矩阵的特征值
矩阵的特征值
矩阵的特征值简介在线性代数中，矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的投影，是一个重要的概念。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和变换。
本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质以及计算方法。
定义设 A 是一个 n × n 的矩阵，λ 是一个实数，如果存在一个非零向量 x 使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量。
特征向量 x 满足Ax = λx，其中x ≠ 0，λ 可能是实数也可能是复数。
特征向量 x 的模长不影响特征向量的定义，通常我们会将特征向量标准化为单位向量。
性质1.矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 具有相同的特征值。
2.若A 是一个对称矩阵，那么它的特征向量是正交的。
3.矩阵 A 的特征值的和等于它的迹，即λ1 + λ2 + … +λn = tr(A)。
4.矩阵 A 的特征值的积等于它的行列式，即λ1 * λ2* … * λn = |A|。
5.如果λ 是矩阵 A 的特征值，那么λ^k 是矩阵 A^k 的特征值，其中 k 是正整数。
6.矩阵 A 是奇异的（行列式为零）当且仅当它的零空间不为空，即存在非零向量使得 Ax = 0。
计算方法要计算矩阵的特征值，通常使用特征值问题的特征多项式。
设 A 是一个 n × n 的矩阵，特征多项式定义为f(λ) = |A - λI|，其中 I 是 n × n 的单位矩阵，|A - λI| 是矩阵 A - λI 的行列式。
1.求特征多项式的根：将特征多项式f(λ) = 0 的解称为特征值。
通过求解特征多项式的根，可以得到矩阵的特征值。
2.求解特征向量：对于每一个特征值λ，解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到相应的特征向量 x。
3.标准化特征向量：对于每一个特征值λ，将对应的特征向量 x 进行标准化处理，得到单位特征向量。
应用矩阵的特征值在很多领域有广泛的应用。
1.特征值可以帮助我们了解矩阵的变换性质。
第4章 矩阵的特征值
1 0 0 作为其基础解系. 1 0 , 2 1 , 2 0 0 0 1
则对应于 1 2 3 a 的全部特征向量为
c1 1 c2 2 c3 3 (c1 , c2 , c3 不全为零)
第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
(1)2A的特征值, (2)A2的特征值, (3)|A|. 例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征 值为零. 解
A 1 2 n
22
三.杂例
1 3 3 A 3 a 3 有特征值为 1 2, 2 4, 3 , 例1. 设矩阵 6 6 b
i 1 ,i 2 , ,it 为A的对应于i的线性无关的
i
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , ,2 t2 , ,m1 ,m 2 , ,mtm 线性无关.
18
设A为n 阶方阵，为A的特征值，则
结论：
结论：若f ( x)是x的m次多项式， 1） k 为 kA 的特征值. 为A的一个特征值，则 k k 2） 为 A 的特征值 f ( )是矩阵f ( A)的一个特征值. 3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
对于1 2 1, 齐次线性方程组 A) x 0，即 (I
3 6 0 x 1 0 3 6 0 x 2 0 x 1 2 x 2 3 6 0 x 0 3
因此，A对应于1 2 1的 全部特征向量为
2 0 c1 1 c2 0 (c1 , c2不 全 为 零 ) 0 1 11
矩阵特征值的意义
矩阵特征值的意义首先，我们来定义矩阵特征值。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个标量λ和一个非零向量v，使得下面的等式成立：Av=λv那么λ就是矩阵A的一个特征值，而v是与之对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现的，每一个特征值都对应着一个特征向量。
1. 特征向量可以进行线性组合。
如果v1和v2分别是矩阵A的两个特征向量，那么任意a和b的线性组合av1+bv2也是A的特征向量。
2.特征值的和等于矩阵的迹。
矩阵的迹是对角线上所有元素的和，迹可以表示为特征值之和。
即A的特征值λ1，λ2，...，λn的和等于矩阵A的迹。
3.特征值的积等于矩阵的行列式。
矩阵的行列式表示为特征值的乘积，即A的特征值λ1，λ2，...，λn的乘积等于矩阵A的行列式。
接下来，我们来探讨矩阵特征值的意义。
矩阵特征值在不同领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是研究矩阵性质的重要工具。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的对角化形式，从而简化矩阵的计算和分析。
