矩阵特征值问题
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
第七章—矩阵的特征值问题
1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)
用初等变换求矩阵的特征值问题
参考文献 :
[ 1 ] 王萼芳 , 石生明. 高等代数 (第三版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 2003. 1872193 , 2902299 [ 2 ] 张禾瑞 , 郝炳新. 高等代数 (第四版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1999. 2782287 [ 3 ] 李星 , 李宏伟. 高等代数学习指导与习题解析 [ M ] . 武昌 : 华中科技大学出版社 , 2005. 3002310 [ 4 ] 罗芳 , 康淑瑰. 求矩阵特征值的一种分治法 [J ] . 雁北师范学院学报 , 2003 , 19 (2) : 9211 [ 5 ] 陈泽安. 求矩阵特征值与特征向量的新方法 [J ] . 长沙通信职业技术学院学报 , 2003 , 2 (1) : 66269
角线上的元素就为所求的矩阵 A 的特征值.
·11 ·
2006 年 12 月 河北北方学院学报 (自然科学版) 第 6 期
3
列的
3 2
倍加到
2
列
1 2
1 2
23 2
4 列的 1 倍加到 2 列
0 1 2 21
0000
0000
所以矩阵
k
引理 1[1] : 对一个 s ×n 的矩阵 A 作一初等行变换就相当于 A 左乘一个相应的 s ×s 初等矩阵 ; 对 A 作
一初等列变换就相当于 A 右乘一个相应的 n ×n 初等矩阵. 且任意一个可逆矩阵都可以表示为一系列初等
矩阵的乘积.
定义 3[1] : 设 A , B 是两个 n 阶矩阵 , 如果存在 P 上的 n 阶可逆矩阵 X , 使得 B = X21 A X , 则称 A 相
A
的全部特征值为
1 2
第五章矩阵特征值问题同步复习
第五章矩阵特征值问题同步复习第五章矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为阶方阵，如果存在数n λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。
2．求特征值和特征向量的步骤：（1）计算特征多项式A I -λ；（2）求A 的特征方程A I -λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3）对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=。
设它的一个-X A I λ基础解系为,,,,21r n -ξξξ （其中)(A I r r -=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k --+++ξξξ其中是不全为零的任意数。
r n -21k k k ,,,3．性质● 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；● )(21A tr n =+++λλλ , A n =λλλ 21；● 可逆矩阵A 与1-A 的特征值互为倒数；● 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值；● 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量；● 设s λλλ,,,21 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n ααα ; 222221,,,n ααα ; ...; ssn s s ααα,,,21 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，都是阶方阵，如果阶可逆矩阵B n P ，使B AP P =-1，则称矩阵A 与相似，记为B B A ~。
如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。
2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。
3．对角化的条件（1）充要条件：n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
jacobi方法求特征值和特征向量 例题
一、引言Jacobi方法是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的迭代数值方法。
