43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1）的根。

)(λϕ称为A 的特征多项式。

上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。

从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。

对于低阶矩阵，这种方法是可行的。

但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。

这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。

由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。

记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。

用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。

相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B 所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。

对应于1-=λ的全部特征向量为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012/121k k其中1k 与2k 是任意常数，且不同时为零。

为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1004411282A 其特征方程为0)1()2(=--λλλ 特征值为1,0,2321===λλλ对应于2=λ的特征向量可由解下列方程组而求得01004211284321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.17)用一次高斯-若当消去法，得0321100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x (4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为00011244812123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.19)其中未知数列矩阵中1x 与3x 也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与(4.3.19)式等价，对(4.3.19)式进行一次高斯-若当消去法，得03/13/213/13/203/13/20123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x (4.3.20)再进行一次消去过程，得02/110001000123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/100B (4.3.22) 将(4.3.22)式中的列矩阵B 中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12/10 （4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把(4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2=λ的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 对应于的全部的特征向量为k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 其中k 为不等于零的任意常数.。