在物理学中，特征值和特征向量用于描述物理系统的本征状态。
例如，量子力学中的哈密顿算符的特征值就是能量的本征值，而与之对应的特征向量则是能量本征态。
在图论中，矩阵的特征值和特征向量用于分析图的结构和性质。
例如，邻接矩阵的特征值可以用来计算图的谱半径和谱半径对应的特征向量可以用于图的聚类和社区检测。
在机器学习中，特征值和特征向量用于主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）等降维技术。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以找到数据中的主要特征，从而降低数据的维度，并提取出有效的特征。
在金融学中，特征值和特征向量用于降低风险和寻找投资组合的优化。
通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，可以找到资产收益率的主要波动因子，并据此进行风险分析和投资组合优化。
总而言之，矩阵特征值是一种非常重要的数学工具，它在多个领域中有着广泛的应用。
通过矩阵的特征值和特征向量，我们可以对矩阵的性质进行分析和计算，并应用于图论、物理学、机器学习、金融学等领域。
第五章矩阵的特征值
第五章矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中一个重要的概念。
它不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中有广泛的应用。
本章将介绍特征值的定义和性质，以及求解特征值和特征向量的方法。
1.特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k 为常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现的，且特征向量是非零的。
2.特征值与特征向量的性质2.1特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n。
（2）特征值的和等于矩阵的迹，即trace(A)。
（3）特征值的乘积等于矩阵的行列式，即det(A)。
2.2特征向量的性质（1）特征向量的线性组合仍然是特征向量，对应的特征值不变。
（2）特征向量与特征值的对应关系是一一对应的。
3.求解特征值和特征向量的方法3.1特征方程法给定一个n阶方阵A，求解特征值和特征向量的方法之一是通过求解特征方程。
特征方程的定义是：det(A-kI)=0，其中I是单位矩阵，k是变量。
通过求解特征方程，即求解多项式det(A-kI)的根，可以得到所有的特征值。
特别地，对于二阶矩阵A的特征方程det(A-kI)=0可以化简为k^2-(a+d)k+ad-bc=0，其中a，b，c，d是矩阵A的元素。
这是一个一元二次方程，可以通过求根公式求解。
3.2幂法幂法是一种迭代算法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
基本思想是通过迭代计算矩阵A的幂，使得向量序列收敛到A的最大特征向量对应的特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的非零向量x0；（2）计算新的向量x1=Ax0；（3）归一化向量x1，即x1=x1/，x1，其中，x1，表示向量x1的模；（4）重复步骤（2）和（3），直到向量序列收敛。
经过多次迭代后，向量序列将收敛到A的特征向量。
4.应用举例特征值和特征向量在许多实际问题中有广泛的应用，例如：（1）求解线性方程组：矩阵A的特征值可以用于判断线性方程组的解的情况。
矩阵的特征方程和特征值
矩阵的特征方程和特征值
矩阵的特征方程和特征值是矩阵的重要性质。
一个 n 阶方阵A的特征方程是一个关于λ的n次多项式，定义为det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式。
一个特征向量是指一个非零列向量v，使得矩阵A与v的乘积等于一个数λ与v的乘积，即Av=λv。
特征值就是特征方程的根，也就是一个矩阵所对应的线性变换中，存在使得线性变换与其对应的向量共线的非零向量的实数λ，这个实数称为特征值，而对应的向量称为特征向量。
矩阵的特征值和特征向量在线性代数的许多方面都有应用，如求解矩阵的逆矩阵、求解线性方程组、矩阵的对角化等。
矩阵特征值
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
得基础解系
1 p2 2, 1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
A i Ex 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.
思考题
设4阶方阵A满足条件: det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
思考题解答
解 因为det A 0,故A可逆.由 det( A 3E) 0知
3是A的一个特征值,从而
1 3
是
A1的一个特征
值. 又由 A AT 2E得 det(A AT) det(2E) 16,即 (det A)2 16,于是det A 4, 但 det A 0,因此det A 4, 故 A 有一个特征值为 4 .