它是数值线性代数中的重要算法之一，广泛应用于科学计算、工程技术和金融领域。
本文将通过一个例题来介绍Jacobi方法的原理和求解过程，并分析其在实际问题中的应用。
二、Jacobi方法的原理Jacobi方法是一种通过迭代对矩阵进行相似变换，使得原矩阵逐步转化为对角矩阵的方法。
通过数值迭代，可以逐步逼近矩阵的特征值和对应的特征向量。
其基本原理如下：1. 对称矩阵特征值问题：对于对称矩阵A，存在一个正交矩阵P，使得P^T * A * P = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。
所以我们可以通过迭代找到P，使得P逼近正交矩阵，从而逼近A的特征值和特征向量。
2. Jacobi迭代：Jacobi方法的基本思想是通过正交相似变换，逐步将矩阵对角化。
具体来说，对于矩阵A，找到一个旋转矩阵G，使得A' = G^T * A * G为对角矩阵，然后递归地对A'进行相似变换，直到达到精度要求。
三、Jacobi方法求解特征值和特征向量的例题考虑以下矩阵A：A = [[4, -2, 2],[-2, 5, -1],[2, -1, 3]]我们将通过Jacobi方法来计算矩阵A的特征值和特征向量。
1. 对称化矩阵我们需要对矩阵A进行对称化处理。
对称化的思路是找到正交矩阵P，使得P^T * A * P = D，其中D为对角矩阵。
我们可以通过迭代找到逼近P的矩阵序列，直到达到一定的精度。
2. Jacobi迭代在Jacobi迭代的过程中，我们需要找到一个旋转矩阵G，使得A' =G^T * A * G为对角矩阵。
具体的迭代过程是：找到矩阵A中绝对值最大的非对角元素a[i][j]，然后构造一个旋转矩阵G，将a[i][j]置零。
通过迭代地对A'进行相似变换，最终使得A'的非对角元素逼近零，即达到对角化的目的。
3. 计算特征值和特征向量经过一定次数的Jacobi迭代后，得到了对称矩阵A的对角化矩阵D和正交矩阵P。
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§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
35
例 3 (广义特征值问题的Cayley变换法)
3
一、从特征值问题的稳定性说起
工程计算中，求解特征值问题
的特征对
时，由于数据往往带有误差，
因此我们计算出的特征对
，实际上是
扰动后的特征值问题
的解。这里
4
我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。
由于我们一般只知道
或 的某个上界，
因此有必要研究如何利用这样的上界，尽可能
准确地估计 与 、 与 之间的差距，从
13
例 6 矩阵
经过对角相似变换
后，得
14
三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
15
Gerschgorin定理与对角占优矩阵有密切关系。
定义7 对方阵
，如果
则称矩阵 为按行对角占优矩阵。如果
则称矩阵 为按行严格对角占优矩阵。
16
定理8 （Levy--Desplanques） 严格对角占优矩阵是可逆矩阵。
33
例 1 (广义特征值问题的直接变换法)
对于广义特征值问题
，可以两边
做 的逆变换，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，但缺点是矩 阵 奇异时不能使用，并且当矩阵 是正定 Hermite阵时，矩阵 一般不再是对称矩阵， 因此不是保结构的算法，从而使计算复杂。
34
例 2 (广义特征值问题的位移求逆法)
特征值问题
1
特征值问题是线性代数的研究重点，在理论和应 用上都非常重要。 理论上 ，矩阵的特征值就是线性算子的谱。因此 可以从泛函分析里找到理论的支撑和生长点。 应用上，常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)中 许多问题都可以转化为矩阵特征值问题。 矩阵特征值问题的算法也是高性能计算机的主要 计算任务之一。可大致分为求解稠密、中小型矩 阵全部特征值的变换类方法和求解稀疏、大型矩 阵部分特征值的投影类方法。
与
是等
价的。注意到等价矩阵的特征对之间的关系：
44
虽然矩阵束
也存在与Jordan标准型类似
的Weierstrass标准型及Kronecher标准型，但也
同Jordan标准型一样，在数值计算上存在困难。
从数值观点看，更吸引人的是Moler和Stewart
(1973)提出的广义Schur分解：
对矩阵
，存在酉矩阵
是原广义特征值问
41
证明：由于 是Hermite正定矩阵，所以有
再根据
是Hermite矩阵，所以有酉相似
令
，则有
42
最后根据
因此
