1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式为==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此如果存在一组实数使(3)则上式两边乘以得(4)另一方面,,即(5)(4)－(5)有由归纳假设,线性无关,因此而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五５－12§２相似矩阵定义2设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理3设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．证明因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有于是所以是矩阵的属于的特征向量．下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．定理4阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．证明必要性设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使=设则由上式得即，因此所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故线性无关.充分性如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，则有设则是满秩的，于是，即=[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．课后作业：习题五13－16§３向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．定义3设有维向量，，令=，则称为向量和的内积．[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立．定义4令||=称||为维向量的模（或长度）．向量的模具有如下性质：（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；（2）||=|| ||，（为实数）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特别地，当||=1时，称为单位向量.如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．如果、都为非零向量，由性质（3）≤1，于是有下述定义：定义5当||≠0，||≠0时称为维向量、的夹角．特别地：当=0时，，因此有定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6已知个非零向量，若=0，则称为正交向量组．定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．例如，维单位向量组=，，是正交向量组．正交向量组有下述重要性质：定理5正交向量组是线性无关的向量组．定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，，，…….再取则为标准正交向量组．上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．例5把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.将，，正交化，令=，=，再把单位化，则即为所求的标准正交向量组．定理7若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使，成为正交向量组．推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．例6已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.解应满足方程=0，即.它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取其中于是得定义8如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式（其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有定理8一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．课后作业：习题五1－4§４实对称矩阵的相似对角化在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．是分别属于的特征向量，则，根据内积的性质有，又所以，因，故，即与正交.定理11 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量，.于是得正交矩阵易验证.课后作业：习题五17。
矩阵相似特征向量之间的关系
矩阵相似特征向量之间的关系矩阵相似性是线性代数中一个重要的概念，而特征向量则是矩阵相似性的重要组成部分。
特征向量是在矩阵运算中具有特殊性质的向量，它们在矩阵相似性的研究中扮演了重要的角色。
特征向量的研究不仅帮助我们理解矩阵相似性的本质，还在实际问题中有着广泛的应用。
我们来看一下什么是矩阵相似性。
矩阵相似性是指对于两个矩阵A 和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B，那么我们称矩阵A和B是相似的。
简单来说，矩阵相似性就是通过相似变换将一个矩阵转化为另一个矩阵。
而特征向量则是在这个相似变换中起到了关键的作用。
特征向量是指在矩阵A的线性变换下，只发生长度的伸缩而不改变方向的非零向量。
数学上，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么v就是矩阵A的一个特征向量，λ就是对应的特征值。
特征向量与特征值之间存在着紧密的关系，特征向量描述了矩阵的变换方向，而特征值则描述了变换的比例因子。
在矩阵相似性的研究中，特征向量起到了重要的作用。
首先，我们知道相似矩阵具有相同的特征值，也就是说它们具有相似的特征向量。
这是因为相似矩阵之间的相似变换不改变特征值。
因此，如果两个矩阵相似，它们的特征向量一定是相似的。
特征向量的研究帮助我们理解矩阵相似性的本质。
特征向量描述了矩阵的变换方向，而特征值则描述了变换的比例因子。
通过研究特征向量，我们可以了解矩阵的变换性质，进而推导出矩阵相似性的一些性质。
例如，如果一个矩阵的特征向量都是线性无关的，那么这个矩阵就是对角化的，也就是说它与一个对角矩阵相似。
这样的矩阵具有简单的性质，更易于研究和计算。
特征向量还在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，特征向量被用来描述物理系统的稳定性和振动模式。
在工程学中，特征向量被用来解决信号处理和图像处理等问题。
在计算机科学中，特征向量被用来进行数据降维和模式识别等任务。
特征向量的研究不仅帮助我们理解矩阵相似性，还为实际问题的求解提供了有效的工具。
矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似
特征值和特征向量与矩阵相似的关系
01
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们与矩阵 的相似性有着密切的联系。
02
如果两个矩阵相似，它们的特征值和特征向量也必 须相同。
03
特征值和特征向量的性质决定了矩阵的稳定性、可 逆性和可约性等重要性质。
特征值和特征向量在矩阵相似中的应用
在解决线性方程组时，可以利用特征值和特征向量的性质，将原方程组转 化为易于求解的形式。
|λ|=√aii，其中aii为矩阵A的对角线元素。
特征值和特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Av=λv来计算特征 值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂，然后观 察幂的迹的变化，从而找到特征 值和特征向量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个简单的矩阵 的乘积，然后通过计算这些简单 矩阵的特征值和特征向量来得到 原矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值、特 征向量和矩阵的相 似
目录
• 矩阵的特征值和特征向量 • 矩阵的相似 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
关系 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
应用
01
CATALOGUE
矩阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标 量λ和对应的非零向量v，使得Av=λv 成立，则称λ为矩阵A的特征值。
02
CATALOGUE
矩阵的相似
矩阵相似的定义
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使 得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
相似矩阵具有相同的行列式值、迹、 秩和特征多项式。
矩阵相似的性质
01 相似的矩阵具有相同的特征多项式和行列式值。
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似-2022年学习资料
线性代数-同理对λ 2=23=-1，求相应线性方程组12E--Ax=0的一个基础解系：--4x1-2x2-4 3=0,--2x1-x2-2x3=0,-求解得此方程组的一基础解系：-C2=
线性代数-于是A的属于λ 2=入3=-1的全部特征向量为-k2a2+k3a3,-k2,k3是不全为零的实数而A的全部特征向量为11；k22+k3a3,这-里k1≠0为实数k2,k3是不全为零的实数-①⊙O
线性代数-∴.2E-P-1APP-ax-=P-12:E-APP-1a-=P2:E-Aa=0,-即P1APP a=:P-a,-故P-1au:是P-1AP属于；的特征向量-①，⊙O
线性代数-五、求方降A的特征多项式-例5-设A是n阶方阵，其特征多项式为-f42=2E-A=”+an-12 -1+…+a12+ao,-求：1求AT的特征多项式-2当A非奇异时，求A1的特征多项式-解1f2=2E-A 2E-AY-=2E-A=∫42，-·.A与AT有相同的特征多项式
线性代数-9和似拒降-定义设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使-P-AP=B,-则称B是A的相似矩阵， 说矩阵A与B相似，-对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，-可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。 矩阵之间的相似具有1自反性；2对称性；-3传递性.