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵特征值的定义-高中数学知识点讲解
矩阵特征值的定义
1．矩阵特征值的定义
【知识点的知识】
1、特征值与特征向量的概念
设 A 是一个二阶矩阵 ，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝λα，那么 λ 称为 A 的一个特征值，α 称为 A 的一个属于特征值 λ 的一个特征向量．
2、特征多项式
设 λ 是二阶矩阵 A ＝的一个特征值，它的一个特征向量为 α＝ ，则 A ＝λ ，即 也即
（*）
定义：设 A ＝ 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式 f （λ）═λ2﹣（a +d ）λ+ad ﹣bc 称为 A 的特征多项式．
（3）求特征值和特征向量的一般步骤：
①由|λE ﹣A |＝0，求出所有特征值 λ；
②求解线性方程组（λE ﹣A ）X ＝0，即 （λ 为特征值），则所得非零解 X 比为特征向量．
【典型例题分析】
典例 1：矩阵[14 1]
的特征值为 3 或﹣1 ．
解：矩阵[14 1]的特征多项式为|휆――4 1 휆――1 1|
= （λ﹣1）2﹣4，
令（λ﹣1）2﹣4＝0，可得 λ＝3 或﹣1．
故答案为：3 或﹣1．
1 / 1。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵在数学和物理学中扮演着重要的角色，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量，v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个重要的矩阵问题。
2. 求解特征值与特征向量的方法求解特征值与特征向量的方法主要有两种：代数方法和几何方法。
代数方法：通过求解矩阵A的特征方程来确定特征值λ，然后通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量v。
其中I为单位矩阵。
几何方法：考虑矩阵A作用下的线性变换，特征向量表示在该变换下仅仅被拉伸而不改变方向的向量，特征值则表示该变换在相应方向上的拉伸倍数。
3. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：- 矩阵A的特征值的个数等于其维数。
- A的所有特征值的和等于其主对角线元素之和，即Tr(A)。
- A的所有特征值的乘积等于其行列式，即det(A)。
- 如果A是一个对称矩阵，则其特征向量构成一组正交基。
- 如果A是一个正定矩阵，则所有特征值大于零。
4. 特征值与特征向量在实际问题中的应用特征值与特征向量在许多实际问题中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：- 物理学：矩阵的特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等领域中有重要应用。
- 数据分析：特征值与特征向量可用于降维、聚类以及图像处理等方面的数据分析。
- 工程科学：特征值与特征向量在结构动力学、控制系统等工程问题中有着广泛的应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们不仅具有丰富的数学性质，而且在实际问题中有广泛的应用。
通过求解特征值与特征向量，我们可以深入理解矩阵所代表的线性变换的特性，并应用于解决各种实际问题。
了解并掌握特征值与特征向量的求解方法与应用将为我们在数学和科学领域的研究与应用提供有力的工具和思路。
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值是在数学和统计学中以矩阵表示的数据集中变量之间
的依赖关系。
它用来描述矩阵中变量之间的相对重要性。
矩阵特征值
可以分为低维和高维特征值。
低维特征值是描述一个特定数据集中变
量之间的聚类或信息关系，而高维特征值是描述一个大规模数据集中
变量之间的信息关系。
矩阵特征值是矩阵的性质和特点的一种量化表示，在计算机科学，信号处理，机器学习，统计学，经济学等领域都
有广泛的应用，在这些领域，矩阵特征值被用来确定变量之间的关系，进而帮助构建模型。
计算矩阵特征值通常采用数学方法，主要是求解矩阵的特征值和
特征向量。
特征值是指矩阵的根据特征向量（特征向量在空间中展现
出来的是一组“矢量”，如果矩阵是实对称矩阵可以通过特征分解求
出特征值和特征向量），特征向量则是指矩阵的“特性”，该向量的
方向和大小描述了矩阵的特性，从而可以进一步分析矩阵的结构和特性，如果矩阵的特性能够得到较为精确的定量描述，那么将有助于我
们更好地拟合我们希望拟合的模型。
综上所述，矩阵特征值是一种量化表示矩阵性质和特点的方法，
它的计算经常采用数学方法，其重要性在于可以更精确地描述一个数
据集中变量之间的相对重要性和变量之间的聚类、信息关系，并有助
于构建模型。
因此，矩阵特征值的计算在多学科领域都有着广泛的应用，也是经常遇到的问题之一。
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山财大数学与数量经济学院杨素香
Ax x
(1)
2.求法
整理（1）式,得 ( A)x o
(2)
x 特征向量 可看成方程组(2)的非零解.
特征向量
转 化
方程组(2)的非零解.
存在条件
特征值
确 定
A 0
3
总结求矩阵特征值与特征向量的方法:
第一步:令
A 0 求特征值 .
第二步:对于每一个 , 求 A x o 基础解系,
定理4.1 n阶方阵 A与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值.
证明 考察它们的特征多项式
AT AT A .
这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.