这说明 广义特征值
，得
是
的特征值，因此也是
的特征值。
43
例 6 (基于广义Schur分解的QZ算法****)
对于广义特征值问题
，我们的目标
是寻找可逆矩阵
，使得
均为标准型。我们称
证明：令
，则矩阵
的元素
因此
，所以矩阵
可逆，即矩阵 可逆。
17
根据定理8，严格对角占优矩阵 没有零特 征值，而
这说明矩阵 的特征值 可能满足
由此，我们可以将Gerschgorin定理看成定理8 的“推论” 。
18
事实上，设矩阵 的特征值 不属于 的 Gerschgorin区域 ，则有
因此矩阵
严格对角占优，根据定理8
37
设
是广义特征值问题
的
特征对，
是标准特征值问题
的特征对。因为矩阵 是Hermite阵，所以有
完备的标准正交特征向量系，如果 都是单
位特征向量，那么
38
由于
这说明，广义特征向量 对矩阵 是正交的， 或称特征向量矩阵 是 正交(共轭)的 又由于 所以 这说明，广义特征向量 对矩阵 是加权正 交的，或称特征向量矩阵 是加权 正交 (共轭)的。
30
一、从 矩阵的视角看特征值问题
标准特征值问题 (SEP)
，即为
按此视角，广义特征值问题(GEP)
，
即为
类似地，我们有二次特征值问题(QEP)
31
这里系数矩阵为 矩阵，将矩阵元素即 多项式的次数推广到 次，可得多项式特征值 问题(PEP)：
更进一步，从线性推广到非线性，我们有非线 性特征值问题(NEP)：
的特征值分别为
。令
（1）对 的任意特征值 征值 ，使得
（2）存在
的排列
，存在 的特 ，使得
6
遗憾的是矩阵的特征向量一般不是矩阵元素的 连续函数，因此不一定是稳定的。
例 2 矩阵
的特征值为
，特征向量为
和
。而
的特征值为 ，
特征向量为
和
。矩阵 的
特征向量在
处不连续。
7
二、盖尔（Gerschgorin）定理
对于广义特征值问题
，如果已经
得到特征值的近似值 ，那么通过Cayley变换，
可以将之转化为SEP：
显然 这种方法实质上仍然是位移求逆法(SI)。
36
例 4 (广义特征值问题的Cholesky分解法)
对于广义特征值问题
，当 是正
定Hermite矩阵时，可以通过Cholesky分解
将之转化为SEP：
矩阵 仍然是Hermite矩阵，因此此算法是保 结构算法，并且说明特征值全是实数。
（1）矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内；
（2）若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是
连通区域，并且与其余
个盖尔圆均不相
交，则 中恰好有 的 个特征值。
10
（1）的证明：
设 有特征对
，这里Leabharlann ，则令，则
，因此
从而
11
例 5 矩阵
的三个行Gerschgorin圆分别是：
12
因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值
换先将 化为上Hessenberg矩阵 ，将 化
为上三角阵 ；
（2）QZ迭代，即对
使用一步位移QR迭
代，将 化为上三角阵或准上三角阵 ，同
时将 化成上三角阵 。这是本算法的核心
部分。
（3）计算
的特征对，并据此求出原
GEP的特征对。
47
§3、Rayleigh商和广义Rayleigh商
在物理、信息等学科及理论研究中，经常会遇 到Hermite矩阵的二次型函数的商的最大化或 最小化。这种商包括一个Hermite矩阵的 Rayleigh商和两个Hermite矩阵的广义Rayleigh 商。L.Rayleigh在1930年代研究振动系统的小 振荡时，为了找到合适的广义坐标，提出的一 种特殊形式的商，被后人称为Rayleigh商。
39
由于特征向量 相互正交，因此它们也可以看
成 维内积空间 的一组基，只是内积空间
的内积必须定义为 内积
，即
这样，对任意
，可得
因此得展开式
40
例 5 (广义特征值问题的同时合同对角化)
对于广义特征值问题
，如果
均为Hermite矩阵，并且 还是正定矩阵，那 么存在可逆矩阵 ，使得
这里 题的特征值。
是Hermite ，则
54
其余特征值是否有类似结论呢？
设
，并假定
，即
由于
，因此前面的证明可修改为
55
类似地，假定
，即
由于
，因此前面的证明可修改为
56
综上，一般地，我们有
定理3 设
是Hermite矩阵，其特征
值为
，相应的标准正交特征向
量为
。令
则
57
遗憾的是，定理2中的公式实用价值不大。因为 它们将 的计算限定在求Rayleigh商在 的局 部极值上，因此必须先求出 ，这在数值上是 比较困难的。
NEP的主要算法都是基于求解非线性方程组的 Newton法及其变体，目前尚不成熟。
32
二、广义特征值问题
结构动力分析、信号处理、通信等学科中经常 需要求解广义特征值：