线性代数-10-有芙和似拒降的性质-1喏A与B相似，则A与B的特征多项式-相同，从而A与B的特征值亦相同. 2若A与对角矩阵-λ 2-Λ =-n-相似，则1，元2，…，2m是A的n个特征值，
线性代数-三、特狃值与特狃向量的求法-第一步-计算A的特征多项式；-第二步-求出特征多项式的全部根，即得A 全部-特征值；-第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，-求出基础解系，即得该特征值的特征向量.
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
2
1 0 1
,
1
2 2.
0
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
k 2 , k 3是不全为零的实数.
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
例3
计算3阶实矩阵A
3 2
2 0
4 2
的 计算A 的特征多项式
的一个基础解系.
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
数).
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
3 2 4
f ( ) E A 2 2
4 2 3
( 8)( 1)2.
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
全部特征值.
第三步 求出 A 的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６ 方阵的特征值和特征向量
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
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1 于 i 的特征向量为 , 求 i P AP的特征值与特征向
解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明
p1 , p 2 , , p m 依次是与之对应的特征 向量, 如果
1 , 2 , , m 各不相等, 则 p1 , p 2 , , p m 线性无关.
即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的.
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
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相似矩阵
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６
方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式 Ax x 成立, 那么, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值 的特征向量.
A E 0称为方阵 A的特征方程. f ( ) A E 称为方阵A的特征多项式 .
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
3 2 4 例3 计算3阶实矩阵A 2 0 2 的全部特征值 4 2 3 和特征向量.
解 第一步 计算 A 的特征多项式
3 2 f ( ) E A 2 4 ( 8) ( 1) .
2
4
2 2 3
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A 的全部特征值.
令f ( ) 0, 解之得 1 8, 2 3 1,为A的 全部特征值.
( A) P ( B ) P 1 .
特别地, 若有可逆阵P , 使 P 1 AP 为对角阵, 则有 Ak P k P 1 , ( A) P ( ) P 1 .
(4) A 能对角化的充分必要条件是 A有 n 个线 性无关的特征向量． (5) A 有n个互异的特征值，则 A 与对角阵相似．
化简求得此方程组的一 个基础解系 2 1 1 . 2 属于 1 8的全部特征向量为k 1 1 ( k 1 0为实
数).
同理对 2 3 1, 求相应线性方程组 ( 2 E A) x 0的一个基础解系: 4 x 1 2 x 2 4 x 3 0, 2 x 1 x 2 2 x 3 0, 4 x 2 x 4 x 0, 1 2 3 求解得此方程组的一个 基础解系: 1 2 0 , 1 1 2 2 . 0
n阶方阵A有n个特征值.若A (a ij )的特征值为
1 , 2 , , n , 则有 (1) 1 2 n a 11 a 22 a nn ;
( 2) 1 2 n A .
７
有关特征值的一些结论
设是A (a ij )n n 的特征值, 则 (1)也是 AT 的特征值; ( 2) k 是 Ak 的特征值( k为任意自然数 ); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a 1 a m m , ( A) a 0 E a 1 A a m A m .
( 3)当A可逆时, 是 A 的特征值; A 是 A 的 1
1
1
特征值.
８
有关特征向量的一些结论
定理 设 1 , 2 , , m 是方阵A的m 个特征值,
(1)若 A 与 B 相似，则 A 与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同．
( 2)若A与对角矩阵 1 2 n 相似, 则 1 , 2 , , n 是A的n个特征值.
( 3)若A PB P 1 , 则 Ak P B k P 1 ,
定义 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使
1 P AP B ,
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似. 对A进行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性．
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有关相似矩阵的性质
１１
实对称矩阵的相似矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为实数.
( 2)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向 量必正交. ( 3)若是实对称矩阵A的r重特征值, 则对应 的必有r个线性无关的特征向量. (4)实对称矩阵必可对角化 .即若A为n阶实对
称阵, 则必有正交阵 P , 使得 P 1 AP , 其中是 以A的n个特征值为对角元素的 对角阵.
于是A的属于 2 3 1 的全部特征向量为 k 2 2 k 3 3 , . k 2 , k 3 是不全为零的实数
从而A的全部特征向量为k 1 1 ; k 2 2 k 3 3 , 这 里 k 1 0为实数, k 2 , k 3 是不全为零的实数 .
四、已知 A 的特征值，求与 A相关矩阵的特征值
第三步 求出 A 的全部特征向量
对 1 8, 求相应线性方程组 ( 1 E A) x 0 的一个基础解系 .
5 x1 2 x 2 4 x 3 0, 2 x1 8 x 2 2 x 3 0, 4 x 2 x 5 x 0, 1 2 3