注: A与AT有没有相同的特征向量呢? 看下面的例子:
设
1
A
0
1 1
，1
2
1是特征值， 10
是其特征向量，
AT
1 0
1
2
2
, 2
3,
由于
A1
1 4
1
1
1 2
1 2
1 2
1
,
所以1 1 是A的一个特征值，而
1
1 2
是A的属于1
1
的特征向量
1 1 1 3 1 所以 2 3 是A的一个特征值，而
A2
4
1
2பைடு நூலகம்
6
3
2
32 ,
2
1 2
是A的属于
2
3
的特征向量
3
3
6 6
0
0
x1 x2
0
0
的一个基础解系为
1
2
1 ,2
0 0
3 6 0 x3 0
0
1
因此，A对应于1 2 1的全部特征向量为
c11 c22(c1, c2不全为零) 2) 对于3 2, 齐次线性方程组(2I A)x 0，即
6 6
3
3
0 x1 0
0
作为其基础解系.
0
0
1
则对应于 1 2 3 a 的全部特征向量为
c11 c2 2 c3 3 (c1 , c2 , c3 不全为零)
14
山财大数学与数量经济学院杨素香
例5. 证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素.
证明:
不妨设
a11
A
0 K
a12 a22 K
K K K
由 A 0 得A的特征根 1 3, 2 3 3.
7
山财大数学与数量经济学院杨素香
1 3, 2 3 3
1)当 1 3 时,齐次线性方程组 (3 A)x o ,即
4
3
2
2 4 2
2 x1 0
1
x2
0
4 x3 0
的一个基础解系为1
1
1
,
1
则对应于 1 3 的全部特征向量为 c11(c1 0).
1 1
0 1
1 0
1
1
1 0
结论: A与AT特征向量不一定相同的. 17 山财大数学与数量经济学院杨素香
线 性 代 数 讲义
定理4.2 设A (aij )是n阶方阵，如果
n
(1) aij 1 j 1
(i 1, 2,L , n)
3 6 1
解
4 6 0
I A 3 5 0 ( 1)( 4)( 5) 18
3 6 1
( 1)(2 2) ( 1)2( 2) 0
A的特征值为1 2 1，3 2.
11
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1) 对于1 2 1, 齐次线性方程组(I A)x 0，即
2)当 2 3 3 时,齐次线性方程组 (3 A)x o ,即
2
3
2
2 2 2
2 x1 0
1
x2
0
2 x3 0
的一个基础解系为
2
1
2
,
1
则对应于 2 3 3 的全部特征向量为c22 (c2 0).
8
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4 6 0 例3求 三 阶 方 阵A 3 5 0的 特 征 值 及 特 征 向 量 。
5.举例
1 2 2
例1.求三阶方阵
A
3
1
1
的特征值及特征向量.
解 (1)先求特征根 2 2 1
矩阵A的特征多项式为
1 2 2
1 2 2
A 3 1 1 ( 3) 1 1 1
2 2 1
1 2 1
1 2 2
30 3 1 ( 3)2( 3)
0 0 3
一. 矩阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的概念
定义4.1 设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量 x,使得
Ax x
(1)
则称 λ为 A 的一个特征值， 非零向量 x 称为矩阵 A 的 对应于特征值λ的特征向量，简称为 A 的特征向量。
例.
求方阵
A
1 4
1
1
1
,
1
2
,
1
1,
第四章 矩阵的特征值
矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究 及其他学科中都有广泛的应用。
特征值
方阵 相似于
对角形 元素
转化矩阵
对角形(或 约当形)
特征向量
本章要点：1.特征值与特征向量及其求法
2.矩阵的相似
3.实对称矩阵的相似
1
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第一节 矩阵的特征值与特征向量
0
0K
a1n
a2 K
n
,
ann
a11 a12 K
0 I A
K
a22 K KK
0
0K
a1n
a2n a11 a22 L ann 0
K
ann
得A的全部特征值 1 a11 , 2 a22 , L , n ann .
15
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二. 特征值与特征向量的基本性质
第三步:基础解系的非零线性组合为A对应于
的全部特征向量.
4
山财大数学与数量经济学院杨素香
3. 其它相关的概念
定义4.2 设A为阶方阵, 特征矩阵
A 0
( A)x o
A
特征多项式
行列式 A (λ的 n 次多项式)
特征方程 特征根
A 0
特征方程的根λ
特征向量
对应的x
5
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a
得A的特征根 1 2 3 a.
13
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(2)再求特征向量
1 2 3 a.
当 1 2 3 a 时,齐次线性方程组 ( A)x o ,即 ox o
所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,
取三维初始单位向量组 1
0
0
1
0
,
2
1
,
2
0
x2
0
1 的一个基础解系为 3 1
3 6 3 x3 0
1
因此，A对应于3 2的全部特征向量为c 3 ( c 0 ) 12
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例4.求三阶方阵
a
A
a
a
的特征值及特征向量.
解 (1)先求特征根
a
A
a
( a)3 0