1.5w。
图4【例4】图4所示的电路中，电源的电动势e=20 v，内阻r=2 ω。
定值电阻r0=18 ω。
求滑动变阻器阻值多大时它消耗的功率最大。
析与解：将变阻器以外部分的电路看作等效电源，如图4所示。
等效电源的电动势，即ab两点的电压，e′=1818+2 20=18v，等效电源的内阻为（除去变阻器r时）ab间的电阻（如图4所示），r′=rr0r+r0=2×182+18=1.8ω。
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电源最大输出功率的条件论证及应用
在闭合电路中，电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和，对于含有可
变电阻的纯电阻电路，可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率，也影响着
闭合电路中各部分的功率分配。
电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一，求电源最大输出功率的问题也是电功率这部分内容的难点，学生虽经反复练习，
但仍不得其法。
笔者经过调查得知，学生出错的根本原因在于不理解功率取最大
值的条件。
这里笔者就电源最大输出功率的条件论证及应用，结合自己的教学实
际谈一点粗浅的认识，请同仁指教。
一、基本规律及条件论证
1.规律一，当电源电动势E和内电路电阻r一定，外电路的电阻R可变时，
电源的输出功率在满足条件的情况下，可取得最大值。
下面用多种
方法对此结论加以证明，旨在让中学生读者选择适合自己认识的证法，以加深对
电源最大输出功率条件的理解。
1.1 证明方法之一，公式法
电源的输出功率，即消耗在外电路电阻上的功率，据闭合电路的欧姆定律有，所以（1）
(1)式可变形为（2）
根据公式“若a、b均为正数，则a+b≥，当且仅当a＝b时，a＋b取最
小值”可得 (2)式分母中，当（即）时，取最小值，因而，当电源的输出功率有最大值
1.2 证明方法之二，解析法
可将(1)式变形为
（3）
当(3)式分母中（即）时，分母取最小值，因而电源有最大输出功率。
1.3 证明方法之三，利用二次函数的极值。
若路端电压为U，电路中电流为I，则外电路中消耗的功率应为，而据闭合电路的欧姆定律有（4）
所以电源输出功率可以表示为
（5）
由(5)式可以看出，输出功率P是电流I的二次函数，且二次项系数为负，因而当电流
（此时）时，电源输出功率有最大值
1.4 证明方法之四，图像法
根据(4)式作出路端电压随电路中电流变化的图像（图1），图像上任意一点N所对应的路端电压为U，电流为I，则这时消耗在外
电路上的功率可以用图中矩形（画斜线部分）的面积来表示。
从图中可以看出，当电路中电流很小或者很大时，图中矩形的面积均较小，而只有当
时，
，矩形面积最大，即电源的输出功率有最大值
1.5 证明方法之五，利用导数求极值 (1)式中P 对R 求导可得。
令
＝０可得， 或 （无意义，舍去）时，输出功率有极值
2.规律二，当电源电动势E 和外电路电阻R 一定，而电源内阻r 可变时，由(1)式
可得，r 取值越小，输出功率P 越大。
二、应用
在实际应用中，有些问题是求电源向整个外电路输出的最大功率，这类问题可以直接应用规律一求解；有些问题是求外电路某一电阻或某一部分电路的最大功率，这类问题处理的办法是把求解对象等效看作外电路，而把其余电阻均等效看作电源内阻的一部分，当可变电阻包含在等效外电路中时，应用规律一求解，当可变电阻包含在等效内电路中时，应用规律二求解。
如：
例
1 如图2所示，定值电阻R 1＝2Ω，R 2为最大阻值为6Ω的滑动变阻器，
电源电动势E =12V ，电源内阻r =3Ω。
求：
（1）R
1和R
2
消耗的总功率的最大值。
（2）R
1
消耗功率的最大值。
（3）R
2
消耗功率的最大值。
解析：（1）R
1和R
2
消耗的的总功率就是电源的输出功率，若R
1
和R
2
的总电
阻为R，则当R=r=3Ω（此时R
2=1Ω）时，R
1
和R
2
消耗的功率有最大值
（2）把R
1单独看作外电路，而把R
2
等效看作电源内阻的一部分，此时等效
电源内阻是可变的, ，当R
2＝0时，取值最小r，因而此时R
1
的功率
最大
（3）把R
2单独看作外电路，而把R
1
等效看作电源内阻的一部分，此时的等
效电源内阻r
2＝r+R
1
＝5Ω，因而当R
2
＝＝5Ω时，R
2
的功率有最大值
当求解最大功率的对象是可变电阻（或包含可变电阻）时，如果求解对象的
总电阻变化到极限值还未能达到电源内阻（或等效电源内阻），则求解对象的总
电阻取最接近电源内阻（或等效电源内阻）的值时，其功率取得最大值，如：
例2 如图3所示，电源电动势恒为12V，电源内阻r=3Ω，定值电阻R
1
=6Ω，
R
3=15Ω，R
2
为一滑动变阻器，最大阻值为6Ω。
求：
（1）R
1
和R
2
消耗功率的最大值。
（2）R
2
和R
3
消耗功率的最大值。
解
析：（1）把R
1和R
2
看作外电路，则等效外电阻，而把R
3
等效看作电电
源内阻的一部分，这时等效电源内阻＝18Ω，阻值的变化范围是
6Ω≤≤12Ω，当R
2＝6Ω时，＝12Ω，最接近，所以R
1
和R
2
消耗
功率有最大值
．
（2）同理，，其变化范围是15Ω≤≤21Ω，＝9Ω，
因而，当R
2＝0时，＝15Ω，最接近，R
2
和R
3
消耗功率有最大值
总之，电源最大输出安功率是高中物理动态电路分析的重要组成部分，恰当应用以上所述两条规律，可以简化复杂的电路分析，达到事半功倍的效果。